2011西城區(qū)高三二模數(shù)學試卷及答案(文理科).rar

2011西城區(qū)高三二模數(shù)學試卷及答案(文理科).rar,2011,西城區(qū),高三二模,數(shù)學試卷,答案,文理科 北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷 數(shù)學（文科） 2011.5 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項. 1.已知集合,，且，則等于 （A） （B） （C） （D） 2.已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)所對應的點落在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3.已知，則下列不等式正確的是 （A） （B） （C） （D） 4.在中，“”是“為直角三角形”的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分又不必要條件 5．1 正(主)視圖 俯視圖 2 2 2 側(左)視圖 2 1 一個幾何體的三視圖如圖所示，則其體積等于 （A） （B） （C） （D） 6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，設為坐標原點，是圖象的最高點，是圖象與軸的交點，則 x B P y O （A） （B） （C） （D） 7．若，則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為 （A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）3個 8．已知點及拋物線，若拋物線上點滿足，則 的最大值為 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9. 已知為等差數(shù)列，，則其前項之和為_____. 10．已知向量，，設與的夾角為，則_____. 11.在中，若，，則_____. 12．平面上滿足約束條件的點形成的區(qū)域為，則區(qū)域的面積為 ________；設區(qū)域關于直線對稱的區(qū)域為，則區(qū)域和區(qū)域中距離 開始 輸入 否 結束 輸出 是 最近的兩點的距離為________. 13.定義某種運算，的運算原理如右圖所示. 則______； 設.則______. 14.數(shù)列滿足，，其中，．給出下列命題： ①，對于任意，； ②，對于任意，； ③，，當（）時總有. 其中正確的命題是______.（寫出所有正確命題的序號） 三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟. 15.（本小題滿分13分） 已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的定義域； （Ⅱ）若，求的值. 16.（本小題滿分13分） 如圖，菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐,點是棱的中點，. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求證：平面平面； A B A B C C D M O D O （Ⅲ）求三棱錐的體積. 17.（本小題滿分13分） 由世界自然基金會發(fā)起的“地球1小時”活動，已發(fā)展成為最有影響力的環(huán)?；顒又?，今年的參與人數(shù)再創(chuàng)新高.然而也有部分公眾對該活動的實際效果與負面影響提出了疑問.對此，某新聞媒體進行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示： 支持 保留 不支持 20歲以下 800 450 200 20歲以上（含20歲） 100 150 300 （Ⅰ）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取個人，已知從“支持”態(tài)度的人中抽取了45人，求的值； （Ⅱ）在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看成一個總體，從這5人中任意選取2人，求至少有人20歲以下的概率； （Ⅲ）在接受調(diào)查的人中，有8人給這項活動打出的分數(shù)如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把這8個人打出的分數(shù)看作一個總體，從中任取個數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率. 18.（本小題滿分14分） 設函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）記曲線在點（其中）處的切線為，與軸、軸所圍成的三角形面積為，求的最大值. 19.（本小題滿分14分） 已知橢圓（）的焦距為，離心率為. （Ⅰ）求橢圓方程； （Ⅱ）設過橢圓頂點，斜率為的直線交橢圓于另一點，交軸于點，且成等比數(shù)列，求的值. 20.（本小題滿分13分） 若函數(shù)對任意的，均有，則稱函數(shù)具有性質(zhì). （Ⅰ）判斷下面兩個函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由. ①； ②. （Ⅱ）若函數(shù)具有性質(zhì)，且（）， 求證：對任意有； （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否對任意均有.若成立給出證明，若不成立給出反例. 北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷 參考答案及評分標準 數(shù)學（文科） 2011.5 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A D B B C 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9. 10. 11. 12. ； 13. ； 14. ①③ 注：12、13題第一問2分，第二問3分. 14題只選出一個正確的命題給2分，選出錯誤的命題即得0分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分. 15.（本小題滿分13分） 解：解：（Ⅰ）由題意，， ……………2分 所以，. ……………3分 函數(shù)的定義域為. ……………4分 （Ⅱ）因為，所以， ……………5分 ， ……………7分 ， ……………9分 將上式平方，得， ……………12分 所以. ……………13分 16.（本小題滿分13分） （Ⅰ）證明：因為點是菱形的對角線的交點， 所以是的中點.又點是棱的中點， 所以是的中位線，. ……………2分 因為平面,平面， 所以平面. ……………4分 （Ⅱ）證明：由題意，, 因為,所以，. ……………6分 A B C M O D 又因為菱形，所以. …………7分 因為, 所以平面， ……………8分 因為平面， 所以平面平面. ……………9分 （Ⅲ）解：三棱錐的體積等于三棱錐的體積. ……………10分 由（Ⅱ）知，平面， 所以為三棱錐的高. ……………11分 的面積為， ……………12分 所求體積等于. ……………13分 17.（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）由題意得， ……………2分 所以. ……………3分 （Ⅱ）設所選取的人中，有人20歲以下，則，解得.