同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第二章_導(dǎo)數(shù)與微分.doc

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第二篇 一元函數(shù)微積分第二章 導(dǎo)數(shù)與微分微積分學(xué)包含微分學(xué)和積分學(xué)兩部分，而導(dǎo)數(shù)和微分是微分學(xué)的核心概念導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對于自變量的變化的快慢程度，微分則指明了當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上變化了多少，即函數(shù)的局部改變量的估值本章主要討論導(dǎo)數(shù)和微分的概念、性質(zhì)以及計(jì)算方法和簡單應(yīng)用第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念1.1 導(dǎo)數(shù)概念的引入1.1.1 質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題現(xiàn)有一質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式記為，求在時(shí)刻時(shí)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為多少？整體來說速度是變化的，但局部來說速度可以近似看成是不變的設(shè)質(zhì)點(diǎn)從時(shí)刻改變到時(shí)刻，在時(shí)間增量內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為，在時(shí)間內(nèi)的平均速度為，當(dāng)時(shí)間增量越小時(shí)，平均速度越接近于時(shí)刻的瞬時(shí)速度，于是當(dāng)時(shí)，的極限就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度，即1.1.2 平面曲線的切線斜率問題已知曲線，求曲線上點(diǎn)處的切線斜率欲求曲線上點(diǎn)的切線斜率，由切線為割線的極限位置，容易想到切線的斜率應(yīng)是割線斜率的極限圖2-1如圖2-1所示，取曲線上另外一點(diǎn)，則割線的斜率為當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨于時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的極限位置就是曲線在點(diǎn)的切線，此時(shí)割線的傾斜角趨于切線的傾斜角，故切線的斜率為前面我們討論了瞬時(shí)速度和切線斜率兩個(gè)問題，雖然實(shí)際意義不同，但如果舍棄其實(shí)際背景，從數(shù)學(xué)角度看，卻有著相同的數(shù)學(xué)形式，即當(dāng)自變量的改變量趨于零時(shí)，求函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，許多問題都可以轉(zhuǎn)化為上述極限形式進(jìn)行研究，如電流強(qiáng)度、人口增長速度、國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長率、邊際成本和邊際利潤等因此，我們舍棄這些問題的實(shí)際意義，抽象出它們數(shù)量關(guān)系上的共同本質(zhì)導(dǎo)數(shù)1.2 導(dǎo)數(shù)的概念1.2.1 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量在處取得增量，且時(shí)，函數(shù)取得相應(yīng)的增量，如果極限存在，那么稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記作，即注：（1）由導(dǎo)數(shù)的定義可得與其等價(jià)的定義形式；（2）若極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo)特別地，若，也可稱函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為無窮大，此時(shí)在點(diǎn)的切線存在，它是垂直于軸的直線例1 設(shè)，求解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義，可得例2 設(shè)，求下列極限：（1）； （2）解（1）（2）1.2.2 單側(cè)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是由函數(shù)的極限來定義的，因?yàn)闃O限存在左、右極限，所以導(dǎo)數(shù)也存在左、右導(dǎo)數(shù)的定義定義2 （1）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某左鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)左側(cè)取得增量時(shí)，如果極限或存在，則稱此極限值為在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)，記為，即（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)右側(cè)取得增量時(shí)，如果極限或存在，則稱此極限值為在點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)，記為，即 由極限存在的充要條件可得函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件如下：定理1 函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)和存在且相等例3 研究函數(shù)在點(diǎn)的可導(dǎo)性解 因?yàn)?，所以，從而，因此在點(diǎn)不可導(dǎo)1.2.3 導(dǎo)函數(shù)定義3 （1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)均可導(dǎo)，則稱在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在區(qū)間左端點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)和區(qū)間右端點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)均存在，則稱在閉區(qū)間上可導(dǎo)定義4 若函數(shù)在區(qū)間（可以是開區(qū)間、閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間）上可導(dǎo)，且對于任意的，都對應(yīng)著一個(gè)導(dǎo)數(shù)值，其是自變量的新函數(shù)，則稱為在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)，記作，即或注：（1）在導(dǎo)函數(shù)的定義式中，雖然可以取區(qū)間上的任意值，但在求極限的過程中，是常數(shù)，和是變量（2）導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)，只要沒有指明是特定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時(shí)所說的導(dǎo)數(shù)都是指導(dǎo)函數(shù)顯然函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，即下面利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例4 