極點(diǎn)極線及高中圓錐曲線必備公式.doc

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聲明: 本內(nèi)容來(lái)自網(wǎng)絡(luò),感謝 ?百度貼吧mpc_killer吧的《[選][圓曲]--中點(diǎn)切線王牌殺手--極點(diǎn)極線 草稿》 ?《漫談圓錐曲線的極點(diǎn)與極線——兩高考試題的統(tǒng)一背景與解法》 ?百度貼吧高中數(shù)學(xué)吧的《圓錐曲線基礎(chǔ)必備》 等優(yōu)秀內(nèi)容. 極點(diǎn)極線 定義 已知圓錐曲線С: Ax?+By?+Cx+Dy+E=0與一點(diǎn)P(x0,y0) [其中A?+B?≠0,點(diǎn)P不在曲線中心和漸近線上].則稱點(diǎn)P和直線L: A?x0x+B?y0y+C?+D?+E=0是圓錐曲線С的一對(duì)極點(diǎn)和極線. 即在圓錐曲線方程中,以x0x替換x?，以替換x，以y0y替換y?,以替換y則可得到極點(diǎn)P(x0,y0)的極線方程L. 特別地： (1)對(duì)于圓(x-a)?+(y-b)?=r?,與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r? ； (2)對(duì)于橢圓+=1，與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為+=1 ； (3)對(duì)于雙曲線-=1，與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為-=1 ； (4)對(duì)于拋物線y?=2px，與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為y0y=p(x0+x) ； 性質(zhì) 一般地,有如下性質(zhì)[焦點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)榍€內(nèi)部]: ①若極點(diǎn)P在曲線С上,則極線L是曲線С在P點(diǎn)的切線； ②若極點(diǎn)P在曲線С外,則極線L是過(guò)極點(diǎn)P作曲線С的兩條切線的切點(diǎn)連線； ③若極點(diǎn)P在曲線С內(nèi),則極線L在曲線С外且與以極點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦平行[僅是斜率相等]( 若是圓,則此時(shí)中點(diǎn)弦的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= (x0-a)?+(y0-b)?；若是橢圓,則此時(shí)中點(diǎn)弦的方程為+=+；若是雙曲線,則此時(shí)中點(diǎn)弦的方程為-=-；若是拋物線,則此時(shí)中點(diǎn)弦的方程為y0y-p(x0+x)=y0?-2px0)； ④當(dāng)P(x0,y0)為圓錐曲線的焦點(diǎn)F(c,0)時(shí)，極線恰為該圓錐曲線的準(zhǔn)線； ⑤極點(diǎn)極線的對(duì)偶性: Ⅰ.已知點(diǎn)P和直線L是關(guān)于曲線С的一對(duì)極點(diǎn)和極線,則L上任一點(diǎn)Pn對(duì)應(yīng)的極線Ln必過(guò)點(diǎn)P,反之亦然,任意過(guò)點(diǎn)P的直線Ln對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)Pn必在直線L上[圖中點(diǎn)Pn與直線Ln是一對(duì)極點(diǎn)極線]； Ⅱ.過(guò)點(diǎn)P作曲線C的兩條割線L1、L2，L1交曲線C于AB，L2交曲線C于MN，則直線AM、BN的交點(diǎn)T，直線AN、BM的交點(diǎn)S必都落在點(diǎn)P關(guān)于曲線C的極線L上 [圖中點(diǎn)P與直線ST是一對(duì)極點(diǎn)極線；點(diǎn)T與直線SP是一對(duì)極點(diǎn)極線] ； Ⅲ. 點(diǎn)P是曲線C的極點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)的極線為L(zhǎng)，則有: 1)若C為橢圓或雙曲線，O是C的中心，直線OP交C與R，交L于Q，則OP?OQ=OR?即 = 橢圓如圖 雙曲線如圖 2) 若曲線為拋物線，過(guò)點(diǎn)P作對(duì)稱軸的平行線交C于R，交L于Q，則PR=QR 如圖 中學(xué)數(shù)學(xué)中極點(diǎn)與極線知識(shí)的現(xiàn)狀與應(yīng)用 雖然中學(xué)數(shù)學(xué)中沒(méi)有提到極點(diǎn)極線,但事實(shí)上,它的身影隨處可見(jiàn),只是沒(méi)有點(diǎn)破而已.教材內(nèi)改名換姓,“視”而不“見(jiàn)”.由④可知橢圓+=1的焦點(diǎn)的極線方程為: x=.焦點(diǎn)與準(zhǔn)線是圓錐曲線一章中的核心內(nèi)容,它揭示了圓錐曲線的統(tǒng)一定義,更是高考的必考知識(shí)點(diǎn).正是因?yàn)樗Ｒ?jiàn)了,反而往往使我們“視”而不“見(jiàn)”. 圓錐曲線基礎(chǔ)必備 極點(diǎn)極線例題