………5分 也就是20歲以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分別記作A1，A2；B1，B2，B3， 則從中任取2人的所有基本事件為 (A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10個. ………7分 其中至少有1人20歲以下的基本事件有7個：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)， …………8分 所以從中任意抽取2人，至少有1人20歲以下的概率為. ……………9分 （Ⅲ）總體的平均數(shù)為，………10分 那么與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的數(shù)只有8.2， ……………12分 所以該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率為. ……………13分 18.（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由已知， 所以， ……………2分 由，得， ……………3分 所以，在區(qū)間上，， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減； ……………4分 在區(qū)間上，， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增； ……………5分 即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為. （Ⅱ）因為， 所以曲線在點處切線為：. ……………7分 切線與軸的交點為，與軸的交點為， ……………9分 因為，所以， ……………10分 ， ……………12分 在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減. ……………13分 所以，當時，有最大值，此時， 所以，的最大值為. ……………14分 19、（本小題滿分14分） x y O D B E 解：（Ⅰ）由已知，. ……………2分 解得， ……………4分 所以， 橢圓的方程為. ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得過點的直線為， 由 得， ……………6分 所以，所以， ……………8分 依題意，. 因為成等比數(shù)列，所以， ……………9分 所以，即， ……………10分 當時，，無解， ……………11分 當時，，解得， ……………12分 所以，解得， 所以，當成等比數(shù)列時，. ……………14分 20.（本小題滿分13分） （Ⅰ）證明：①函數(shù)具有性質(zhì). ……………1分 ， 因為，， ……………3分 即， 此函數(shù)為具有性質(zhì). ②函數(shù)不具有性質(zhì). ……………4分 例如，當時，， ， ……………5分 所以，， 此函數(shù)不具有性質(zhì). （Ⅱ）假設為中第一個大于的值， ……………6分 則， 因為函數(shù)具有性質(zhì)， 所以，對于任意，均有， 所以， 所以， 與矛盾， 所以，對任意的有. ……………9分 （Ⅲ）不成立. 例如 ……………10分 證明：當為有理數(shù)時，均為有理數(shù)， ， 當為無理數(shù)時，均為無理數(shù)， 所以，函數(shù)對任意的，均有， 即函數(shù)具有性質(zhì). ……………12分 而當（）且當為無理數(shù)時，. 所以，在（Ⅱ）的條件下，“對任意均有”不成立.……………13分 （其他反例仿此給分. 如，，，等.） 北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷 數(shù)學（理科） 2011.5 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項. 1.已知集合，，且，則等于 （A） （B） （C） （D） 2.已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)所對應的點落在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3.在中，“”是“為鈍角三角形”的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分又不必要條件 4.已知六棱錐的底面是正六邊形， 平面.則下列結論不正確的是 （A）平面 （B）平面 （C）平面 （D）平面 5.雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線離心率為 （A） （B） （C） （D） x A B P y O 6.函數(shù)的部分圖象如右圖所示，設是圖象的最高點，是圖象與軸的交點，則 （A） （B） （C） （D） 7．已知數(shù)列的通項公式為，那么滿足的整數(shù) （A）有3個 （B）有2個 （C）有1個 （D）不存在 8．設點，，如果直線與線段有一個公共點，那么 （A）最小值為 （B）最小值為 （C）最大值為 （D）最大值為 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. O A B P D C ? 9．在中，若，，則_____. 10.在的展開式中，的系數(shù)是_____. 11．如圖，是圓的直徑，在的延長線上， 切圓于點.已知圓半徑為，，則 ______；的大小為______. 開始 輸入 否 結束 輸出 是 12.在極坐標系中，點關于直線的對稱點的一個極坐標為_____. 13．定義某種運算，的運算原理如右圖所示. 設. 則______； 在區(qū)間上的最小值為______. 14.數(shù)列滿足，，其中， ． ①當時，_____； ②若存在正整數(shù)，當時總有，則的取值范圍是_____. 三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟. 15.（本小題滿分13分） 已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的定義域； （Ⅱ）若，求的值. 16.（本小題滿分13分） 如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐. （Ⅰ）若點是棱的中點，求證:平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得，并證明你的結論. M 17.（本小題滿分13分） 甲班有2名男乒乓球選手和3名女乒乓球選手，乙班有3名男乒乓球選手和1名女乒乓球選手，學校計劃從甲乙兩班各選2名選手參加體育交流活動. （Ⅰ）求選出的4名選手均為男選手的概率. （Ⅱ）記為選出的4名選手中女選手的人數(shù)，求的分布列和期望. 18.（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）當時，求曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積； （Ⅱ）若函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點，且極大值與極小值的積為，求的值. 19.（本小題滿分14分） 已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形周長為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設直線與橢圓交于兩點，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點， 求面積的最大值． 