求常值函數(shù)（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)解 即得常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：例5求正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 即得正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：類似可得余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：例6求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 由于當(dāng)時(shí)，所以即得指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：特別地，例7 求對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 即得對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：特別地，例8 求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 ，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，從而，故即得冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)，導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線斜率（圖2-1）由此可得，曲線在處的切線方程為若，可得切線的傾斜角為或，此時(shí)切線方程為當(dāng)時(shí)，曲線在處的法線方程為若，則法線方程為例9 求函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)的切線方程和法線方程解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為從而所求的切線方程為，即所求法線的斜率為，從而所求的法線的方程為，即1.4 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2 如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么在點(diǎn)處連續(xù)證明 因?yàn)樵邳c(diǎn)處可導(dǎo)，即，其中，所以根據(jù)連續(xù)的定義可知在點(diǎn)處連續(xù)注：（1）定理2的逆命題不成立，即連續(xù)函數(shù)未必可導(dǎo)（2）如果函數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù)，那么函數(shù)在該點(diǎn)一定不可導(dǎo)例10 討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性解 因?yàn)?，所以在點(diǎn)處連續(xù)又因?yàn)椴淮嬖?，所以在點(diǎn)處不可導(dǎo)例11 討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性解 因?yàn)?，所以在點(diǎn)處不連續(xù)，從而在點(diǎn)處不可導(dǎo)例12 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，求解 由于在點(diǎn)處可導(dǎo)，所以在點(diǎn)處必連續(xù)，即因?yàn)?，所以可得又因?yàn)?，要使在點(diǎn)處可導(dǎo)，則應(yīng)有，即所以，如果在點(diǎn)處可導(dǎo)，則有習(xí)題2-11. 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求：（1）物體在到這一時(shí)間段的平均速度；（2）物體在時(shí)的瞬時(shí)速度2. 設(shè)，按定義求.3. 設(shè)存在，指出下列極限各表示什么？（1）； （2）；（3）（設(shè)且存在）.4. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且，求.5. 已知函數(shù)，求和，判定是否存在？6. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.7. 試討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.8. 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，求的值.第2節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則在上一節(jié)中，利用導(dǎo)數(shù)的定義求得了一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)但對于一些復(fù)雜的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)定義去求解，難度比較大因此本節(jié)將介紹幾種常用的求導(dǎo)法則，利用這些法則和基本求導(dǎo)公式就能比較簡單地求一般初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則定理1 如果函數(shù)和都在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么它們的和、差、積、商（分母不為零）都在點(diǎn)處可導(dǎo)，且（1）（2）特別地，（為常數(shù)）（3）特別地，證明（1） （2） ，由于在點(diǎn)處可導(dǎo)，從而其在點(diǎn)處連續(xù)，故（3）先考慮特殊情況當(dāng)時(shí)，由于在點(diǎn)處可導(dǎo)，從而其在點(diǎn)處連續(xù)，故因此，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且于是注：（1）法則（1）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和與差的求導(dǎo)如（2）法則（2）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的積的求導(dǎo)如例1 設(shè)，求解 例2 設(shè)，求解 例3 設(shè)，求解 例4 設(shè)，求解 例5 設(shè)，求解 即得正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：類似可得余切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：例6 設(shè)，求解 即得正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：類似可得余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，那么它的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且 或 