高中數(shù)學 曲線與方程.doc
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9.9 曲線與方程 一、填空題 1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是________. 解析 (x-y)2+(xy-1)2=0? ∴或 故此方程表示兩個點. 答案 兩個點 2.方程|y|-1=表示的曲線是________. 解析 原方程等價于 ? ?或 答案 兩個半圓 3. 動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x+2=0的距離相等,則點P的軌跡方程為_______. 解析 考查拋物線定義及標準方程,知P的軌跡是以F(2,0)為焦點的拋物線,p=2,所以其方程為. 答案 4.設P為圓x2+y2=1上的動點,過P作x軸的垂線,垂足為Q,若=λ(其中λ為正常數(shù)),則點M的軌跡為________. 解析 設M(x,y),P(x0,y0),則Q(x0,0), 由=λ得(λ>0), ∴ 由于x20+y20=1,∴x2+(λ+1)2y2=1,∴M的軌跡為橢圓. 答案 橢圓 5.設P為雙曲線上一動點,O為坐標原點,M為線段OP的中點,則點M的軌跡方程是 . 解析 設M(x,y),則P(2x,2y)代入雙曲線方程即得. 答案 6.如圖所示,一圓形紙片的圓心為O,F(xiàn)是圓內(nèi)一定點,M是圓周上一動點,把紙片折疊使M與F重合,然后抹平紙片,折痕為CD,設CD與OM交于點P,則點P的軌跡是________. 解析 由條件知PM=PF. ∴PO+PF=PO+PM=OM=R>OF. ∴P點的軌跡是以O、F為焦點的橢圓. 答案 橢圓 7.若△ABC的頂點A(-5,0)、B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是________. 解析 如圖AD=AE=8,BF=BE=2,CD=CF,所以CA-CB=8-2=6. 根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支,方程為-=1(x>3). 答案?。?(x>3) 8.對于曲線C:+=1,給出下面四個命題: ①曲線C不可能表示橢圓; ②當1<k<4時,曲線C表示橢圓; ③若曲線C表示雙曲線,則k<1或k>4; ④若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓,則1<k<. 其中所有正確命題的序號為________. 解析 根據(jù)橢圓和雙曲線的定義,可得當即時,表示橢圓;當k<1或k>4時,表示雙曲線. 答案 ③④ 9.在△ABC中,A為動點,B、C為定點,B,C(a>0),且滿足條件sin C-sin B=sin A,則動點A的軌跡方程是________. 解析 由正弦定理得-=×, ∴AB-AC=BC,由雙曲線的定義知動點A的軌跡為雙曲線右支. 答案 -=1(x>0且y≠0) 10.已知P是橢圓+=1(a>b>0)上的任意一點,F(xiàn)1、F2是它的兩個焦點,O為坐標原點,=+,則動點Q的軌跡方程是______________. 解析 由=+, 又+==2=-2, 設Q(x,y),則=-=-(x,y)=, 即P點坐標為,又P在橢圓上, 則有+=1,即+=1(a>b>0). 答案?。?(a>b>0) 11.已知兩條直線l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3=0,有一動圓(圓心和半徑都動)與l1、l2都相交,且l1、l2被圓截得的弦長分別是定值26和24,則圓心的軌跡方程是____________. 解析 設動圓的圓心為M(x,y),半徑為r,點M到直線l1,l2的距離分別為d1和d2. 由弦心距、半徑、半弦長間的關系得, 即 消去r得動點M滿足的幾何關系為d22-d21=25, 即-=25. 化簡得(x+1)2-y2=65. 此即為所求的動圓圓心M的軌跡方程. 答案 (x+1)2-y2=65 12.直線+=1與x、y軸交點的中點的軌跡方程是______. 解析 (參數(shù)法)設直線+=1與x、y軸交點為A(a,0)、B(0,2-a),A、B中點為M(x,y),則x=,y=1-,消去a,得x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1. 答案 x+y=1(x≠0,x≠1) 13.到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點,在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是________. 解析 在邊長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,DC與A1D1是兩條相互垂直的異面直線,平面ABCD過直線DC且平行于A1D1,以D為原點,分別以DA、DC為x軸、y軸建立平面直角坐標系,設點P(x,y)在平面ABCD內(nèi)且到A1D1與DC之間的距離相等,∴|x|=, ∴x2-y2=a2,故該軌跡為雙曲線. 答案 雙曲線 二、解答題 14.求過直線x-2y+4=0和圓1=0的交點,且滿足下列條件之一的圓的方程: (1)過原點; (2)有最小面積. 