高三數(shù)學一輪復習 3.4函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應用課件 .ppt

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第四節(jié) 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù) 模型的簡單應用,【知識梳理】 1.y=Asin(ωx+φ)的有關概念,ωx+φ,2.用“五點法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的圖象的一般步驟 (1)定點:如表.,0,A,0,(2)作圖:在坐標系中描出這五個關鍵點,用光滑的曲線順次連接這些點,就得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)在一個周期內的圖象. (3)擴展:將所得圖象,按周期向兩側擴展可得y=Asin(ωx+φ)在R上的圖象.,3.由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的圖象的步驟,縮短,伸長,A,；,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: ①作函數(shù)y=sin(x- )在一個周期內的圖象時,確定的五點是 (0，0)，( ，1)，(π，0)，( ,-1),(2π,0)這五個點； ②利用圖象變換作圖時“先平移,后伸縮”與“先伸縮,后平移” 中平移的長度一致; ③將y=3sin2x的圖象左移 個單位后所得圖象的解析式是,④y=sin(x- )的圖象是由y=sin(x+ )的圖象向右移 個單位 得到的； ⑤由圖象求解析式時，振幅A的大小是由一個周期內的圖象中 的最高點的值與最低點的值確定的. 其中正確的是( ) A.①② B.③④ C.⑤ D.④⑤,【解析】選D.①錯誤.五點應為 ②錯誤.“先平移，后伸縮”的平移單位長度為|φ|，而“先 伸縮，后平移”的平移單位長度為 .故當ω≠1時平移的長度 不相等. ③錯誤.左移 個單位后解析式應為 ④正確.將y=sin(x+ )的圖象右移 個單位后得y=sin[(x- )+ ]=sin(x- ). ⑤正確.振幅A的值是由最大值M與最小值m確定的，其中,2.已知簡諧運動f(x)＝2sin( )(|φ| )的圖象經過點 (0,1)，則該簡諧運動的最小正周期T和初相φ分別為( ) 【解析】選A.最小正周期為 ；由2sin φ＝1， 得,3.將函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移φ(0≤φ2π)個單位后， 得到函數(shù)y＝sin(x- )的圖象，則φ等于( ) 【解析】選B.將函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移φ個單位后， 得到y(tǒng)＝sin(x+φ)的圖象，所以φ＝2kπ- (k∈Z)， 又0≤φ＜2π，所以,4.函數(shù)y＝sin(2x- )在區(qū)間[ ,π上]的簡圖是( ),【解析】選A.令x＝0得 排除B，D.由 f( )＝0，排除C.,5.(2014·臺州模擬)將函數(shù)y＝sin x的圖象上所有的點向右平 行移動 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2 倍(縱坐標不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是( ) 【解析】選C.將y＝sin x的圖象向右平移 個單位得到y(tǒng)＝ sin(x- )的圖象，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2 倍得到y(tǒng)＝sin( )的圖象．,6.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A0，ω0)在閉區(qū)間［-π，0］上的圖象如圖所示，則ω＝_______. 【解析】觀察函數(shù)圖象可得周期 所以ω＝3. 答案：3,考點1 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換 【典例1】(1)(2013·新課標全國卷Ⅱ)函數(shù)y=cos(2x+φ) (-π≤φ＜π)的圖象向右平移 個單位后，與函數(shù) y=sin(2x+ )的圖象重合，則φ=_____. (2)已知函數(shù) ①用五點法作出函數(shù)的圖象； ②說明此圖象是由y＝sin x的圖象經過怎么樣的變化得到的.,【解題視點】(1)平移可逆序考慮，即由y=sin(2x+ )的圖象 向左平移 個單位得y=cos(2x+φ)的圖象，借助于誘導公式可 求解φ. (2)將 看成一個整體，列表得出五個關鍵點.