換句話說，即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)證明 由于在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)（必連續(xù)），從而可知的反函數(shù)存在，且在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)取，給以增量，由的單調(diào)性可知，于是有，由于連續(xù)，所以，從而例7 設(shè)，求解 因?yàn)榈姆春瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且又因?yàn)樵趦?nèi)有，所以在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)有即得到反正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：類似可得反余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：例8 設(shè)，求解 因?yàn)榈姆春瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且，所以在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)有即得反正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：類似可得反余切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3 如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 或 證明 因?yàn)樵邳c(diǎn)可導(dǎo)，所以存在，于是根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系可得，其中是時(shí)的無窮小由于上式中，在其兩邊同乘，可得，用除上式兩邊，可得，于是根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必在該點(diǎn)連續(xù)可知，當(dāng)時(shí)，從而可得又因?yàn)樵邳c(diǎn)可導(dǎo)，所以，故如果，規(guī)定，那么，此時(shí)仍成立，從而仍有注：（1）表示復(fù)合函數(shù)對自變量求導(dǎo)，而則表示函數(shù)對中間變量求導(dǎo)（2）定理的結(jié)論可以推廣到有限個(gè)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)例如，設(shè)可導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，則例9 設(shè)，求解 因?yàn)橛蓮?fù)合而成，所以例10 設(shè)，求解 因?yàn)橛蓮?fù)合而成，所以從以上例子可以直觀的看出，對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，是從外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，故形象地稱其為鏈?zhǔn)椒▌t當(dāng)對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過程較熟練后，可以不用寫出中間變量，而把中間變量看成一個(gè)整體，然后逐層求導(dǎo)即可例11 設(shè)，求解 例12 設(shè)，求解 例13 設(shè)（為常數(shù)），求解 例14 設(shè)，求解 因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上可得例15 設(shè)可導(dǎo)，求的導(dǎo)數(shù)解 2.4 高階導(dǎo)數(shù)變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的路程函數(shù)為，則速度，加速度，從而這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)，依次類推就產(chǎn)生了高階導(dǎo)數(shù)的概念一般地，可給出如下定義：定義1 若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則稱在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，即這時(shí)也稱在點(diǎn)二階可導(dǎo)若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都二階可導(dǎo)，則稱它在區(qū)間上二階可導(dǎo)，并稱為在區(qū)間上的二階導(dǎo)函數(shù)，簡稱為二階導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo)，那么可定義三階導(dǎo)數(shù)：，記作以此類推，如果函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo)，那么可定義階導(dǎo)數(shù)：，記作習(xí)慣上，稱為的一階導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)有時(shí)也把函數(shù)本身稱為的零階導(dǎo)數(shù)，即注：由高階導(dǎo)數(shù)的定義可知，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù)，所以前面學(xué)到的求導(dǎo)方法對于計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)同樣適用定理4 如果函數(shù)和都在點(diǎn)處具有階導(dǎo)數(shù)，那么（1）（2），其中特別地，（為常數(shù)）定理4中的（2）式稱為萊布尼茲（Leibniz）公式例16 設(shè)，求解 ，一般地，設(shè)，則例17 設(shè)，求解 ，由歸納法可得特別地，當(dāng)時(shí)，例18 設(shè)，求解 ，由歸納法可得類似地，可得例19 設(shè)，求解 ，由歸納法可得例20 設(shè)（為任意常數(shù)），求解 ，由歸納法可得特別地，當(dāng)時(shí)，可得而例21 設(shè)，求解 例22 設(shè)，求解 設(shè)，則，由萊布尼茲公式，可得2.5 導(dǎo)數(shù)公式與基本求導(dǎo)法則基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等在初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算中起著重要的作用為了便于查閱，現(xiàn)在把這些導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則歸納如下：2.5.1 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（為常數(shù)）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）2.5.2 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)和都可導(dǎo)，則（1）； （2）； （3）（為常數(shù)）； （4）；（5）2.5.