人教A版理科數(shù)學(xué)課時(shí)試題及解析（51）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

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課時(shí)作業(yè)(五十一)　[第51講　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系] [時(shí)間：45分鐘　　分值：100分] 1． 已知橢圓C：＋＝1，直線l：y＝mx＋1，若對(duì)任意的m∈R，直線l與橢圓C恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是(　　) A．[1,4) B．[1，＋∞) C．[1,4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞) 2．直線l過(guò)點(diǎn)(，0)且與雙曲線x2－y2＝2僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 3．直線x－y＋3＝0與曲線－＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 4． 若直線y＝kx＋2與雙曲線x2－y2＝6的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 5．設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，與x軸正向的夾角為60°，則||為(　　) A. B. C.p D.p 6．過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線(　　) A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無(wú)窮多條 D．不存在 7． 橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，A，B是橢圓上關(guān)于x、y軸均不對(duì)稱的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P(1,0)．設(shè)AB的中點(diǎn)為C(x0，y0)，則x0的值為(　　) A. B. C. D. 8．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|，則k＝(　　) A. B. C. D. 9． 已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點(diǎn)．則cos∠AFB＝(　　) A. B. C．－ D．－ 10．若直線l：tx－y＋＝0與曲線C：x2－y2＝2有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________． 11．過(guò)點(diǎn)(0,2)的雙曲線x2－y2＝2的切線方程是________． 12．設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)為(2,2)，則直線l的方程為________． 13．已知雙曲線－＝1，過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)，PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則＝________. 14．(10分)已知拋物線y2＝2px(p>0)的對(duì)稱軸上的定點(diǎn)M(m,0)(m>0)，過(guò)點(diǎn)M作直線AB與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)． (1)試證明A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值； (2)若點(diǎn)N是定直線l：x＝－m上的任一點(diǎn)，證明：直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列． 15．(13分) P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為. (1)求雙曲線的離心率； (2)過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足＝λ＋，求λ的值． 16．(12分) 已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線l：y＝－2的距離小1. (1)求曲線C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線m與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)＝λ，當(dāng)△AOB的面積為4時(shí)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求λ的值． 課時(shí)作業(yè)(五十一) 【基礎(chǔ)熱身】 1．C　[解析] 直線恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，只要該點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上即可，故只要b≥1且b≠4. 2．C　[解析] 點(diǎn)(，0)恰是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)僅有一條直線與雙曲線相切，而過(guò)該點(diǎn)與雙曲線的漸近線平行的兩條直線也與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故這樣的直線有3條． 3．B　[解析] 當(dāng)x≥0時(shí)，方程是－＝1，當(dāng)x<0時(shí)，方程是＋＝1，作圖即知． 4．A　[解析] 聯(lián)立方程消去y后得 (1－k2)x2－4kx－10＝0，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，則1－k2≠0，Δ＝(－4k)2＋40(1－k2)>0，x1＋x2＝>0，x1x2＝>0，解不等式組得－b>0)上，所以＋＝1，＋＝1，兩式相減得＋＝0.設(shè)直線AB的斜率為k，則得k＝－，從而線段AB的垂直平分線的斜率為，線段AB的垂直平分線的方程為y－y0＝(x－x0)．由于線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P(1,0)，所以0－y0＝(1－x0)，解得x0＝. ＝＝2.所以x0＝. 8．D　[解析] 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線y＝k(x＋2)與拋物線y2＝8x聯(lián)立，消掉y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0. 根據(jù)韋達(dá)定理x1x2＝4，(1)． 