高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.2直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式課件 .ppt

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第二節(jié) 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式,【知識(shí)梳理】 1.兩條直線的交點(diǎn),唯一解,無(wú)解,有無(wú)數(shù)組解,2.三種距離,,【考點(diǎn)自測(cè)】 1.(思考)給出下列命題: ①若兩直線的方程組成的方程組有解,則兩直線相交; ②點(diǎn)P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為 ③直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離;,④兩平行線間的距離是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離,也可以看做是兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離. 其中正確的是( ) A.①② B.②④ C.③④ D.①③,【解析】選C.①錯(cuò)誤,當(dāng)方程組有唯一解時(shí)兩條直線相交,若方程組有無(wú)窮多個(gè)解,則兩條直線重合. ②錯(cuò)誤,應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)必須將直線方程化為一般式,即本問(wèn)題的距離為 ③正確,因?yàn)樽钚≈稻褪怯稍擖c(diǎn)向直線所作的垂線段的長(zhǎng),即點(diǎn)到直線的距離. ④正確.兩平行線間的距離是夾在兩平行線間的公垂線段的長(zhǎng),即兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離.,2.點(diǎn)(1,1)到直線x+2y=5的距離為( ) 【解析】選D.因?yàn)橹本€x+2y=5可化為x+2y-5=0, 所以點(diǎn)(1,1)到直線x+2y=5的距離為,3.已知直線l1:3x-4y+4=0與l2:6x-8y-12=0,則直線l1與l2之間的 距離是( ) 【解析】選B.因?yàn)橹本€l1的方程可化為:6x-8y+8=0,且l2的方程 為:6x-8y-12=0,所以兩直線的距離為:,4.(2014·寧波模擬)直線x-2y+1=0關(guān)于直線x=1對(duì)稱的直線方程是( ) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0,【解析】選D.方法一:設(shè)所求直線上任一點(diǎn)為(x,y),則它關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)(2-x,y)在直線x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化簡(jiǎn)得x+2y-3=0. 方法二:根據(jù)直線x-2y+1=0關(guān)于直線x=1對(duì)稱的直線斜率是互為相反數(shù)得答案A或D,再根據(jù)兩直線交點(diǎn)在直線x=1上知選D.,5.直線l1過(guò)點(diǎn)(-2,0)且傾斜角為30°,直線l2過(guò)點(diǎn)(2,0)且與直 線l1垂直,則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為 . 【解析】直線l1方程為: 直線l2方程為: l1,l2方程聯(lián)立可得: 答案:,6.已知直線l1與l2:x-2y-2=0平行,且l1與l2的距離是 則直線 l1的方程為 . 【解析】因?yàn)橹本€l1與l2:x-2y-2=0平行,所以可設(shè)l1的方程 為:x-2y+c=0(c≠-2),又因?yàn)閮芍本€的距離為 所以 解得 所以直線l1的方程為 答案:,考點(diǎn)1 直線的交點(diǎn) 【典例1】(1)(2014·濱州模擬)當(dāng) 時(shí),直線l1:kx-y= k-1與直線l2:ky-x=2k的交點(diǎn)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,(2)求經(jīng)過(guò)直線l1:3x+4y-5=0與直線l2:2x-3y+8=0的交點(diǎn)M,且滿足下列條件的直線方程l. ①與直線l3:-2x+y+5=0平行; ②與直線l4:4x+3y-6=0垂直.,【解題視點(diǎn)】(1)可由兩直線方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo),再判斷橫、縱坐標(biāo)的符號(hào)即可. (2)可依據(jù)條件求出直線的交點(diǎn),再利用垂直關(guān)系或平行關(guān)系,求出直線的斜率,進(jìn)而求出直線的方程;也可以利用過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系設(shè)出直線方程,再利用垂直關(guān)系或平行關(guān)系求出參數(shù)值,即得直線方程.,【規(guī)范解答】(1)選B.解方程組 得兩直線的交點(diǎn)坐 標(biāo)為 因?yàn)? 所以 故交點(diǎn)在第二象限. (2)方法一:由 解得 所以交點(diǎn)M(-1,2). ①因?yàn)樗笾本€與-2x+y+5=0平行,所以可得所求直線斜率為 k=2,所以y-2=2(x+1),即所求的直線方程l為2x-y+4=0.,②因?yàn)樗笾本€與4x+3y-6=0垂直,所以可得所求直線斜率為 所以 即所求直線方程l為3x-4y+11=0. 方法二:由于l過(guò)l1,l2的交點(diǎn),故l是直線系3x+4y-5+λ(2x-3y+8) =0中的一條,將其整理,得(3+2λ)x+(4-3λ)y+(-5+8λ)=0.,①由條件知所求直線斜率為2,即 解得 代入直線系方程即得l的方程為2x-y+4=0. ②由條件知所求直線斜率為 即 解得λ=24. 代入直線系方程得3x-4y+11=0.,【規(guī)律方法】 1.兩直線交點(diǎn)的求法 求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),就是解由兩直線方程組成的方程組,以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn). 