圖象變換時 先平移后伸縮.,【規(guī)范解答】(1)函數(shù)y=cos(2x+φ)的圖象向右平移 個單位， 得到y(tǒng)=sin(2x+ )的圖象，即y=sin(2x+ )的圖象向左平移 個單位得到函數(shù)y=cos(2x+φ)的圖象. y=sin(2x+ )的圖象向左平移 個單位， 得到 因為-π≤φ＜π,所以 答案：,(2)①列表：,描點、連線，如圖所示：,②先把y＝sin x的圖象上所有點向右平移 個單位，得到y(tǒng)＝ sin(x- )的圖象；再把y＝sin(x- )的圖象上所有點的橫坐 標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin( )的圖 象，最后將y＝sin( )的圖象上所有點的縱坐標伸長到原 來的3倍(橫坐標不變)，就得到y(tǒng)＝3sin( )的圖象.,【互動探究】在本例(2)①中，條件不變，作出函數(shù)在［0,4π］上的圖象. 【解析】因為0≤x≤4π，作出函數(shù)在［0,4π］上的圖象, 所以 列表如下：,描點，作出函數(shù)圖象如圖．,【規(guī)律方法】 1.在指定區(qū)間[a,b]上畫函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的方法 (1)選取關鍵點:先求出ωx+φ的范圍,然后在這個范圍內選取特殊點,連同區(qū)間的兩端點一起列表. (2)確定凹凸趨勢:令ωx+φ=0得x=x0,則點(x0,y0)兩側的變化趨勢與y=sinx中(0,0)兩側的變化趨勢相同,可據此找準對應點,以此把握凹凸趨勢.,2.兩種不同變換思路中平移單位的區(qū)別 由y=sinx的圖象變換到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象,兩種變換的區(qū) 別:先平移再伸縮,平移的量是|φ|個單位;而先伸縮再平移, 平移的量是 (ω0)個單位. 提醒:平移變換和伸縮變換都是針對x而言,即x本身加減多少值, 而不是依賴于ωx加減多少值.,【變式訓練】(2014·寧波模擬)要得到函數(shù)y=sin(2x- )的 圖象，只需將函數(shù)y=cos 2x的圖象( ) A.向左平移 個單位 B.向左平移 個單位 C.向右平移 個單位 D.向右平移 個單位 【解析】選C.因為y=cos 2x=sin(2x+ )，y=sin(2x- ) =sin[(2x+ ）- ]=sin[2(x- )+ ]，所以要得到函數(shù) y=sin(2x- )的圖象，需將函數(shù)y=cos 2x的圖象向右平移 個單位.,【加固訓練】1.將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)的圖象向 左平移 個單位后，所得的函數(shù)恰好是偶函數(shù)，則φ的值是 _____． 【解析】函數(shù)y＝sin(2x+φ)的圖象向左平移 個單位后，得 y＝sin(2x+ +φ)，則 +φ=kπ+ ,k∈Z.又0≤φ＜π，故 答案：,2.(2014·無錫模擬)f(x)＝sin(2x＋φ)(-π≤φ0)，y＝f(x) 圖象的一條對稱軸是直線x＝ . (1)求φ. (2)畫出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間［0，π］上的圖象．,【解析】(1)因為x＝ 是函數(shù)y＝f(x)的圖象的對稱軸， 所以sin(2× +φ)＝±1， 所以 因為-π≤φ0，所以,(2)由y＝ 知,故函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間［0，π］上的圖象如圖所示．,考點2 由圖象求解析式 【典例2】(1)(2013·四川高考)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ) 的部分圖象如圖所示，則ω,φ的值分別 是( ),(2)(2014·舟山模擬)如圖所示是函數(shù)y=f(x)＝Asin(ωx＋φ) ＋B(A＞0,ω＞0,|φ|∈(0, ))圖象的一部分，則f(x)的解析 式為________.,【解題視點】(1)根據周期求ω,根據最高點求φ. (2)根據最值求A,B，根據兩個特殊點求ω,φ.,【規(guī)范解答】(1)選A.根據圖示可知 所以函數(shù)的周期為π，可得ω=2，根據圖象過 代入解 析式，結合 故選A.,(2)由于最大值和最小值分別等于3，-1， 故 解得A＝2，B＝1. 