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，那么它的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且 或 2.5.4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 或 2.5.5 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則如果函數(shù)和都在點(diǎn)處具有階導(dǎo)數(shù)，那么（1）（2），其中特別地，（為常數(shù)）習(xí)題2-2 1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）.2. 求曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程和法線方程.3. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）.4. 設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）； （2）；（3）； （4）.5. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.6. 求下列函數(shù)所指定階的導(dǎo)數(shù).（1），求； （2），求.第3節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以解析式的形式確定的函數(shù)稱為顯函數(shù)例如，以二元方程的形式確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)例如，把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，稱為隱函數(shù)的顯化例如從方程解出，就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù)但隱函數(shù)的顯化有時(shí)候是困難的，甚至是不可能的例如方程所確定的隱函數(shù)就難以化成顯函數(shù)但在很多情況下，需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，我們希望找到一種方法，不論隱函數(shù)能否顯化，都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)的基本思想是：把方程中的看成自變量的函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，在方程兩端同時(shí)對求導(dǎo)數(shù)，然后整理變形解出即可的結(jié)果中可同時(shí)含有和若將看成自變量，同理可求出例1 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 方程兩端對求導(dǎo)，得，從而例2 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 方程兩端對求導(dǎo)，得，從而例3 求橢圓曲線上點(diǎn)處的切線方程和法線方程解 方程兩端對求導(dǎo)，得，故從而，切線斜率和法線斜率分別為，所求切線方程為，即法線方程為，即例4 求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解 方程兩端對求導(dǎo)，得，從而上式兩端再對求導(dǎo)，得3.2 對數(shù)求導(dǎo)法對于以下兩類函數(shù)：（1）冪指函數(shù)，即形如的函數(shù)（2）函數(shù)表達(dá)式是由多個(gè)因式的積、商、冪構(gòu)成的要求它們的導(dǎo)數(shù)，可以先對函數(shù)式兩邊取自然對數(shù)，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對函數(shù)式進(jìn)行化簡，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，這種方法稱為對數(shù)求導(dǎo)法例5 設(shè)，求解 函數(shù)兩端取自然對數(shù)，得，兩端分別對求導(dǎo)，得，所以例6 設(shè)，求解 先在函數(shù)兩端取絕對值后再取自然對數(shù)，得，兩端分別對求導(dǎo)，得，即 容易驗(yàn)證，例6中的解法，若省略取絕對值這一步所得的結(jié)果是相同的，因此，在使用對數(shù)求導(dǎo)法時(shí)，常省略取絕對值的步驟3.3 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，若參數(shù)方程確定了與之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)定理1 設(shè)參數(shù)方程，其中均可導(dǎo)，且函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，則有 或 證明 因?yàn)楹瘮?shù)嚴(yán)格單調(diào)，所以其存在反函數(shù)又因?yàn)榭蓪?dǎo)且，故也可導(dǎo)，且有對于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，可得如果還是二階可導(dǎo)的，那么由定理1可得到函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)公式：，即例7 設(shè)，求解 因?yàn)樗岳? 求星形線在的相應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法線方程（圖2-2）圖2-2解 由可得，星形線在點(diǎn)處的切線斜率和法線斜率分別為，從而，所求切線方程為，即所求法線方程為，即例9 設(shè)，求解 （方法一）因?yàn)椋裕ǚ椒ǘ┯捎?，代入公式可?.4 由極坐標(biāo)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與的關(guān)系通常是在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行的，但在某些情況下，使用極坐標(biāo)系則顯得比直角坐標(biāo)系更簡單如圖2-3所示，從平面上一固定點(diǎn)，引一條帶有長度單位的射線，這樣在該平面內(nèi)建立了極坐標(biāo)系，稱為極點(diǎn)，為極軸設(shè)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線段的長度稱為極徑，記為，極軸到線段的轉(zhuǎn)角（逆時(shí)針）稱為極角，記為，稱有序數(shù)組為點(diǎn)的極坐標(biāo)圖2-3若一平面曲線上所有點(diǎn)的極坐標(biāo)都滿足方程，且坐標(biāo)滿足方程的所有點(diǎn)都在平面曲線上，則稱為曲線的極坐標(biāo)方程將極軸與直角坐標(biāo)系的正半軸重合，極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，極坐標(biāo)為，則兩者有如下關(guān)系：或設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得曲線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)由參數(shù)方程的求導(dǎo)公式，可得例10 求心形線在處的切線方程（圖2-4）圖2-4解 由極坐標(biāo)的求導(dǎo)公式得當(dāng)時(shí)，所以，所求切線方程為，即習(xí)題2-3 1. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.2. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.3. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).（1）； （2）.4. 利用對數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.5. 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的指定階的導(dǎo)數(shù).（1），求； （2），求；（3），求； （4），求.6. 求四葉玫瑰線（為常數(shù)）在對應(yīng)點(diǎn)處的切線方程.第4節(jié) 函數(shù)的微分4.1 微分的概念在許多實(shí)際問題中，要求研究當(dāng)自變量發(fā)生微小改變時(shí)所引起的相應(yīng)的函數(shù)值的改變例如，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由變到（圖2-5），問此薄片的面積改變了多少？當(dāng)很微小時(shí)，正方形的面積改變的近似值是多少？圖2-5設(shè)此正方形的邊長為，面積為，則與存在函數(shù)關(guān)系當(dāng)邊長由變到，正方形金屬薄片的面積改變量為從上式可以看出，分為兩部分，第一部分是的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個(gè)矩形面積之和，第二部分是圖中右上角的小正方形的面積，當(dāng)時(shí)，第二部分是比高階的無窮小量，即因此，當(dāng)很微小時(shí)，我們用近似地表示，即故是正方形的面積改變的近似值定義1 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在此區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量可表示為，其中是不依賴于的常數(shù)，那么稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的，而叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分，記為或4.2 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理1 函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且當(dāng)在點(diǎn)可微時(shí)，其微分一定是證明 （必要性）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微，即，其中是不依賴于的常數(shù)上式兩邊用除之，得，當(dāng)時(shí)，對上式兩邊取極限就得到即因此，若函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)一定可導(dǎo)，且（充分性）函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，即存在，根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，上式可寫成，其中（當(dāng)時(shí)），從而，其中是與無關(guān)的常數(shù)，比是高階無窮小，所以在點(diǎn)也是可微的根據(jù)微分的定義和定理1可得以下結(jié)論：（1）函數(shù)在點(diǎn)處的微分就是當(dāng)自變量產(chǎn)生增量時(shí)，函數(shù)的增量的主要部分（此時(shí)）由于是的線性函數(shù)，故稱微分是的線性主部當(dāng)很微小時(shí)，更加微小，從而有近似等式（2）函數(shù)的可導(dǎo)性與可微性是等價(jià)的，故求導(dǎo)法又稱微分法但導(dǎo)數(shù)與微分是兩個(gè)不同的概念，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在處的變化率，其值只與有關(guān)；而微分是函數(shù)在處增量的線性主部，其值既與有關(guān)，也與有關(guān)定義2 函數(shù)在任意點(diǎn)處的微分，稱為函數(shù)的微分，記作或，即通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作，即因此，函數(shù)的微分可以寫成或從而有或因此，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所以，導(dǎo)數(shù)又稱微商例1 設(shè)函數(shù)，（1）求；（2）若，求和解 （1）由微分的定義可得（2）將代入（1）的結(jié)果，可得；4.3 微分的幾何意義在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖形是一條曲線，對于曲線上某一確定的點(diǎn)，當(dāng)自變量有微小增量時(shí)，就得到曲線上另一點(diǎn)（圖2-6）過點(diǎn)作曲線的切線，它的傾斜角為，則有，.圖2-6由此可見，對于可微函數(shù)，當(dāng)是曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)，微分就是曲線在點(diǎn)的切線的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量當(dāng)很小時(shí)，比小得多，因此在點(diǎn)的鄰近，可以用近似代替，進(jìn)而可以用切線段來近似代替曲線段4.4 微分公式與微分運(yùn)算法則由函數(shù)的微分表達(dá)式可得，只要先計(jì)算出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分就可以計(jì)算出函數(shù)的微分因此可得如下的微分公式和微分運(yùn)算法則4.4.1 基本初等函數(shù)的微分公式（1）（為常數(shù)）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）4.4.2 微分的運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)和都可導(dǎo)，則（1）； （2）； （3）（為常數(shù)）； （4）4.4.3 復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的微分為由此可見，無論是自變量還是中間變量，微分形式保持不變這一性質(zhì)稱為微分形式不變性例2 設(shè)，求解 （方法一）令，則利用微分形式不變性，可得（方法二）若不引入中間變量，則4.4.4 隱函數(shù)的微分例3 求由方程所確定的隱函數(shù)的微分解 對方程兩邊分別求微分，有，即，從而，可得4.5 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用根據(jù)前面的討論可知，如果函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，且很小時(shí)，那么有， （2-4-1）公式（2-4-1）可以改寫為， （2-4-2）或 （2-4-3）在（2-4-3）式中令，即，則可得 （2-4-4）如果和都容易計(jì)算，則可以利用（2-4-1）式來近似計(jì)算，利用（2-4-3）式來近似計(jì)算，以及利用（2-4-4）式來近似計(jì)算若在（2-4-4）式中令，則有 （2-4-5）從而，當(dāng)很小時(shí)，可用（2-4-5）式推得以下幾個(gè)常用的近似公式（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）例4 一個(gè)內(nèi)直徑為的球殼體，球殼的厚度為，問球殼體的體積的近似值為多少？