十大高中平面幾何幾何定理匯總及證明.doc
《十大高中平面幾何幾何定理匯總及證明.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《十大高中平面幾何幾何定理匯總及證明.doc(21頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
。 高中平面幾何定理匯總及證明 1. 共邊比例定理 有公共邊AB的兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別是P、Q,AB與PQ的連線交于點(diǎn)M,則有以下比例式成立:△ PAB的面積:△ QAB的面積=PM:QM.? 證明:分如下四種情況,分別作三角形高,由相似三角形可證 S△PAB=(S△PAM-S△PMB) =(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB =(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共線,面積比=底長(zhǎng)比) 同理,S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB 所以,S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共線,面積比=底長(zhǎng)比) 定理得證! 特殊情況:當(dāng)PB∥AQ時(shí),易知△PAB與△QAB的高相等,從而S△PAB=S△QAB,反之,S△PAB=S△QAB,則PB∥AQ。 2. 正弦定理 在任意一個(gè)平面三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍”,即a/sinA?=?b/sinB?=c/sinC?= 2r=R(r為外接圓半徑,R為直徑) 證明: 現(xiàn)將△ABC,做其外接圓,設(shè)圓心為O。我們考慮∠C及其對(duì)邊AB。設(shè)AB長(zhǎng)度為c。 若∠C為直角,則AB就是⊙O的直徑,即c= 2r。 ∵??(特殊角正弦函數(shù)值) ∴? 若∠C為銳角或鈍角,過(guò)B作直徑BC`交 ⊙O于C`,連接C'A,顯然BC'= 2r=R。 若∠C為銳角,則C'與C落于AB的同側(cè), 此時(shí)∠C'=∠C(同弧所對(duì)的圓周角相等) ∴在Rt△ABC'中有 若∠C為鈍角,則C'與C落于AB的異側(cè),BC的對(duì)邊為a,此時(shí)∠C'=∠A,亦可推出??。 考慮同一個(gè)三角形內(nèi)的三個(gè)角及三條邊,同理,分別列式可得 ??。 3. 分角定理 在△ABC中,D是邊BC上異于B,C或其延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),連結(jié)AD,則有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。 證明: S△ABD/S△ACD=BD/CD…………?(1.1) S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD] = (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)?…………(1.2) 由1.1式和1.2式得 BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) 4. 張角定理 在△ABC中,D是BC上的一點(diǎn),連結(jié)AD。那么sin∠BADAC+sin∠CADAB=sin∠BACAD。 證明: 設(shè)∠1=∠BAD,∠2=∠CAD 由分角定理, S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC) → (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1) S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC) → (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2) (1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD 5. 帕普斯定理 直線l1上依次有點(diǎn)A,B,C,直線l2上依次有點(diǎn)D,E,F,設(shè)AE,BD交于G,AF,DC交于I,BF,EC交于H,則G,I,H共線。 6. 蝴蝶定理 設(shè)S為圓內(nèi)弦AB的中點(diǎn),過(guò)S作弦CF和DE。設(shè)CF和DE各相交AB于點(diǎn)M和N,則S是MN的中點(diǎn)。 證明: 過(guò)O作OL⊥ED,OT⊥CF,垂足為L(zhǎng)、T, 連接ON,OM,OS,SL,ST,易明△ESD∽△CSF ∴ES/CS=ED/FC 根據(jù)垂徑定理得:LD=ED/2,F(xiàn)T=FC/2 ∴ES/CS=EL/CT 又∵∠E=∠C ∴△ESL∽△CST ∴∠SLN=∠STM ∵S是AB的中點(diǎn)所以O(shè)S⊥AB ∴∠OSN=∠OLN=90° ∴O,S,N,L四點(diǎn)共圓,(一中同長(zhǎng)) 同理,O,T,M,S四點(diǎn)共圓 ∴∠STM=∠SOM,∠SLN=∠SON ∴∠SON=∠SOM ∵OS⊥AB ∴MS=NS 7. 西姆松定理 過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線上的垂線,則三垂足共線。(此線常稱為西姆松線)。 