高中數(shù)學圓錐曲線重要結(jié)論.doc
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圓錐曲線重要結(jié)論 橢 圓 1. 點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角. 2. PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點. 3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離. 4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切. 5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是. 6. 若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是. 7. 橢圓 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為. 8. 橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式： ,( , ). 9. 設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF. 10. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF. 11. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則， 即。 雙曲線 1. 點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角. 2. PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點. 3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相交. 4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支） 5. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是. 6. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是. 7. 雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為. 8. 雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：( , 當在右支上時，,. 當在左支上時，, 9. 設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MF⊥NF. 10. 過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF. 11. AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。 12. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是. 13. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是. 橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-- 橢 圓 1. 橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是. 2. 過橢圓 (a＞0, b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 3. 若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則. 4. 設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5. 若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準線距離d與PF2的比例中項. 6. P為橢圓（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立. 7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是. 8. 已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是. 9. 過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10. 已知橢圓（ a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則. 11. 設(shè)P點是橢圓（ a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) . 12. 設(shè)A、B是橢圓（ a＞b＞0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) . 13. 已知橢圓（ a＞b＞0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點. 14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直. 15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直. 16. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.） 17. 橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e. 18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項. 橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-- 雙曲線 1. 雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是. 2. 過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 3. 若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）. 4. 設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5. 若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準線距離d與PF2的比例中項. 6. P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側(cè)時，等號成立. 7. 雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是. 8. 已知雙曲線（b＞a ＞0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且. （1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是. 9. 過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則或. 11. 設(shè)P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) . 12. 設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1). (2) .(3) . 13. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點. 14. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直. 15. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直. 16. 雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). (注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點). 17. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e. 18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項. 圓錐曲線問題解題方法 圓錐曲線中的知識綜合性較強，因而解題時就需要運用多種基礎(chǔ)知識、采用多種數(shù)學手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準確解題，還須掌握一些方法和技巧。 一. 緊扣定義，靈活解題 靈活運用定義，方法往往直接又明了。 例1. 已知點A（3，2），F(xiàn)（2，0），雙曲線，P為雙曲線上一點。 求的最小值。 解析：如圖所示， 雙曲線離心率為2，F(xiàn)為右焦點，由第二定律知即點P到準線距離。 二. 引入?yún)?shù)，簡捷明快 參數(shù)的引入，尤如化學中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。 例2. 求共焦點F、共準線的橢圓短軸端點的軌跡方程。 解：取如圖所示的坐標系，設(shè)點F到準線的距離為p（定值），橢圓中心坐標為M（t，0）（t為參數(shù)） ，而 再設(shè)橢圓短軸端點坐標為P（x，y），則 消去t，得軌跡方程 三. 數(shù)形結(jié)合，直觀顯示 將“數(shù)”與“形”兩者結(jié)合起來，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形，用形助數(shù)，結(jié)合使用，能使復雜問題簡單化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問題。 例3. 已知，且滿足方程，又，求m范圍。 解析：的幾何意義為，曲線上的點與點（－3，－3）連線的斜率，如圖所示 四. 應(yīng)用平幾，一目了然 用代數(shù)研究幾何問題是解析幾何的本質(zhì)特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質(zhì)就和“平幾”知識相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時引用，問題就會迎刃而解。 例4. 已知圓和直線的交點為P、Q，則的值為________。 解： 五. 應(yīng)用平面向量，簡化解題 向量的坐標形式與解析幾何有機融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識的有力工具。 例5. 已知橢圓：，直線：，P是上一點，射線OP交橢圓于一點R，點Q在OP上且滿足，當點P在上移動時，求點Q的軌跡方程。 分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來了很大的難度，而如果用向量共線的條件便可簡便地解出。 解：如圖，共線，設(shè)，，，則， 點R在橢圓上，P點在直線上 ， 即 化簡整理得點Q的軌跡方程為： （直線上方部分） 六. 應(yīng)用曲線系，事半功倍 利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。 例6. 求經(jīng)過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程。 解：設(shè)所求圓的方程為： 則圓心為，在直線上 解得 故所求的方程為 七. 巧用點差，簡捷易行 在圓錐曲線中求線段中點軌跡方程，往往采用點差法，此法比其它方法更簡捷一些。 例7. 過點A（2，1）的直線與雙曲線相交于兩點P1、P2，求線段P1P2中點的軌跡方程。 解：設(shè)，，則 <2>－<1>得 即 設(shè)P1P2的中點為，則 又，而P1、A、M、P2共線 ，即 中點M的軌跡方程是 解析幾何題怎么解 高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數(shù)方程和極坐標系中的基礎(chǔ)知識. 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 求解有時還要用到平幾的基本知識,這點值得考生在復課時強化. 例1 已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t (0下載提示(請認真閱讀)
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