選修1-1《第二章圓錐曲線與方程》單元質(zhì)量評估試卷含答案.zip
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單元質(zhì)量評估(二)
第二章
(120分鐘 150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.橢圓x29+y2k2=1與雙曲線x2k-y23=1有相同的焦點,則k應滿足的條件是 ( )
A.k>3 B.20,9-k2=k+3,所以k=2.
2.(2016·菏澤高二檢測)若雙曲線的頂點為橢圓x2+y22=1長軸的端點,且雙曲線的離心率與該橢圓的離心率的積為1,則雙曲線的方程為 ( )
A.x2-y2=1 B.y2-x2=1
C.x2-y2=2 D.y2-x2=2
【解析】選D.由題意設(shè)雙曲線方程為y2a2-x2b2=1,離心率為e,橢圓x2+y22=1長軸端點為(0,2),所以a=2,又橢圓的離心率為12,所以雙曲線的離心率為2,所以c=2,b=2,則雙曲線的方程為y2-x2=2.
3.(2016·浙江高考)已知橢圓C1:x2m2+y2=1(m>1)與雙曲線C2:x2n2-y2=1(n>0)的焦點重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則 ( )
A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1
C.m1 D.m1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1,所以e1e2>1.
4.(2016·濰坊高二檢測)設(shè)橢圓x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的右焦點與拋物線y2=8x的焦點相同,離心率為12,則此橢圓的方程為 ( )
A.x212+y216=1 B.x216+y212=1
C.x248+y264=1 D.x264+y248=1
【解析】選B.因為y2=8x的焦點為(2,0),
所以x2m2+y2n2=1的右焦點為(2,0),所以m>n且c=2.
又e=12=2m,所以m=4.
因為c2=m2-n2=4,所以n2=12.
所以橢圓方程為x216+y212=1.
【補償訓練】(2016·成都高二檢測)已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F(7,0),直線y=x-1與其相交于M,N兩點,MN中點的橫坐標為-23,則此雙曲線的方程是 ( )
A.x25-y22=1 B.x22-y25=1
C.x23-y24=1 D.x24-y23=1
【解題指南】先根據(jù)題意設(shè)出雙曲線的方程x2a2-y2b2=1,然后與直線方程聯(lián)立方程組,消元得二元一次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及MN中點的橫坐標建立a,b的一個方程,又雙曲線中有c2=a2+b2,則另得a,b的一個方程,最后解a,b的方程組即得雙曲線方程.
【解析】選B.設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1,
將y=x-1代入x2a2-y2b2=1,
整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2a2a2-b2,
則x1+x22=a2a2-b2=-23.
又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,
所以雙曲線的方程為x22-y25=1.
5.P是長軸在x軸上的橢圓x2a2+y2b2=1上的點,F1,F2分別為橢圓的兩個焦點,橢圓的半焦距為c,則|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差一定是 ( )
A.1 B.a2 C.b2 D.c2
【解析】選D.由橢圓的幾何性質(zhì)得
|PF1|∈[a-c,a+c],
|PF1|+|PF2|=2a,
所以|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=a2,
當且僅當|PF1|=|PF2|時取等號.
|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)
=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2
≥-c2+a2=b2,
所以|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差為a2-b2=c2.
6.(2016·天津高二檢測)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準線分別交于A,B兩點,O為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,
△AOB的面積為3,則p= ( )
A.1 B.32
C.2 D.3
【解析】選C.因為e=2,所以b2=3a2,雙曲線的兩條漸近線方程為y=±3x,不妨設(shè)A=-p2,3p2,B-p2,-3p2,則AB=3p,又三角形的高為p2,則S△AOB=12×p2×3p=3,即p2=4,又因為p>0,所以p=2.