證明: 若L、M、N三點(diǎn)共線,連結(jié)BP,CP,則因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、L、P、N和P、M、C、L分別四點(diǎn)共圓,有 ∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP. 故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。 若A、P、B、C四點(diǎn)共圓,則 ∠NBP= ∠MCP。 因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB, 有B、L、P、N和P、M、C、L四點(diǎn)共圓,有 ∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP. 故L、M、N三點(diǎn)共線。 西姆松逆定理:若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線,則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。 證明:PM⊥AC,PN⊥AB ,所以A,M,N,P共圓 8. 清宮定理 設(shè)P、Q為△ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點(diǎn),P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W,且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線于D、E、F,則D、E、F在同一直線上. 證明: A、B、P、C四點(diǎn)共圓,因此 ∠PCE=∠ABP 點(diǎn)P和V關(guān)于CA對(duì)稱 所以∠PCV=2∠PCE 又因?yàn)镻和W關(guān)于AB對(duì)稱,所以 ∠PBW=2∠ABP 從這三個(gè)式子,有 ∠PCV=∠PBW 另一方面,因?yàn)椤螾CQ和∠PBQ都是弦PQ所對(duì)的圓周角,所以 ∠PCQ=∠PBQ 兩式相加,有 ∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ 即∠QCV=∠QBW 即△QCV和△QBW有一個(gè)頂角相等,因此 但是,,所以 同理 ?, 于是 根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理,D、E、F三點(diǎn)在同一直線上。 9. 密克定理 三圓定理:設(shè)三個(gè)圓C1, C2, C3交于一點(diǎn)O,而M, N, P分別是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交點(diǎn)。設(shè)A為C1的點(diǎn),直線MA交C2于B,直線PA交C3于C。那么B, N, C這三點(diǎn)共線。 逆定理:如果是三角形,M, N, P三點(diǎn)分別在邊AB, BC, CA上,那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圓交于一點(diǎn)O。 完全四線形定理 如果ABCDEF是完全四線形,那么三角形的外接圓交于一點(diǎn) O,稱為密克點(diǎn)。 四圓定理 設(shè)C1, C2,C3, C4為四個(gè)圓,A1和B1是C1和C2的交點(diǎn), A2和B2是C2 和C3的交點(diǎn),A3和B3是C3和C4的交點(diǎn), A4和B4是C1和C4的交點(diǎn)。那么A1, A2, A3, A4四點(diǎn)共圓當(dāng)且僅當(dāng)B1, B2, B3, B4四點(diǎn)共圓。 證明:在△ABC的BC,AC,AB邊上分別取點(diǎn)W,M,N,對(duì)AMN,△BWN和△CWM分別作其外接圓,則這三個(gè)外接圓共點(diǎn)。 該定理的證明很簡(jiǎn)單,利用“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角和為180度”及其逆定理。 現(xiàn)在已知U是和的公共點(diǎn)。連接UM和UN, ∵四邊形BNUW和四邊形CMUW分別是和的內(nèi)接四邊形, ∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度 ∴∠UWB=∠UNA。 同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度 ∴∠UWB=∠UMC。 ∵∠UMC+∠UMA=180度 ∴∠UNA+∠UMA=180度, 這正說(shuō)明四邊形ANUM是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形,而該圓必是,U必在上。 10. 婆羅摩笈多定理 圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD,垂足為M。EF⊥BC,且M在EF上。那么F是A D的中點(diǎn)。 證明: ∵AC⊥BD,ME⊥BC ∴∠CBD=∠CME ∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF ∴∠CAD=∠AMF ∴AF=MF ∵∠AMD=90°,同時(shí)∠MAD+∠MDA=90° ∴∠FMD=∠FDM ∴MF=DF,即F是AD中點(diǎn) 逆定理: 若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直,則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊。 