2.常見(jiàn)的四大直線系方程 (1)過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0)的直線系A(chǔ)(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),還可以表示為y-y0=k(x-x0)(斜率不存在時(shí)可視為x=x0).,(2)與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). (3)與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). (4)過(guò)直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2. 提醒:利用平行直線系或垂直直線系求直線方程時(shí),一定要注意系數(shù)及符號(hào)的變化規(guī)律.,【變式訓(xùn)練】 1.(2014·紹興模擬)設(shè)點(diǎn)A(1,-1),B(0,1),若直線ax+by=1與線段AB(包括端點(diǎn))有公共點(diǎn),則a2+b2的最小值為( ),【解析】選C.因?yàn)橹本€ax+by=1與線段AB(包括端點(diǎn))有公共點(diǎn),則A,B兩點(diǎn)在直線ax+by=1的異側(cè)或至少有一點(diǎn)在直線ax+by=1上,所以(a-b-1)(b-1)≤0. 畫(huà)出可行域,如圖: 因此a2+b2的最小值應(yīng)為原點(diǎn)到 直線a-b-1=0的距離的平方,即,2.(2013·萊蕪模擬)已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,1), (2,2),若直線l:x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn),求m的取值范圍. 【解析】方法一:直線x+my+m=0恒過(guò)點(diǎn)A(0,-1), 則 或 所以 且m≠0. 又m=0時(shí),直線x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn), 所以所求m的取值范圍是,方法二:過(guò)P,Q兩點(diǎn)的直線方程為 即 代入x+my+m=0, 整理得 由已知 解得 即m的取值范圍是,【加固訓(xùn)練】 設(shè)直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實(shí)數(shù)k1,k2滿足k1k2+2=0. (1)證明l1與l2相交. (2)證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2+y2=1上. 【證明】(1)假設(shè)l1與l2不相交,則l1與l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得k12+2=0. 此與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾.從而k1≠k2,即l1與l2相交.,(2)方法一:由方程組 得 得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)為 而 = 此即表明交點(diǎn)在橢圓2x2+y2=1上.,方法二:交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足 顯然x≠0,從而 代入k1k2+2=0, 得 整理得:2x2+y2=1, 所以交點(diǎn)P在橢圓2x2+y2=1上.,考點(diǎn)2 對(duì)稱問(wèn)題 【典例2】(1)平面直角坐標(biāo)系中直線y=2x+1關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的直線方程是( ) A.y=2x-1 B.y=-2x+1 C.y=-2x+3 D.y=2x-3,(2)(2013·湖南高考)在等腰直角三角形 ABC中,AB=AC=4,點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的 一點(diǎn),光線從點(diǎn)P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又 回到原點(diǎn)P(如圖).若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的 重心,則AP等于( ) A.2 B.1 C. D.,【解題視點(diǎn)】(1)可在直線y=2x+1上任取兩點(diǎn),求出這兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,1)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo),最后求出直線方程. (2)先建立直角坐標(biāo)系,求直線BC的方程,然后求出點(diǎn)P關(guān)于直線BC,AC的對(duì)稱點(diǎn),由題意知這兩點(diǎn)所在直線必過(guò)三角形的重心,然后用三點(diǎn)共線完成解答.,【規(guī)范解答】(1)選D.在直線y=2x+1上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0,1), B(1,3),則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)M(2,1),B關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱 的點(diǎn)N(1,-1).由兩點(diǎn)式求出對(duì)稱直線MN的方程 即y=2x-3,故選D.,(2)選D.由題意,以A為原點(diǎn),AB為x軸,AC 為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)AP=m,則 P(m,0),A(0,0),B(4,0),C(0,4),直線BC 的方程為x+y=4,則點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱 點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(4,4-m),點(diǎn)P關(guān)于直線AC的 對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-m,0),而三角形ABC的重心為 根據(jù) 光學(xué)性質(zhì)知點(diǎn)P1,P2,G三點(diǎn)共線,則 故 解之得 故,【互動(dòng)探究】在題(1)中“關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱”改為“關(guān)于直線 x-y=0對(duì)稱”,則結(jié)果如何? 