7.(2016·東營高二檢測)已知點P是拋物線y2=-8x上一點,設(shè)點P到此拋物線準線的距離是d1,到直線x+y-10=0的距離是d2,則d1+d2的最小值是 ( )
A.3 B.23
C.62 D.3
【解析】選C.拋物線y2=-8x的焦點F(-2,0),根據(jù)拋物線的定義知,d1+d2=|PF|+d2,顯然當由點F向直線x+y-10=0作垂線與拋物線的交點為P時,d1+d2取到最小值,即|-2+0-10|2=62.
8.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個不同的點,且AB的中點的橫坐標為2,則k等于 ( )
A.2或-1 B.-1
C.2 D.1±5
【解析】選C.由y=kx-2,y2=8x,消去y得,
k2x2-4(k+2)x+4=0,
故Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)>0,
解得k>-1,由x1+x2=4(k+2)k2=4,
解得k=-1或k=2,又因為k>-1,故k=2.
【易錯警示】本題易忽略Δ>0而錯選A.
9.(2016·邯鄲高二檢測)設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的虛軸長為2,焦距為23,則雙曲線的漸近線方程為 ( )
A.y=±22x B.y=±2x
C.y=±12x D.y=±2x
【解析】選A.由題意得2b=2,2c=23,解得b=1,c=3,
所以a=c2-b2=2,
因此雙曲線的方程為x22-y2=1,
所以漸近線方程為y=±22x.
10.(2015·福建高考)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F,短軸的一個端點為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4,點M到直線l的距離不小于45,則橢圓E的離心率的取值范圍是 ( )
A.0,32 B.0,34
C.32,1 D.34,1
【解析】選A.不妨設(shè)左焦點為F2,連接AF2,BF2,由橢圓的對稱性可知四邊形AFBF2的對角線互相平分,所以四邊形AFBF2為平行四邊形,所以AF+BF=BF2+BF=2a=4,所以a=2,設(shè)M(0,b),所以d=45b≥45?b≥1,所以e=1-b2a2=1-b24≤1-14=32,
又e∈(0,1),所以e∈0,32.
11.(2016·哈爾濱高二檢測)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,-1),則E的標準方程
為 ( )
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1
C.x227+y218=1 D.x218+y29=1
【解析】選D.設(shè)A點坐標為(x1,y1),
B點坐標為(x2,y2),
所以x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1.兩式相減得,x12-x22a2=y22-y12b2,
即(x1-x2)(x1+x2)a2=(y2-y1)(y2+y1)b2,
因為x1+x2=2,y1+y2=-2,所以k=y2-y1x2-x1=b2a2,
又因為k=-1-01-3=12,所以b2a2=12,
又因為c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,
所以b2=9,a2=18,
即E的標準方程為x218+y29=1.
12.(2016·寶雞高二檢測)設(shè)拋物線C:y2=3px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點A(0,2),則C的方程為 ( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
【解析】選C.由已知得F34p,0,A(0,2),My023p,y0,
因為AF⊥AM,所以kAF·kAM=-1,
即2-34p×2-y0-y023p=-1,
所以y02-8y0+16=0,所以y0=4,所以M163p,4,
因為|MF|=5,所以5=34p-163p2+16,
所以34p-163p2=9.
所以3p4-163p=3或3p4-163p=-3,
所以9p2-36p-64=0,①
或9p2+36p-64=0,②
由①得p=-43(舍),p=163.
由②得p=43,p=-163舍,
所以C的方程為y2=4x或y2=16x.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)
13.橢圓mx2+ny2=1與直線l:x+y=1交于M,N兩點,過原點與線段MN中點的直線斜率為22,則mn= .
【解析】設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
所以mx12+ny12=1?、?
mx22+ny22=1?、?
又因為y2-y1x2-x1=-1,所以①-②得:m=n·y1+y2x1+x2,
因為y1+y2x1+x2=y1+y22-0x1+x22-0=22,
所以m=22n,所以mn=22.
答案:22
14.直線y=kx+1(k∈R)與橢圓x25+y2m=1恒有公共點,則m的取值范圍為 .
【解析】將y=kx+1代入橢圓方程,消去y并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.
由m>0,5k2≥0,知m+5k2>0,故
Δ=100k2-4(m+5k2)(5-5m)≥0對k∈R恒成立.