20.（本小題滿分13分） 若為集合且的子集，且滿足兩個條件： ①； ②對任意的，至少存在一個，使或. … … … … … … … 則稱集合組具有性質(zhì). 如圖，作行列數(shù)表，定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為. （Ⅰ）當時，判斷下列兩個集合組是否具有性質(zhì)，如果是請畫出所對應的表格，如果不是請說明理由； 集合組1：； 集合組2：. （Ⅱ）當時，若集合組具有性質(zhì)，請先畫出所對應的行3列的一個數(shù)表，再依此表格分別寫出集合； （Ⅲ）當時，集合組是具有性質(zhì)且所含集合個數(shù)最小的集合組，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的個數(shù)） 北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷 參考答案及評分標準 數(shù)學（理科） 2011.5 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D C B B A 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9. 10. 11.； 12.（或其它等價寫法） 13.； 14.；. 注：11、13、14題第一問2分，第二問3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分. 15.（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）由題意，， ………………2分 所以， ………………3分 所以， ………………4分 函數(shù)的定義域為. ………………5分 （Ⅱ） ………………7分 ………………8分 . ………………10分 因為，所以. ………………11分 所以， ………………12分 . ………………13分 16.（本小題滿分13分） （Ⅰ）證明：因為點是菱形的對角線的交點， 所以是的中點.又點是棱的中點， 所以是的中位線，. ………………1分 因為平面,平面, 所以平面. ………………3分 A B C O D x y z M （Ⅱ）解：由題意，， 因為， 所以，. ………………4分 又因為菱形，所以，. 建立空間直角坐標系，如圖所示. . 所以 ………………6分 設平面的法向量為， 則有即： 令，則，所以. ………………7分 因為,所以平面. 平面的法向量與平行， 所以平面的法向量為. ………………8分 ， 因為二面角是銳角， 所以二面角的余弦值為. ……………9分 （Ⅲ）解：因為是線段上一個動點，設，， 則， 所以， ……………10分 則，， 由得，即，…………11分 解得或， ……………12分 所以點的坐標為或. ……………13分 （也可以答是線段的三等分點，或） 17.（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）事件表示“選出的4名選手均為男選手”.由題意知 ………………3分 . ………………5分 （Ⅱ）的可能取值為. ………………6分 ， ………………7分 ， ………………9分 ， ………………10分 . ………………11分 的分布列： ………………12分 . ………………13分 18、（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）， ………………3分 當時，， ，， 所以曲線在處的切線方程為， ………………5分 切線與軸、軸的交點坐標分別為，， ………………6分 所以，所求面積為. ………………7分 （Ⅱ）因為函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點， 所以，方程在內(nèi)存在兩個不等實根， ………………8分 則 ………………9分 所以. ………………10分 設為函數(shù)的極大值點和極小值點， 則，， ………………11分 因為，， 所以，， ………………12分 即，，， 解得，，此時有兩個極值點， 所以. ………………14分 19.（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）因為橢圓上一點和它的兩個焦點構成的三角形周長為， 所以， ……………1分 又橢圓的離心率為，即，所以， ………………2分 所以，. ………………4分 所以，橢圓的方程為. ………………5分 （Ⅱ）方法一：不妨設的方程，則的方程為. 由得， ………………6分 設，， 因為，所以， ………………7分 同理可得， ………………8分 所以，， ………………10分 ， ………………12分 設， 則， ………………13分 當且僅當時取等號， 所以面積的最大值為. ………………14分 方法二：不妨設直線的方程. 由 消去得， ………………6分 設，， 則有，. ① ………………7分 因為以為直徑的圓過點，所以 . 由 ， 得 . ………………8分 將代入上式， 得 . 將 ① 代入上式，解得 或（舍）. ………………10分 所以（此時直線經(jīng)過定點，與橢圓有兩個交點）， 所以 . ……………12分 設， 則. 所以當時，取得最大值. ……………14分 20.（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：集合組1具有性質(zhì). ………………1分 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 所對應的數(shù)表為： ………………3分 集合組2不具有性質(zhì). ………………4分 因為存在， 有， 與對任意的，都至少存在一個，有或矛盾，所以集合組不具有性質(zhì). ………………5分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 （Ⅱ） ……………7分 . ………………8分 （注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對應的集合組也不同） （Ⅲ）設所對應的數(shù)表為數(shù)表， 因為集合組為具有性質(zhì)的集合組， 所以集合組滿足條件①和②， 由條件①：， 可得對任意，都存在有， 所以，即第行不全為0， 所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0. ………………9分 由條件②知，對任意的，都至少存在一個，使或，所以一定是一個1一個0，即第行與第行的第列的兩個數(shù)一定不同. 所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同. ………………10分 因為由所構成的元有序數(shù)組共有個，去掉全是的元有序數(shù)組，共有個，又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同，所以， 所以. 又時，由所構成的元有序數(shù)組共有個，去掉全是的數(shù)組，共個，選擇其中的個數(shù)組構造行列數(shù)表，則數(shù)表對應的集合組滿足條件①②，即具有性質(zhì). 所以. ………………12分 因為等于表格中數(shù)字1的個數(shù)， 所以，要使取得最小值，只需使表中1的個數(shù)盡可能少， 而時，在數(shù)表中， 的個數(shù)為的行最多行； 的個數(shù)為的行最多行； 的個數(shù)為的行最多行； 的個數(shù)為的行最多行； 因為上述共有行，所以還有行各有個， 所以此時表格中最少有個. 所以的最小值為. ………………14分