【解析】在直線y=2x+1上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0,1),B(1,3),則點(diǎn)A關(guān) 于直線x-y=0的對(duì)稱點(diǎn)M(1,0),B關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱點(diǎn)N(3,1). 由兩點(diǎn)式求出對(duì)稱直線MN的方程 即x-2y-1=0.,【規(guī)律方法】 1.中心對(duì)稱問(wèn)題的兩個(gè)類型及求解方法 (1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱:若點(diǎn)M(x1,y1)及N(x,y)關(guān)于P(a,b)對(duì)稱,則 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 進(jìn)而求解.,(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱,主要求解方法是: ①在已知直線上取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo),再由兩點(diǎn)式求出直線方程; ②求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn),再利用兩對(duì)稱直線平行,由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.,2.軸對(duì)稱問(wèn)題的兩個(gè)類型及求解方法 (1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱:若兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線 l:Ax+By+C=0對(duì)稱,由方程組 可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2). (2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱:一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決, 有兩種情況:一是已知直線與對(duì)稱軸相交;二是已知直線與對(duì)稱 軸平行.,常見(jiàn)的點(diǎn)關(guān)于特殊直線的對(duì)稱點(diǎn) (1)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′(a,-b). (2)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′(-a,b). (3)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)P′(b,a). (4)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y=-x的對(duì)稱點(diǎn)P′(-b,-a). (5)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x=m(m≠0)的對(duì)稱點(diǎn)P′(2m-a,b). (6)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y=n(n≠0)的對(duì)稱點(diǎn)P′(a,2n-b).,【變式訓(xùn)練】 (1)(2014·嘉興模擬)若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,則直線l2恒過(guò)定點(diǎn)( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2),【解析】選B.由于直線l1:y=k(x-4)恒過(guò)定點(diǎn)(4,0),其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為(0,2),又由于直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱, 所以直線l2恒過(guò)定點(diǎn)(0,2),故應(yīng)選B.,(2)(2014·石家莊模擬)若直線y=ax+8與y=- x+b的圖象關(guān)于 直線y=x對(duì)稱,則a+b= . 【解析】直線y=ax+8關(guān)于y=x對(duì)稱的直線方程為x=ay+8,所以 x=ay+8與y=- x+b為同一直線,故得 所以a+b=2. 答案:2,【加固訓(xùn)練】 (1)已知直線l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直線l2與l1關(guān)于l對(duì)稱,則l2的方程是( ) A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0,【解析】選B.l1與l2關(guān)于l對(duì)稱,則l1上任一點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn) 都在l2上,故l與l1的交點(diǎn)(1,0)在l2上,又易知(0,-2)為l1上一 點(diǎn),設(shè)其關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y), 則 得 即(1,0),(-1,-1)為l2上兩點(diǎn),可得l2方程為 x-2y-1=0.,(2)直線x-2y+1=0關(guān)于x=3對(duì)稱的直線方程為 . 【解析】設(shè)M(x,y)為所求直線上的任意一點(diǎn),則其關(guān)于x=3對(duì)稱的點(diǎn)為(6-x,y),從而有6-x-2y+1=0,即x+2y-7=0,所以直線x-2y+1=0關(guān)于x=3對(duì)稱的直線方程為x+2y-7=0. 