即5k2≥1-m對k∈R恒成立,故
1-m≤0,所以m≥1.
又因為m≠5,所以m的取值范圍是m≥1且m≠5.
答案:m≥1且m≠5
【易錯警示】本題易忽略隱含條件m≠5而出錯.
15.(2015·山東高考)過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線,交C于點P,若點P的橫坐標為2a,則C的離心率為 .
【解題指南】本題是雙曲線性質(zhì)的綜合應用,應從焦點和漸近線出發(fā)構(gòu)造a,b,c的關(guān)系,進而求出離心率e.
【解析】將y=ba(x-c)代入x2a2-y2b2=1消去y得x2a2-ba2(x-c)2b2=1,因為xP=2ab>0),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,橢圓上總存在點P使得PF1⊥PF2,則橢圓的離心率的取值范圍
為 ( )
A.22,1 B.22,1
C.0,22 D.0,22
【解析】選A.由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,
所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤2c,
因為e=ca,0b>0)的右焦點F(c,0)關(guān)于直線y=bcx的對稱點Q在橢圓上,則橢圓的離心率是 .
【解題指南】利用已知條件求出點Q的坐標,從而求出a,b,c的關(guān)系.
【解析】設(shè)F(c,0)關(guān)于直線y=bcx的對稱點為Q(m,n),則有nm-c·bc=-1,n2=bc×m+c2,解得m=c3-cb2a2,n=2bc2a2,所以Qc3-cb2a2,2bc2a2在橢圓上,即有(c3-cb2)2a6+(2bc2)2a4b2=1,解得a2=2c2,所以離心率e=ca=22.
答案:22
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(10分)已知拋物線的頂點在原點,它的準線過雙曲線x2a2-y2b2=1的一個焦點,并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直,拋物線與雙曲線交點為P32,6,求拋物線方程和雙曲線方程.
【解析】依題意,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),
因為點32,6在拋物線上,所以6=2p×32,
所以p=2,所以所求拋物線方程為y2=4x.
因為雙曲線左焦點在拋物線的準線x=-1上,
所以c=1,即a2+b2=1,
又點32,6在雙曲線上,所以94a2-6b2=1,
由a2+b2=1,94a2-6b2=1.
解得a2=14,b2=34.
所以所求雙曲線方程為4x2-43y2=1.
【補償訓練】若已知橢圓x210+y2m=1與雙曲線x2-y2b=1有相同的焦點,又橢圓與雙曲線交于點P103,y,求橢圓及雙曲線的方程.
【解析】由橢圓與雙曲線有相同的焦點得
10-m=1+b,即m=9-b,①
又因為點P103,y在橢圓、雙曲線上,所以
y2=89m,②
y2=b9.③
解由①②③組成的方程組得m=1,b=8,
所以橢圓方程為x210+y2=1,雙曲線方程為x2-y28=1.
18.(12分)求以直線x+2y=0為漸近線,且截直線x-y-3=0所得弦長為833的雙曲線的標準方程.
【解析】由于雙曲線的漸近線方程為x+2y=0,故可設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=λ(λ≠0).
設(shè)直線x-y-3=0與雙曲線的交點為A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立方程組x-y-3=0,x2-4y2=λ,消去y,
整理得3x2-24x+36+λ=0.
由Δ=(-24)2-3×4(36+λ)>0,解得λ<12.
由根與系數(shù)關(guān)系可得x1+x2=8,x1x2=36+λ3.
代入弦長公式中,
|AB|=2|x1-x2|=2·(x1+x2)2-4x1x2
=2·82-4×36+λ3=8(12-λ)3,
于是8(12-λ)3=833,解得λ=4(與λ<12符合).
故所求的雙曲線的標準方程為x24-y2=1.
19.(12分)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1b>0)上的一點,F1,F2為橢圓的兩焦點,若PF1⊥PF2,試求:
(1)橢圓的方程.
(2)△PF1F2的面積.