根據(jù)焦點(diǎn)半徑公式，有|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，由|FA|＝2|FB|，得x1＝2x2＋2，(2)，由(1)(2)解得x2＝1(負(fù)值舍去)，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)，將其代入y＝k(x＋2)(k>0)得k＝. 9．D　[解析] 法一：聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去y得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或4，得A(1，－2)，B(4,4)，則|AF|＝2，|BF|＝5，|AB|＝3，由余弦定理得cos∠AFB＝－，故選D. 法二：聯(lián)立方程解得x＝1或x＝4，所以交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，－2)，B(4,4)，又F(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，所以cos∠AFB＝＝＝－. 10．(－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2)　[解析] 直線與曲線方程聯(lián)立，消掉y得(1－t2)x2－2tx－8＝0，直線與雙曲線交于不同兩點(diǎn)的充要條件是1－t2≠0且Δ＝(2t)2－4(1－t2)×(－8)>0，解得t2<4且t2≠1. 11．y＝±x＋2　[解析] 設(shè)切線方程為y＝kx＋2，代入雙曲線方程得(1－k2)x2－4kx－6＝0，由Δ＝16k2＋24(1－k2)＝0，解得k＝±，故所求的切線方程為y＝±x＋2. 12．y＝x　[解析] 由已知拋物線方程為y2＝4x.直線l的斜率不存在時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)(2,2)不可能是AB的中點(diǎn)，故直線l的斜率存在，設(shè)直線方程斜率為k，則直線l的方程是y－2＝k(x－2)且k≠0，與拋物線方程y2＝4x聯(lián)立消去x，則y2－4＝0，即y2－y＋－8＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝，又＝2，即＝2，解得k＝1，故所求的直線方程是y－2＝x－2，即y＝x. 13.　[解析] 右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是(5,0)，設(shè)直線PQ的方程是x＝my＋5，代入雙曲線方程得(16m2－9)y2＋160my＋162＝0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則y1＋y2＝－，y1y2＝， 則|PQ|＝＝. 設(shè)PQ的中點(diǎn)N(x0，y0)， 則y0＝－，x0＝－＋5＝－. 設(shè)M(t,0)，則＝－m，即t＝＋x0＝－， 故|MF|＝|t－5|＝＝. 所以＝＝. 14．[解答] (1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y1y2＝－2pm，下證之： 設(shè)直線AB的方程為：x＝ty＋m，與y2＝2px聯(lián)立得消去x，得y2－2pty－2pm＝0， 由韋達(dá)定理得y1y2＝－2pm. (2)證明：設(shè)點(diǎn)N(－m，n)，則直線AN的斜率為kAN＝，直線BN的斜率為kBN＝， ∴kAN＋kBN＝＋＝＋ ＝2p ＝2p· ＝2p·＝2p·＝2p·＝－ 又∵直線MN的斜率為kMN＝＝－， ∴kAN＋kBN＝2kMN， 即直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列． 15．[解答] (1)點(diǎn)P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線－＝1上，有－＝1， 由題意又有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，則e＝＝. (2)聯(lián)立得4x2－10cx＋35b2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則① 設(shè)＝(x3，y3)，＝λ＋，即 又C為雙曲線上一點(diǎn)，即x－5y＝5b2， 有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2， 化簡(jiǎn)得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2. 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上， 所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.② 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， 得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. 【難點(diǎn)突破】 16．[解答] (1)∵點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線l：y＝－2的距離小1， ∴點(diǎn)M在直線l的上方，點(diǎn)M到F(0,1)的距離與它到直線l′∶y＝－1的距離相等， ∴點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l′為準(zhǔn)線的拋物線， ∴曲線C的方程為x2＝4y. (2)當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，它與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意， 設(shè)直線m的方程為y－2＝k(x－2)，即y＝kx＋(2－2k)， 代入x2＝4y得x2－4kx＋8(k－1)＝0(*)， Δ＝16(k2－2k＋2)>0對(duì)k∈R恒成立，所以直線m與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)． 設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝4k，x1x2＝8(k－1)． ∴|AB|＝ ＝ ＝4， 點(diǎn)O到直線m的距離d＝， ∴S△ABO＝|AB|d＝4|k－1|＝4， ∵S△ABO＝4，∴4＝4， ∴(k－1)4＋(k－1)2－2＝0， ∴(k－1)2＝1或(k－1)2＝－2(舍去)， ∴k＝0或k＝2. 當(dāng)k＝0時(shí)，方程(*)的解為x＝±2. 若x1＝2，x2＝－2， 則λ＝＝3－2； 若x1＝－2，x2＝2， 則λ＝＝3＋2. 當(dāng)k＝2時(shí)，方程(*)的解為4±2. 若x1＝4＋2，x2＝4－2， 則λ＝＝3＋2； 若x1＝4－2，x2＝4＋2， 則λ＝＝3－2. 所以λ＝3＋2或3－2. 7