把(0,2)代入y=f(x)，得2＝2sin φ+1，取 由圖可知0＜ω＜1，令ω(-π)+φ＝ +2kπ，k∈Z， 得,所以函數(shù)的解析式是 答案：,【易錯警示】關注ω或φ的取值范圍 本例第(1)題在求解時容易忽略φ的取值范圍而導致錯解，在求函數(shù)解析式時，要注意ω或φ的取值范圍，否則容易造成錯解.,【規(guī)律方法】確定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析 式的步驟 (1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則 (2)求ω，確定函數(shù)的周期T，則ω＝,(3)求φ，常用方法有： ①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升 區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入． ②五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作 為突破口．具體如下：“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點) 為ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖象的“峰點”)為ωx＋φ＝ “第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為ωx＋φ＝π；“第 四點”(即圖象的“谷點”)為ωx＋φ＝ “第五點”為ωx＋ φ＝2π.,【變式訓練】若函數(shù)f(x)的部分圖象如圖，則函數(shù)f(x)的解析 式以及S＝f(1)＋f(2)+…+f(2 014)的值分別為( ) A．f(x)＝ sin +1，S＝2 014 B．f(x)＝ cos ＋1，S＝2 014 C．f(x)＝ sin ＋1，S＝2 014.5 D．f(x)＝ cos ＋1，S＝2 014.5,【解析】選C.根據已知圖象，可設f(x)＝Asin ωx+1(ω0， A0)， 由T＝4得 所以 所以f(x)＝ 又f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1.5＋1＋0.5＋1＝4， 所以S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝503×［f(1)＋f(2)＋ f(3)＋f(4)］+f(1)+f(2) ＝503×4+ f(1)＋f(2)＝2 014.5.,【加固訓練】 1.(2013·鄭州模擬) 如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω ＞0,x∈R)在區(qū)間 上的圖象，為了得到這個函數(shù)的圖 象，只要將y＝sin x(x∈R)的圖象上所有的點( ) A.向左平移 個單位長度，再把所得各點 的橫坐標縮短到原來的 倍，縱坐標不變 B．向左平移 個單位長度，再把所得各點 的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變,C．向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原 來的 倍，縱坐標不變 D．向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原 來的2倍，縱坐標不變,【解析】選A.由圖象知 所以 所以f(x)＝sin(2x＋φ)， 又圖象過點 由五點法知 +φ＝π，所以 所以 故將函數(shù)y＝sin x的圖象先向左平移 個單位后，再把所得圖 象上各點的橫坐標縮短為原來的 (縱坐標不變)，可得函數(shù)y ＝sin(2x+ )的圖象．,2.已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖象如圖所示， 則f(0)＝______. 【解析】由圖象可得最小正周期為 所以f(0)=f( )，注意到 與 關于 對稱， 故 答案：,考點3 三角函數(shù)圖象性質的應用 【考情】三角函數(shù)的圖象及性質是高考的熱點.在高考中以選擇題、填空題或解答題的某一問的形式出現(xiàn)，考查函數(shù)的最值、方程根的個數(shù)、不等式、由式選圖及三角函數(shù)的實際應用等問題.,高頻考點 通 關,【典例3】(1)(2014·蕪湖模擬) 在同一 平面直角坐標系中，畫出三個函數(shù) f(x)= sin(2x+ )，g(x)=sin(2x+ )， h(x)=cos(x- )的部分圖象(如圖)，則( ) A.a為f(x)，b為g(x)，c為h(x) B.a為h(x)，b為f(x)，c為g(x) C.a為g(x)，b為f(x)，c為h(x) D.a為h(x)，b為g(x)，c為f(x),(2)(2014·金華模擬)函數(shù)f(x)= 的零點的個數(shù) 是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解題視點】(1)從振幅，最小正周期的特征檢驗排除． (2)在同一個坐標系中，作出函數(shù) 和 的圖 象，觀察后得交點個數(shù).,【規(guī)范解答】(1)選B.b的振幅最大，故b為f(x)；a的最小正周 期最大，故a為h(x)；從而c為g(x)，故選B. (2)選D.