解析 設所求圓的方程是+4)=0, 即. (1)因為圓過原點,所以即. 故所求圓的方程為. (2)將圓系方程化為標準式,有: . 當其半徑最小時,圓的面積最小,此時為所求. 故滿足條件的圓的方程是. 點評:(1)直線和圓相交問題,這里應用了曲線系方程,這種解法比較方便;當然也可以用待定系數(shù)法.(2)面積最小時即圓半徑最小;也可用幾何意義,即直線與相交弦為直徑時圓面積最小. 15.如圖,橢圓C:+=1的右頂點是A,上、下兩個頂點分別為B、D,四邊形OAMB是矩形(O為坐標原點),點E、P分別是線段OA、AM的中點. (1)求證:直線DE與直線BP的交點在橢圓C上; (2)過點B的直線l1,l2與橢圓C分別交于點R、S(不同于點B),且它們的斜率k1,k2滿足k1k2=-,求證:直線RS過定點,并求出此定點的坐標. 解析 (1)由題意,得A(4,0),B(0,2),D(0,-2),E(2,0),P(4,1). 所以直線DE的方程為y=x-2,直線BP的方程為y=-x+2. 解方程組得 所以直線DE與直線BP的交點坐標為. 因為+=1, 所以點在橢圓+=1上. 即直線DE與直線BP的交點在橢圓C上. (2)設直線BR的方程為y=k1x+2. 解方程組 得或 所以點R的坐標為. 因為k1k2=-,所以直線BS的斜率k2=-. 直線BS的方程為y=-x+2. 解方程組得或 所以點S的坐標為. 所以點R,S關于坐標原點O對稱. 故R,O,S三點共線,即直線RS過定點O. 16.已知圓O:x2+y2=2交x軸于A、B兩點,曲線C是以AB為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點為F.若點P是圓O上的一點,連接PF,過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準線于點Q. (1)求橢圓C的標準方程; (2)若點P的坐標為(1,1),求證:直線PQ與圓O相切; (3)試探究:當點P在圓O上運動時(不與點A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系?若是,請證明;若不是,請說明理由. 解析 (1)因為a=,e=,所以c=1. 則b=1,即橢圓C的標準方程為+y2=1. (2)因為P(1,1),所以kPF=,所以kOQ=-2,所以直線OQ的方程為y=-2x. 又橢圓的左準線方程為x=-2,所以點Q(-2,4). 所以kPQ=-1.又kOP=1,所以kOP·kPQ=-1,即OP⊥PQ,故直線PQ與圓O相切. (3)當點P在圓O上運動時,直線PQ與圓O保持相切. 證明如下: 設P(x0,y0)(x0≠0,±1),則y=2-x,所以kPF=,kOQ=-. 所以直線OQ的方程為y=-x. 所以點Q. 所以kPQ====-,又kOP=, 所以kOP·kPQ=-1,即OP⊥PQ,故直線PQ始終與圓O相切. 17.如圖,在直角坐標系中,A、B、C三點在x軸上,原點O和點B分別是線段AB和AC的中點,已知AO=m(m為常數(shù)),平面的點P滿足PA+PB=6m. (1)試求點P的軌跡C1的方程; (2)若點(x,y)在曲線C1上,求證:點一定在某圓C2上; (3)過點C作直線l與圓C2相交于M、N兩點,若點N恰好是線段CM的中點,試求直線l的方程. 解析 (1)由題意可得點P的軌跡C1是以A、B為焦點的橢圓, 且半焦距長c=m,長半軸長a=3m,則C1的方程為+=1. (2)若點(x,y)在曲線C1上,則+=1.設=x0,=y(tǒng)0, 則x=3x0,y=2y0. 代入+=1,得x+y=m2, 所以點一定在某一圓C2上. (3)由題意,得C(3m,0). 設M(x1,y1),則x+y=m2.① 因為點N恰好是線段CM的中點,所以N. 代入C2的方程得2+2=m2.② 聯(lián)立①②,解得x1=-m,y1=0. 故直線l有且只有一條,方程為y=0. 18.在平面直角坐標系xOy中,已知定點A(-4,0),B(4,0),動點P與點A、B連線的斜率之積為-. (1)求點P的軌跡方程; (2)設點P的軌跡與y軸負半軸交于點C,半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上,且在y軸右側(cè),圓M被y軸截得的弦長為r. ①求圓M的方程; ②當r變化時,是否存在定直線l與動圓M均相切?如果存在,求出定直線l的方程;如果不存在,請說明理由. 解析 (1)設P(x,y),則直線PA、PB的斜率分別為 k1=,k2=. 由題意,知·=-,即+=1(x≠±4). 所以動點P的軌跡方程是+=1(x≠±4). (2)①由題意,得C(0,-2),A(-4,0), 所以線段AC的垂直平分線方程為y=2x+3. 設M(a,2a+3)(a>0),則⊙M的方程為(x-a)2+(y-2a-3)2=r2. 圓心M到y(tǒng)軸的距離d=a,由r2=d2+2,得a=. 所以⊙M的方程為2+(y-r-3)2=r2. ②假設存在定直線l與動圓M均相切. 當定直線的斜率不存在時,不合題意. 設直線l∶y=kx+b, 則=r對任意r>0恒成立. 由=r, 得2r2+(k-2)(b-3)r+(b-3)2=(1+k2)r2. 所以解得或 所以存在兩條直線y=3和4x+3y-9=0與動圓M均相切.- 配套講稿:
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