證明: ∵M(jìn)A⊥MD,F(xiàn)是AD中點(diǎn) ∴AF=MF ∴∠CAD=∠AMF ∵∠CAD=∠CBD,∠AMF=∠CME ∴∠CBD=∠CME ∵∠CME+∠BME=∠BMC=90° ∴∠CBD+∠BME=90° ∴EF⊥BC 11. 托勒密定理 圓內(nèi)接四邊形中,兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和).圓內(nèi)接四邊形ABCD,求證:AC·BD=AB·CD+AD·BC. 證明:過(guò)C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4, ∴△ACD∽△BCP. 得AC:BC=AD:BP,AC·BP=AD·BC ①。 又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6, ∴△ACB∽△DCP.得AC:CD=AB:DP,AC·DP=AB·CD ②。 ① +②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC. 即AC·BD=AB·CD+AD·BC. 12. 梅涅勞斯定理 當(dāng)直線交三邊所在直線于點(diǎn)時(shí),。 證明:過(guò)點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P,則 兩式相乘得 梅涅勞斯逆定理:若有三點(diǎn)F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上,且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,則F、D、E三點(diǎn)共線。 證明:先假設(shè)E、F、D三點(diǎn)不共線,直線DE與AB交于P。 由梅涅勞斯定理的定理證明(如利用平行線分線段成比例的證明方法)得: (AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 ∵ (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 ∴ AP/PB=AF/FB ; ∴ (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ; ∴ AB/PB=AB/FB ; ∴ PB=FB;即P與F重合。 ∴ D、E、F三點(diǎn)共線。 13. 塞瓦定理 在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O,延長(zhǎng)AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F,則 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。 ∵△ADC被直線BOE所截, ∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1① ∵△ABD被直線COF所截, ∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ② /①約分得: (DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1 14. 圓冪定理 相交弦定理:如圖Ⅰ,AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點(diǎn)P,連接AD、BC,由于∠B與∠D同為弧AC所對(duì)的圓周角,因此由圓周角定理知:∠B=∠D,同理∠A=∠C,所以。所以有:,即:。 割線定理:如圖Ⅱ,連接AD、BC??芍螧=∠D,又因?yàn)椤螾為公共角,所以有 ,同上證得。 切割線定理:如圖Ⅲ,連接AC、AD?!螾AC為切線PA與弦AC組成的弦切角,因此有∠PBC=∠D,又因?yàn)椤螾為公共角,所以有 ?,易證 ? 圖Ⅳ,PA、PC均為切線,則∠PAO=∠PCO=90°,在直角三角形中:OC=OA=R,PO為公共邊,因此 ?。所以PA=PC,所以 ?。 綜上可知, ?是普遍成立的。 弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半,等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)。 點(diǎn)對(duì)圓的冪 P點(diǎn)對(duì)圓O的冪定義為? 點(diǎn)P在圓O內(nèi)→P對(duì)圓O的冪為負(fù)數(shù); 點(diǎn)P在圓O外→P對(duì)圓O的冪為正數(shù); 點(diǎn)P在圓O上→P對(duì)圓O的冪為0。 三角形五心: 內(nèi)心:三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 外心:三角形三條邊的垂直平分線(中垂線)的相交點(diǎn) 重心:三角形三邊中線的交點(diǎn) 垂心:三角形的三條高線的交點(diǎn) 旁心:三角形的旁切圓(與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓)的圓心 九點(diǎn)圓心:三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)〔連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)〕九點(diǎn)共圓的圓心 15. 