解 半徑為的球體體積為由于，故就是球殼體的體積用作為其近似值，則所以球殼體的體積的近似值為例5 計(jì)算的近似值解 設(shè)，則取，則例6 計(jì)算的近似值解 由于，而，其值較小，故利用近似公式，可得習(xí)題2-4 1.已知函數(shù)，計(jì)算在處，當(dāng)時(shí)的和.2. 求下列函數(shù)的微分.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）.3. 求由方程所確定的函數(shù)的微分.4. 利用微分計(jì)算下列近似值.（1）； （2）.5設(shè)扇形的圓心角，半徑如果不變，減少，問扇形面積大約改變了多少？又如果不變，增加，問扇形面積大約改變了多少？6有一批半徑為的球，為了提高球面的光潔度，要鍍上一層銅，銅的厚度定為，估計(jì)一下每只球需用銅多少（銅的密度為）？第5節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用由于導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率，所以現(xiàn)實(shí)生活中很多涉及變化率的問題，都可以轉(zhuǎn)化為對導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問題因此導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用是非常廣泛的5.1 相關(guān)變化率定義1 若及為可導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)由，確定，則變化率與稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題就是研究這兩個(gè)變化率之間的關(guān)系，以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率例1 一氣球從離開觀察員500 m處離地面鉛直上升，其速度為，當(dāng)氣球高度為500 m時(shí)，觀察員視線的仰角增加率是多少？解 設(shè)氣球上升分鐘后其高度為，觀察員視線的仰角為，則上式兩邊對求導(dǎo)，可得當(dāng)時(shí)，即又因?yàn)?，所以即此時(shí)觀察員視線的仰角增加率是例2 平靜的水面由于石頭的落入而產(chǎn)生同心波紋，如果最外一圈波紋半徑的增大率總是，問在末水面擾動(dòng)面積的增大率是多少？解 設(shè)時(shí)最外一圈波紋半徑為，此時(shí)水面擾動(dòng)面積為，則上式兩邊對求導(dǎo)，可得當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，所以，即在末水面擾動(dòng)面積的增大率是5.2 經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用5.2.1 邊際與邊際分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際概念是與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)概念，它反映的是一種經(jīng)濟(jì)變量相對于另一種經(jīng)濟(jì)變量的變化率定義2 設(shè)函數(shù)在可導(dǎo)，則稱導(dǎo)函數(shù)為的邊際函數(shù)稱為邊際函數(shù)在處的邊際函數(shù)值下面介紹經(jīng)濟(jì)分析中幾個(gè)常用的邊際函數(shù)：1. 邊際成本定義3 總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本邊際成本表示當(dāng)已生產(chǎn)了個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，再增加一個(gè)單位產(chǎn)品使總成本增加的數(shù)量例3 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個(gè)單位的總成本為，試求當(dāng)時(shí)的總成本及邊際成本，并解釋邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義解 由，可得邊際成本函數(shù)為當(dāng)時(shí)，總成本為，邊際成本為經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)產(chǎn)量為10個(gè)單位時(shí)，再增加一個(gè)單位產(chǎn)量，總成本需再增加5個(gè)單位2. 邊際收益定義4 總收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益邊際收益表示銷售個(gè)單位產(chǎn)品后，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)所增加的總收益例4 某產(chǎn)品的價(jià)格與銷售量的關(guān)系為，求時(shí)的總收益及邊際收益，并解釋邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義解 總收益函數(shù)為，邊際收益函數(shù)為當(dāng)時(shí)，總收益為，邊際收益為經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)銷售量為30個(gè)單位時(shí)，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品，總收益將減少2個(gè)單位（或者說，再少銷售一個(gè)單位產(chǎn)品，總收益將少損失2個(gè)單位）3. 邊際利潤定義5 總利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤邊際利潤表示若已經(jīng)生產(chǎn)了個(gè)單位的產(chǎn)品，再多生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí)所增加的總利潤例5 某煤炭公司每天生產(chǎn)煤噸的總成本函數(shù)為，如果每噸煤的銷售價(jià)為490元，求（1）邊際成本；（2）總利潤函數(shù)以及邊際利潤；（3）當(dāng)噸時(shí)的邊際利潤，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義解 （1）由，可得邊際成本為（2）因?yàn)榭偸杖牒瘮?shù)為，所以總利潤函數(shù)為，故邊際利潤為（3）當(dāng)噸時(shí)，邊際利潤為經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)每天煤的產(chǎn)量在1000噸的基礎(chǔ)上再增加一噸時(shí)，總利潤沒有增加5.2.2 彈性與彈性分析彈性概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的另一個(gè)重要概念，它是用來定量地描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的反應(yīng)程度定義6 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量之比稱為函數(shù)在與兩點(diǎn)間的彈性，或兩點(diǎn)間的相對變化率當(dāng)時(shí)，的極限稱為函數(shù)在點(diǎn)處的彈性或相對變化率，記為或?qū)τ谝话愕?