【解析】(1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
則b2=a2-c2.因為PF1⊥PF2,
所以kPF1·kPF2=-1,即43+c·43-c=-1,
解得c=5,所以設(shè)橢圓方程為x2a2+y2a2-25=1.
因為點P(3,4)在橢圓上,所以9a2+16a2-25=1.
解得a2=45或a2=5.
又因為a>c,所以a2=5(舍去).
故所求橢圓方程為x245+y220=1.
(2)由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=65,①
又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,②
①2-②得2|PF1|·|PF2|=80,
所以S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=20.
【補償訓練】已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點A(1,-2).
(1)求拋物線C的方程,并求其準線方程.
(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點,且直線OA與l的距離等于55?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
【解析】(1)將(1,-2)代入y2=2px,
得(-2)2=2p·1,所以p=2.
故所求的拋物線C的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.
(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,
其方程為y=-2x+t.
由y=-2x+t,y2=4x,得y2+2y-2t=0.
因為直線l與拋物線C有公共點,
所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-12.
另一方面,由直線OA到l的距離d=55,
可得|t|5=15,解得t=±1.
因為-1?-12,+∞,1∈-12,+∞,
所以符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.
21.(12分)已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線y=14x2的焦點,離心率為255.
(1)求橢圓C的標準方程.
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M,若MA→=mFA→,MB→=nFB→,求m+n的值.
【解析】(1)設(shè)橢圓C的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).
拋物線方程可化為x2=4y,其焦點為(0,1),
則橢圓C的一個頂點為(0,1),即b=1.
由e=ca=a2-b2a2=255.
得a2=5,所以橢圓C的標準方程為x25+y2=1.
(2)易求出橢圓C的右焦點F(2,0),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),
代入方程x25+y2=1,
得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.
所以x1+x2=20k21+5k2,x1x2=20k2-51+5k2.
又MA→=(x1,y1-y0),MB→=(x2,y2-y0),
FA→=(x1-2,y1),FB→=(x2-2,y2).
因為MA→=mFA→,MB→=nFB→,
所以m=x1x1-2,n=x2x2-2,
所以m+n=2x1x2-2(x1+x2)4-2(x1+x2)+x1x2,
又2x1x2-2(x1+x2)=40k2-10-40k21+5k2
=-101+5k2,
4-2(x1+x2)+x1x2
=4-40k21+5k2+20k2-51+5k2=-11+5k2,
所以m+n=10.
22.(12分)(2016·北京高考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1過A(2,0),B(0,1)兩點.
(1)求橢圓C的方程及離心率.
(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.
【解題指南】(1)把A,B兩點代入可求得a,b.
(2)設(shè)P(x0,y0),表示出直線AP,BP方程,求出點M,N坐標,表示出面積.再利用點P在橢圓上化簡整理為定值.
【解析】(1)把A(2,0),B(0,1)分別代入橢圓方程得a=2,b=1.所以橢圓C的方程為x24+y2=1.
因為c=a2-b2=3,
所以離心率e=ca=32.
(2)設(shè)P(x0,y0),其中x0<0,y0<0.
則直線AP方程為y=y0x0-2(x-2),直線BP方程為y=y0-1x0x+1.
所以M0,-2y0x0-2,N-x0y0-1,0.
所以|AN|=2+x0y0-1,|BM|=2y0x0-2+1.
所以四邊形ABNM的面積為S=12|AN||BM|=122+x0y0-12y0x0-2+1
=12×x0+2y0-2y0-1×x0+2y0-2x0-2=(x0+2y0-2)22(x0-2)(y0-1)
=x02+ 4x0(y0-1) + 4(y0-1)22(x0-2)(y0-1).
因為點P在橢圓C上,所以x02=4-4y02.代入上式得
S =(4-4y02) + 4x0(y0-1) + 4(y0-1)22(x0-2)(y0-1)
=8-8y0+ 4x0(y0-1)2(x0-2)(y0-1)=2.
因此,四邊形ABNM的面積為定值2.
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