函數(shù) 的周期 由 ,可得x= .由 ,可得 x=8.在同一平面直角坐標系中，作出函數(shù) 和 的圖象(如圖所示)，易知有5個交點， 故函數(shù)f(x)有5個零點.,【通關錦囊】,【關注題型】,【通關題組】 1.(2012·浙江高考)把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),然后向左平移1個單位長度,再向下平移1個單位長度,得到的圖象是( ),【解析】選A.y=cos2x+1通過伸縮、平移變換后得到y(tǒng)=cos(x+1),對應圖象為A項.,2.(2011·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)=Atan(ωx+φ)(ω0， |φ| )，y=f(x)的部分圖象如圖，則f( )=( ),【解析】選B.由題中的圖象可知： 所以ω=2，所以 又|φ| ，所以 又f(0)=1，所以Atan =1，得A=1， 所以 所以,3.(2014·寧波模擬)函數(shù)y=x2·cos x的部分圖象可以為( ) 【解析】選C.y=x2cos x為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，所以排 除A，B.當y=x2cos x=0時，得x=0或x= +kπ,k∈Z，即函數(shù)過 原點，排除D，選C.,4.(2014·溫州模擬)已知方程 在0≤x≤π 上有兩解，則k的取值范圍為______. 【解析】方程 可化為 在同一 坐標系內作函數(shù) 與y2=k的圖象．,對于y1= ，令x=0，得y1=1.所以當k∈［1， )時，觀察知兩曲線在［0，π］上有兩交點，即方程有兩解. 答案：［1， ),【加固訓練】 1.(2014·石家莊模擬)甲、乙兩人從直徑為2r的圓形水池的一條直徑的兩端同時按逆時針方向沿水池做勻速圓周運動，已知甲的速度是乙的速度的兩倍，直到乙繞池一周為止，若用θ表示乙在某時刻旋轉角的弧度數(shù)，l表示甲、乙兩人的直線距離，則l=f(θ)的大致圖象是( ),【解析】選B.由題意知，θ=π時，兩人相遇，排除A，C；兩人的直線距離不可能為負，排除D.,2.下表所示是某地從1983年到2013年的月平均氣溫(華氏),,以月份減1為x，平均氣溫為y，以下四個函數(shù)模型中哪一個最適 合這些數(shù)據( ) 【解析】選C.最高氣溫73.0，最低氣溫21.4，故2A=73.0-21.4 =51.6，A=25.8.x=2時，分別代入A,B,C,D，與y=36.0相比較， 只有C最接近,所以選C.,3.(2014·安慶模擬)某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的 關系可近似地用函數(shù)y＝a+Acos[ (x-6)](x＝1,2,3，…，12) 來表示，已知6月份的月平均氣溫最高為28 ℃，12月份的月平 均氣溫最低為18 ℃，則10月份的平均氣溫為________℃.,【解析】因為當x=6時，y=a+A=28； 當x=12時，y=a-A=18， 所以a=23，A=5， 所以y=f(x)=23+5cos[ (x-6)]， 所以當x=10時，f(10)=23+5cos( ×4) =23-5× =20.5. 答案：20.5,【易錯誤區(qū)8】三角函數(shù)平移變換問題的易錯點 【典例】(2014·紹興模擬)把函數(shù)y=sin(3x- )的圖象向左平 移 個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標擴大為原來 的2倍(縱坐標不變),則所得函數(shù)的解析式為( ),【解析】選D.把函數(shù)y=sin(3x- )的圖象向左平移 個單位長 度，可得 ①的圖象， 即函數(shù)解析式為y=sin(3x+ )， 再把所得圖象上各點的橫坐標擴大為原來的2倍(縱坐標不變)， 可得 ②的圖象.,【誤區(qū)警示】 1.①處若不能正確理解平移的實質，會出現(xiàn) 得到 的錯誤. 2.②處對伸縮變換理解不到位，對橫坐標擴大或縮小為原來的 倍數(shù)把握不準，會出現(xiàn)y= 的錯誤.,【規(guī)避策略】 1.圖象的左右平移是針對x而言的. 2.圖象的周期變換，在變換中縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω倍，則x的系數(shù)相應變?yōu)樵瓉淼?【類題試解】(2014·西安模擬)把函數(shù) 的圖象向 右平移 個單位，再把所得函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮短為原 來的 ，所得的函數(shù)解析式為( ),【解析】選D.將原函數(shù)的圖象向右平移 個單位，得到函數(shù) 的圖象；再把所得函數(shù)圖象上 各點的橫坐標縮短為原來的 ，得到函數(shù) 的 圖象.,