根心定理 三個(gè)兩兩不同心的圓,形成三條根軸,則必有下列三種情況之一: (1) 三根軸兩兩平行; (2) 三根軸完全重合; (3) 三根軸兩兩相交,此時(shí)三根軸必匯于一點(diǎn),該點(diǎn)稱為三圓的根心。 平面上任意三個(gè)圓,若這三個(gè)圓圓心不共線,則三條根軸相交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心;若三圓圓心共線,則三條根軸互相平行。 根軸定義: A與B的根軸L1:到A與B的切線相等的點(diǎn)。 B與C的根軸L2:到B與C的切線相等的點(diǎn)。 證明 設(shè)A、B、C三個(gè)圓,圓心不重合也不共線。 考察L1與L2的交點(diǎn)P。 因?yàn)镻在L1上,所以:P到A的切線距離=P到B的切線距離。 因?yàn)镻在L2上,所以:P到B的切線距離=P到C的切線距離。 所以:P到A的切線距離=P到B的切線距離=P到C的切線距離。 也就是:P到A的切線距離=P到C的切線距離。所以:P在A與C的根軸上。 所以:三個(gè)根軸交于一點(diǎn)。 16. 雞爪定理 設(shè)△ABC的內(nèi)心為I,∠A內(nèi)的旁心為J,AI的延長(zhǎng)線交三角形外接圓于K,則KI=KJ=KB=KC。 證明: 由內(nèi)心和旁心的定義可知∠IBC=∠ABC/2,∠JBC=(180°-∠ABC)/2 ∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ 同理,∠ICJ=90° ∵∠IBJ+∠ICJ=180° ∴IBJC四點(diǎn)共圓,且IJ為圓的直徑 ∵AK平分∠BAC ∴KB=KC(相等的圓周角所對(duì)的弦相等) 又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB ∴KB=KI 由直角三角形斜邊中線定理逆定理可知K是IJ的中點(diǎn) ∴KB=KI=KJ=KC 逆定理:設(shè)△ABC中∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于K。在AK及延長(zhǎng)線上截取KI=KB=KJ,其中I在△ABC的內(nèi)部,J在△ABC的外部。則I是△ABC的內(nèi)心,J是△ABC的旁心。 證明: 利用同一法可輕松證明該定理的逆定理。 取△ABC的內(nèi)心I'和旁心J’,根據(jù)定理有KB=KC=KI'=KJ' 又∵KB=KI=KJ ∴I和I'重合,J和J’重合 即I和J分別是內(nèi)心和旁心 17. 費(fèi)爾巴哈定理 三角形的九點(diǎn)圓與其內(nèi)切圓以及三個(gè)旁切圓相切 設(shè)△ABC的內(nèi)心為I,九點(diǎn)圓的圓心為V。三邊中點(diǎn)分別為L(zhǎng),M,N,內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別是P,Q,R,三邊上的垂足分別為D,E,F(xiàn)。 不妨設(shè)AB>AC。 假設(shè)⊙I與⊙V相切于點(diǎn)T,那么LT與⊙I相交,設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為S。 過(guò)點(diǎn)S作⊙I的切線,分別交AB和BC于V,U,連接AU。 又作兩圓的公切線TX,使其與邊AB位于LT的同側(cè)。 由假設(shè)知 ∠XTL=∠LDT 而TX和SV都是⊙I的切線,且與弦ST所夾的圓弧相同,于是 ∠XTL=∠VST 因此 ∠LDT=∠VST 則 ∠UDT+∠UST=180° 這就是說(shuō),S,T,D,U共圓。 而這等價(jià)于:LU×LD=LS×LT 又 LP2=LS×LT 故有 LP2=LU×LD 另一方面,T是公共的切點(diǎn),自然在⊙V上, 因此 L,D,T,N共圓,進(jìn)而有 ∠LTD=∠LND 由已導(dǎo)出的S,T,D,U共圓,得 ∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB =∠AVU-∠B 而 ∠LND=∠NLB-∠NDB =∠ACB-∠NBD =∠C-∠B (這里用了LN∥AC,以及直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半) 所以,就得到 ∠AVU=∠C 注意到AV,AC,CU,UV均與⊙I相切,于是有 ∠AIR=∠AIQ ∠UIS=∠UIP ∠RIS=∠QIS 三式相加,即知 ∠AIU=180° 也即是說(shuō),A,I,U三點(diǎn)共線。 另外,AV=AC,這可由△AIV≌△AIC得到。 (這說(shuō)明,公切點(diǎn)T可如下得到: 連接AI,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)U, 過(guò)點(diǎn)U作⊙I的切線,切點(diǎn)為S,交AB于V, 最后連接LS,其延長(zhǎng)線與⊙I的交點(diǎn)即是所謂的公切點(diǎn)T。) 連接CV,與AU交于點(diǎn)K, 則K是VC的中點(diǎn)。 前面已得到:LP2=LU×LD 而 2LP=(BL+LP)-(CL-LP) =BP-CP =BR-CQ =(BR+AR)-(CQ+AQ) =AB-AC =AB-AV =BV 即 LP=BV 然而 LK是△CBV的中位線 于是 LK=BV 因之 LP=LK 故 LK2=LU×LD 由于以上推導(dǎo)均可逆轉(zhuǎn),因此我們只需證明: LK2=LU×LD。