答案:x+2y-7=0,考點(diǎn)3 三種距離公式的應(yīng)用 【考情】?jī)牲c(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩平行線間的距離在高考中常有所體現(xiàn),一般是以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩平行線間的距離公式以及轉(zhuǎn)化與化歸思想等.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例3】(1)(2014·杭州模擬)已知點(diǎn)A(-1,0),B(cosα, sinα),且|AB|= 則直線AB的方程為( ),(2)(2014·安康模擬)點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,0)和直線x=-1的距離相等, 且P到直線y=x的距離等于 這樣的點(diǎn)共有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【解題視點(diǎn)】(1)由|AB|可求出點(diǎn)B的坐標(biāo),進(jìn)而得出直線方程. (2)可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.因?yàn)锳(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|= 所以 所以, 所以 即直線AB的方程 為 所以AB的方程為,(2)選C.設(shè)P(x,y),依題意得: 化簡(jiǎn)得: 即 或 解得①有兩組解,②有一組解,所以點(diǎn)P共有3個(gè).,【通關(guān)錦囊】,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2014·寧波模擬)已知A(1,3),B(5,-2),在x軸上有一點(diǎn)P,若|AP|-|BP|最大,則P點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A.(3.4,0) B.(13,0) C.(5,0) D.(-13,0),【解析】選B.作出A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(1,-3), 則A′B所在直線方程為x-4y-13=0. 令y=0得x=13, 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(13,0).,2.(2013·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)定點(diǎn)A(a,a), P是函數(shù) 圖象上一動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)P,A之間的最短距離為 則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為 .,【解析】設(shè) 由兩點(diǎn)間的距離公式得 令 得 若a≥2,則當(dāng)t=a時(shí), 解得 或 (舍去); 若a2,則當(dāng)t=2時(shí),|PA|min2=(2-a)2+a2-2=2a2-4a+2=8, 解得a=-1或a=3(舍去). 答案:-1,,【加固訓(xùn)練】 1.(2013·金華模擬)已知兩點(diǎn)A(3,2)和B(-1,4)到直線mx+y+3 =0的距離相等,則m的值為( ) A. 0或 B. 或-6 C. 或 D. 0或 【解析】選B.依題意得 所以|3m+5|=|m-7|. 所以3m+5=m-7或3m+5=7-m. 所以m=-6或m= 故應(yīng)選B.,2.(2014·德州模擬)過(guò)點(diǎn)A(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為( ) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0 【解析】選A.所求直線與OA垂直,因?yàn)閗OA=2, 所以所求直線方程為y-2=- (x-1), 即x+2y-5=0.,【巧思妙解9】巧用直線系求直線方程 【典例】(2014·福州模擬)經(jīng)過(guò)直線l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y +1=0的交點(diǎn),且垂直于直線l3:3x-5y+6=0的直線l的方程為 .,【解析】常規(guī)解法: 先解方程組 得l1,l2的交點(diǎn)(-1,2), 再由l3的斜率為 知l的斜率為 于是由直線的點(diǎn)斜式方程求得l: 即5x+3y-1=0. 答案:5x+3y-1=0,巧妙解法: 方法一：因?yàn)閘⊥l3， 故l是直線系5x＋3y＋C＝0①中的一條，而l過(guò)l1，l2的交點(diǎn) (－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1， 故l的方程為5x＋3y－1＝0.,方法二：因?yàn)閘過(guò)l1，l2的交點(diǎn)，故l是直線系3x＋2y－1＋ λ(5x＋2y＋1)＝0中的一條，將其整理， 得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0②， 其斜率 解得 代入直線系方程即得l的 方程為5x＋3y－1＝0. 答案：5x＋3y－1＝0,【解法分析】,【小試牛刀】經(jīng)過(guò)直線3x-2y+1=0和直線x+3y+4=0的交點(diǎn),且平行于直線x-y+4=0的直線方程為 . 【解析】常規(guī)解法:先解方程組 得兩直線的交點(diǎn)(-1,-1). 又因?yàn)橹本€與x-y+4=0平行,故直線的斜率為1. 于是由直線的點(diǎn)斜式方程求得:y-(-1)=x-(-1). 即x-y=0.,巧妙解法:方法一:因?yàn)樗笾本€與直線x-y+4=0平行,所以可設(shè)所求直線為x-y+c=0. 又因?yàn)樵撝本€過(guò)直線3x-2y+1=0與直線x+3y+4=0的交點(diǎn)(-1,-1),所以-1-(-1)+c=0,即c=0, 所以,所求直線方程為x-y=0.,方法二:因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)直線3x-2y+1=0和直線x+3y+4=0的交點(diǎn), 所以可設(shè)直線方程為3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0, 即(3+λ)x-(2-3λ)y+1+4λ=0. 又因?yàn)樗笾本€與直線x-y+4=0平行,因此 解得 所以所求直線方程為 即x-y=0. 答案:x-y=0,