，如果可?dǎo)，且，則有，它是的函數(shù)，稱之為的彈性函數(shù)，簡稱彈性 注：表示在點(diǎn)處，當(dāng)改變時(shí)，函數(shù)改變下面介紹經(jīng)濟(jì)分析中常見的彈性函數(shù)：1. 需求的價(jià)格彈性定義7 設(shè)某商品的需求函數(shù)（表示商品價(jià)格，表示需求量）在點(diǎn)處可導(dǎo)，由于一般情形下單調(diào)減少，和符號(hào)相反，且為正數(shù)，故和均為非正數(shù)，為了用正數(shù)表示彈性，我們稱為該商品在和兩點(diǎn)間的需求的價(jià)格彈性稱為該商品在點(diǎn)處的需求的價(jià)格彈性函數(shù)，簡稱為需求彈性根據(jù)需求彈性的大小，可分為下面三種情況：（1）當(dāng)時(shí)，稱需求富有彈性，此時(shí)需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度，價(jià)格變動(dòng)對需求量的影響較大（2）當(dāng)時(shí)，稱需求有單位彈性，此時(shí)需求變動(dòng)的幅度等于價(jià)格變動(dòng)的幅度（3）當(dāng)時(shí)，稱需求缺乏彈性，此時(shí)需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，價(jià)格變動(dòng)對需求量的影響不大例6 已知某商品的需求函數(shù)為，求：（1），并解釋其經(jīng)濟(jì)意義；（2）需求彈性函數(shù)；（3）時(shí)的需求彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義解 （1）當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有，從而，故其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)商品價(jià)格從30降到25時(shí)，在該區(qū)間內(nèi)，價(jià)格從30每降低1%，需求量從40平均增加1.2%（2）因?yàn)椋孕枨髲椥院瘮?shù)（3）時(shí)的需求彈性為 其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)時(shí)，價(jià)格每上漲（下跌）1%，需求量則減少（增加）1%2. 供給的價(jià)格彈性定義8 設(shè)某商品的供給函數(shù)（表示商品價(jià)格，表示供給量）在點(diǎn)處可導(dǎo)，則稱為該商品在和兩點(diǎn)間的供給彈性稱為該商品在點(diǎn)處的供給的價(jià)格彈性函數(shù)，簡稱為供給彈性注：由于供給函數(shù)一般為價(jià)格的遞增函數(shù)，故當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)，供給量相應(yīng)增加；當(dāng)價(jià)格下跌時(shí)，供給量相應(yīng)減少例7 設(shè)某商品的供給函數(shù)為，求：（1）供給彈性函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)的供給彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義解 （1）因?yàn)椋怨┙o彈性函數(shù)為（2）時(shí)的供給彈性為 其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)時(shí)，價(jià)格再上漲（下跌）1%，供應(yīng)量將增加（減少）6%3. 收益的價(jià)格彈性定義9 設(shè)某商品的需求函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)（表示商品價(jià)格，表示需求量），則收益關(guān)于價(jià)格的函數(shù)為，稱為該商品在點(diǎn)處的收益的價(jià)格彈性函數(shù)，簡稱為收益彈性例8 已知某商品的需求函數(shù)為，求：（1）該商品的收益彈性函數(shù)；（2）時(shí)的收益彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義解 （1）商品的收益函數(shù)為，從而收益彈性函數(shù)為（2）時(shí)的收益彈性為其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)時(shí)，價(jià)格再上漲（下跌）1%，總收益將減少（增加）0.5%習(xí)題2-5 1. 氣球充氣時(shí)，其半徑以的速度增大，假設(shè)在充氣過程中氣球始終保持球形，求時(shí)氣球體積的變化率.2. 注水入深上頂直徑的正圓錐形容器中，其速率為，當(dāng)水深為時(shí)，其表面上升的速率為多少？3. 已知某商品的成本函數(shù)為，求當(dāng)時(shí)的總成本及邊際成本.4. 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，其中為價(jià)格，為銷售量，求銷售量為15個(gè)單位時(shí)的總收益和邊際收益.5. 已知某商品的需求函數(shù)為，求：（1），并解釋其經(jīng)濟(jì)意義；（2）需求彈性函數(shù)；（3）、和，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義6. 設(shè)某商品的供給函數(shù)為，求：（1）供給彈性函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)的供給彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義7. 設(shè)某商品的需求函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)（表示商品價(jià)格，表示需求量），收益函數(shù)為，證明8. 已知某公司生產(chǎn)經(jīng)營的某種電器的需求彈性在之間，如果該公司計(jì)劃在下一年度內(nèi)將價(jià)格降低，試求這種電器的銷售量將會(huì)增加多少？總收益將會(huì)增加多少？第6節(jié) MATLAB軟件應(yīng)用MATLAB符號(hào)工具箱中提供的函數(shù)diff可以求取一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)，也可求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)diff的調(diào)用格式如下：D= diff(fun,x,n)參數(shù)說明：D是求得的導(dǎo)數(shù)， fun是函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式，x是符號(hào)變量，n是求導(dǎo)階數(shù)，若n缺省，其默認(rèn)值為1在MATLAB中還可以使用函數(shù)subs來計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值函數(shù)subs的調(diào)用格式如下：Z=subs(fun,old,new)參數(shù)說明：fun 是函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式，old是符號(hào)變量，Z是在函數(shù)fun中用變量new替換old后所求得的導(dǎo)數(shù)值例1 求的導(dǎo)數(shù).解 輸入命令：syms a x;daoshu=diff(log(x+sqrt(a2+x2), x );daoshu=simplify(daoshu) % 使輸出的結(jié)果簡單化輸出結(jié)果：daoshu=1/(a2+x2)(1/2)例2 求的5階導(dǎo)數(shù).