往證之 這等價(jià)于:LK與圓KUD相切 于是只需證:∠LKU=∠KDU 再注意到 LK∥AB(LK是△CBV的中位線),即有 ∠LKU=∠BAU 又AU是角平分線,于是 ∠LKU=∠CAU=∠CAK 于是又只需證:∠CAK=∠KDU 即證:∠CAK+∠CDK=180° 這即是證:A,C,D,K四點(diǎn)共圓 由于 AK⊥KC(易得),AD⊥DC 所以 A,C,D,K確實(shí)共圓。 這就證明了⊙I與⊙V內(nèi)切。 旁切圓的情形是類似的。 證畢 另略證: OI2=R2-2Rr IH2=2r2-2Rr' OH2=R2-4Rr'(其中r‘是垂心H的垂足三角形的內(nèi)切圓半徑,R、r是三角形ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑) FI2=1/2(OI2+IH2)-1/4OH2=(1/2R-r)2 FI=1/2R-r這就證明了九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓內(nèi)切(九點(diǎn)圓半徑為外接圓半徑一半。F是九點(diǎn)圓圓心,I為內(nèi)心) 18. 莫利定理 將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分,靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個(gè)交點(diǎn),則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形 證明:設(shè)△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為各角的三等分線,三邊長(zhǎng)為a,b,c,三內(nèi)角為3α,3β,3γ,則α+β+γ=60°。 在△ABC中,由正弦定理,得AF=csinβ/sin(α+β)。 不失一般性,△ABC外接圓直徑為1,則由正弦定理,知c=sin3γ,所以 AF=(sin3γ*sinβ)/sin(60°-γ) = [sinβ*sinγ(3-4sin2γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)] = 2sinβsinγ(√3cosγ+sinγ) = 4sinβsinγsin(60°+γ). 同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β) ∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]:[4sinβsinγsin(60°+β)] =sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE ∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得,∠CED=60°+α ∠FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60° ∴△FED為正三角形 19. 拿破侖定理 若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為60°的等腰三角形,則它們的中心構(gòu)成一個(gè)等邊三角形。在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABF,等邊△ACD,等邊△BCE。 證明:設(shè)等邊△ABF的外接圓和等邊△ACD的外接圓相交于O;連AO、CO、BO。 ∴ ∠AFB=∠ADC=60°; ∵ A、F、B、O四點(diǎn)共圓;A、D、C、O四點(diǎn)共圓; ∴ ∠AOB=∠AOC=120°; ∴ ∠BOC=120°; ∵ △BCE是等邊三角形 ∴ ∠BEC=60°; ∴ B、E、C、O四點(diǎn)共圓; ∴ 這3個(gè)等邊三角形的外接圓共點(diǎn)。 ∵ A、D、B、O四點(diǎn)共圓 A、F、C、O四點(diǎn)共圓 B、E、C、O四點(diǎn)共圓 ∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°; ∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°; ∵ NP、MP、MN是連心線; BO、CO、AO是公共弦; ∴ BO⊥NP于X; CO⊥MP于Y; AO⊥NM于Z。 ∴ X、P、Y、O四點(diǎn)共圓; Y、M、Z、O四點(diǎn)共圓; Z、N、X、O四點(diǎn)共圓; ∴ ∠N=∠M=∠P=60°; 即△MNP是等邊三角形。 THANKS !!! 致力為企業(yè)和個(gè)人提供合同協(xié)議,策劃案計(jì)劃書,學(xué)習(xí)課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載,資料僅供參考 -可編輯修改-- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請(qǐng)點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
32 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁(yè)顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國(guó)旗、國(guó)徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對(duì)作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 高中 平面幾何 幾何 定理 匯總 證明
鏈接地址:http://m.italysoccerbets.com/p-1570986.html