高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5-4 數(shù)列求和課件 理 新人教A版.ppt

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第四節(jié) 數(shù)列求和,最新考綱展示 1．熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式． 2.掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法．,一、公式法 1．如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，注意等比數(shù)列公比q的取值情況要分q＝1或q≠1. 2．一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝ . (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝ . (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝ .,n2,n2＋n,二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法 1．倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列{an}，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的． 2．分組轉(zhuǎn)化求和法 若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減．,3．錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的． 4．裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．,數(shù)列求和的方法： (1)一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過對通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和． (2)解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路： ①轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來完成． ②不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來求和．,答案：C,2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝2，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，則S2 014＝________. 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則an＋2an＋1＋an＋2＝an(1＋2q＋q2)＝0，∵an≠0，∴q2＋2q＋1＝0. 解得q＝－1，∴S2 014＝0. 答案：0,答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√,例1 (1)已知數(shù)列{xn}的首項(xiàng)x1＝3，通項(xiàng)xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列． ①求p，q的值； ②求數(shù)列{xn}前n項(xiàng)和Sn的公式． (2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n項(xiàng)和Sn.,分組轉(zhuǎn)化法求和(自主探究),解析 (1)①由x1＝3，得2p＋q＝3，又因?yàn)閤4＝24p＋4q， x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.,規(guī)律方法 (1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減構(gòu)成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解． (2)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的，可以分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式．,裂項(xiàng)相消法求和(師生共研),解析 (1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn0，Sn＝n2＋n. 于是a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，,an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.,規(guī)律方法 使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．,例3 (2013年高考山東卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；,錯(cuò)位相減法求和(師生共研),規(guī)律方法 (1)一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解． (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．,2．(2014年嘉興二模)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋2. (1)記bn＝an＋1，求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn. 解析：(1)證明：由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3(an＋1)． 因?yàn)閎n＝an＋1，所以bn＋1＝3bn， 又b1＝a1＋1＝3，所以數(shù)列{bn}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．,