解 輸入命令：syms x;daoshu5=diff(exp(2*x),x,5)輸出結(jié)果：daoshu5=32*exp(2*x)例3 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 輸入命令：syms x y;z=exp(y)+x*y-exp(1);dydx=-diff(z,x)/diff(z,y)輸出結(jié)果：dydx=-y/(x+exp(y)例4 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 輸入命令：syms tx=exp(t)*cos(t);y=exp(t)*sin(t);daoshu=diff(y,t)/diff(x,t);daoshu=simplify(daoshu)輸出結(jié)果：daoshu=(cos(t)+sin(t)/(cos(t)-sin(t)例5 求的微分.解 輸入命令：syms x;y=cos(3*x+2);dy=char(diff(y),dx輸出結(jié)果：dy=-3*sin(3*x+2)dx例6 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值.解 輸入命令：syms xf=x3+4*sin(x);dfdx=diff(f,x);f_pi=subs(dfdx,x,pi)輸出結(jié)果：f_pi=3*pi2-4總習(xí)題2（A） 1. 一物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求下列各值：（1）物體在到這段時(shí)間的平均速度；（2）物體在時(shí)的速度.2. 已知函數(shù)，求.3. 討論下列函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性.（1）； （2）.4. 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，求的值.5. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 6. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）；（17）； （18）；（19）； （20）.7. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).（1）； （2）；（3）； （4）.8. 求由方程所確定的隱函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)9. 求曲線在的相應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法線方程10. 求下列函數(shù)的微分.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）.11. 半徑為的金屬圓片加熱后，其半徑伸長了，求其面積增大的精確值和近似值？12. 一長度為的梯子斜靠在墻上順墻下滑當(dāng)梯子下端在離墻時(shí)沿著地面以的速率離墻時(shí)，問此時(shí)梯子上端下降的速率是多少？13. 溶液從深，頂直徑為的正圓錐形漏斗中漏入一直徑為的圓柱形筒中已知開始時(shí)漏斗中盛滿了溶液，且當(dāng)溶液在漏斗中深為時(shí)，其表面下降的速率為問此時(shí)圓柱形筒中溶液表面上升的速率為多少？14. 設(shè)某廠每月生產(chǎn)產(chǎn)品的固定成本為元，生產(chǎn)單位產(chǎn)品的可變成本為元，如果每單位產(chǎn)品的售價(jià)為元，求:（1）邊際成本；（2）總利潤函數(shù)以及邊際利潤；（3）邊際利潤為零的產(chǎn)量.15. 設(shè)某商品的需求函數(shù)為（其中為價(jià)格），求：（1）需求彈性函數(shù)；（2）時(shí)的需求彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義（B）一、選擇題1.（2007、數(shù)學(xué)一）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是（ ）（A）若存在，則（B）若存在，則（C）若存在，則存在（D）若存在，則存在2.（2012、數(shù)學(xué)一）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（ ）.（A） （B） （C） （D）3.（2011、數(shù)學(xué)二）設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（ ）.（A） （B） （C） （D）4. （2006、數(shù)學(xué)二）設(shè)函數(shù)可微，則（ ）.（A） （B） （C） （D）5.（2007、數(shù)學(xué)三）設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中分別表示需求量和價(jià)格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，那么商品的價(jià)格是（ ）（A）10 （B）20 （C）30 （D）40二、填空題1.（2006、數(shù)學(xué)三）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則_.2.（2010、數(shù)學(xué)二）函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)_.3.（2011、數(shù)學(xué)三）曲線在點(diǎn)處的切線方程為_.4.（2008、數(shù)學(xué)一）曲線在點(diǎn)處的切線方程為_.5.（2013、數(shù)學(xué)二）設(shè)上對應(yīng)于的點(diǎn)處的法線方程為_.6.（2007、數(shù)學(xué)二）曲線上對應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為_.7. （2014、數(shù)學(xué)二）曲線的極坐標(biāo)方程為，則在點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程為_.8.（2013、數(shù)學(xué)一）設(shè)，為參數(shù)，則_.9.（2012、數(shù)學(xué)二）設(shè)是方程所確定的隱函數(shù)，則_.10. （2012、數(shù)學(xué)三）設(shè)函數(shù)，則_.11.（2009、數(shù)學(xué)二）設(shè)是方程所確定的隱函數(shù)，則_.12.（2006、數(shù)學(xué)二）設(shè)是方程所確定的隱函數(shù)，則_.13.（2010、數(shù)學(xué)二）已知一個(gè)長方形的長以的速率增加，寬以的速率增加，則當(dāng)時(shí)，它的對角線增加的速率為_.14.（2014、數(shù)學(xué)三）設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中為商品價(jià)格，則該商品的邊際收益為_.15.（2009、數(shù)學(xué)三）設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，其對價(jià)格的彈性為，則當(dāng)需求量為件時(shí)，價(jià)格增加1元會(huì)使產(chǎn)品收益增加_元三、解答題1.（2007、數(shù)學(xué)二）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)由方程確定，設(shè)，求.50