中考平面幾何知識點.ppt

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初中生平面幾何,知識點及例題解答,目錄,一、圖形的認知及簡單圖形,幾何圖形的定義,,立體圖形和平面圖形,展開圖、多面體以及旋轉體,直線、射線、線段,線段的中點,如圖，點B把線段AC分成兩條相等的線段，點B叫做線段AC的中點； 則AB=BC AB= 1 2 AC，或AC=2AB BC= 1 2 AC，或AC=2BC,角,如圖，OC為∠AOB的平分線，則 ∠AOC=∠BOC ∠AOB=2∠AOC=2∠COB ∠AOC=∠COB= 1 2 ∠AOB,角的分類,平角：把一條射線，繞著它的端點順著一個方向旋轉，當終止位置和起始位置成一條直線時，所成的角叫做平角 銳角：小于直角的角叫做銳角 直角：平角的一半叫做直角 鈍角：大于直角而小于平角的角 周角：把一條射線繞著它的端點順著一個方向旋轉，當終邊和始邊重合時，所成的角叫做周角 周角、平角、直角的關系：1周角=2平角=4直角=360,余角、補角,示例,如右圖，∠1+∠2=90，∠1+∠3=180，∠1=∠4，則： ∠1與∠2互為余角，即∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角； ∠1與∠3互為補角，即∠1是∠3的補角，∠3也是∠1的補角。 因為∠1=∠4，則∠4與∠2互為余角；∠4與∠3互為補角；,,,,1,2,3,,4,直線的相交,一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，這兩個角是對頂角； 兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩個角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做互為對頂角； 對頂角的性質：對頂角相等。 兩條直線相交所形成的角為90度，則這兩條直線垂直，那么一條直線就叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足；如圖，AB與CD垂直相交，交點為O，則∠COB=90，直線CD就是AB的垂線（AB也是CD的垂線），點O就叫做垂足； 過一點有且只有一條直線與已知直線垂直； 兩條直線相交不成垂角時，其中一條直線叫做另一條直線的斜線，它們的交點叫斜足； 直線外一點到它與這條直線垂足的連線，叫做垂線段； 連接直線外一點與直線上各點所有線段中，垂線段最短，我們把垂線段的長度，叫點到直線的距離；,O,平行線定義、性質,定義：同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線。 性質： 過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行； 如果a//b，b//c，則b//c； 兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補； 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、對頂角： 右圖中，∠1與∠2的位置關系稱為同位角，∠1=∠2； ∠2與∠4的位置關系稱為內(nèi)錯角，∠2=∠4； ∠3與∠4的位置關系稱為同旁內(nèi)角，∠3+∠4=180； ∠1與∠4的位置關系稱為對頂角，∠1=∠4；,,1,,2,,3,,4,例題,如圖，直線l1，l2，l3交于一點，直線l4∥l1，若∠1=124，∠2=88，則∠3的度數(shù)為（ ） A． 26 B． 36 C． 46 D． 56,如圖，∵直線l4∥l1， ∴∠1+∠AOB=180，而∠1=124， ∴∠AOB=56， ∴∠3=180﹣∠2﹣∠AOB =180﹣88﹣56 =36， 故選B．,,4,二、平面直角坐標系,定義以及知識點,平面直角坐標系：我們可以在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標系； 水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，習慣上取向右為正方向； 垂直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，取向上方向為正方向； 兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點； 象限：坐標軸上的點不屬于任何象限； 坐標系內(nèi)的點坐標寫作（x，y）； 第一象限：x0, y0 第二象限：x0 第三象限：x0, y0 橫坐標上的點坐標（x，0） ，縱坐標上的點坐標（0，y） 距離問題：點（x,y）距x軸的距離為y的絕對值，距y軸的距離為x的絕對值； 坐標軸上兩點間距離：點A（a,0）點B（b,0）,則AB距離為a-b的絕對值；點A（0,a’）點B（0，b’），則AB距離為a’-b’的絕對值；,X軸,Y軸,定義及知識點,角平分線上的點： 若（x,y）為第一、三象限角平分線上的點，則x=y； 若（x,y）為第二、四象限角平分線上的點，則x+y=0； 兩個數(shù)的絕對值相等，則這兩個數(shù)相等或者互為相反數(shù)； 若直線l與x軸平行，則直線l上的點縱坐標值相等；若直線l與y軸平行，則直線l上點橫坐標值相等；對稱問題： 一點關于x軸對稱，則x同y反； 一點關于y軸對稱，則y同x反； 一點關于原點對稱，則x反y反；,坐標點（x,y）的平移,三、三角形,定義、性質、知識點、全等三角形、相似三角形及勾股定理,三角形-定義,與三角形有關的線段,三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。依據(jù)：兩點之間，線段最短。 在實際運用中，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形； 在實際運用中，已經(jīng)兩邊，則第三邊的取值范圍為：兩邊之差第三邊兩邊之和； 所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，注意檢查每個答案能否組成三角形； 三角形的高：從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高（如圖1）； 三角形的中線：連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線（如圖2）； 三角形的中線將三角形分為面積相等的兩部分； 三角形的平分線：畫∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線（如圖3）； 三角形的中線、角平分線、高均為線段； 三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性；,1,2,3,三角形的高不一定在三角形內(nèi)部,角平分線與中線都在三角形內(nèi)部,角平分線,中線,與三角形有關的角,三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180度； 三角形最多只有一個直角或者鈍角，最少有兩個銳角； 三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角； 結合內(nèi)角和可知：三角形的外角最少兩個鈍角； 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和； 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角； 三角形的外角和為360度； 等腰三角形兩個底角相等，等邊三角形三個內(nèi)角相等； ∠A+∠B=∠C或者∠A-∠B=∠C等相似形式，均可推出三角形為直角三角形； ∠A+∠B∠C等相似形式，均可推出三角形為鈍角三角形；,三角形的角平分線,例題,如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E． 求證：∠CBE=∠BAD．,證明： ∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90，∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD．,全等三角形,全等三角形的定義和性質,全等三角形的判定,普通全等三角形的判定方法： 三條邊對應相等的兩個三角形全等；（邊邊邊） 兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等；（邊角邊） 兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等；（角邊角） 兩個角和其中一個角所對的邊對應相等的兩個三角形全等；（角角邊） 直角三角形全等的判定： 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；（斜邊直角邊） 角平分線性質及判定： 性質：角的平分線上的點到角的兩邊距離相等； 判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上；,例題,已知，AB、CD相交于點O，AC//DB，OC=OD，E、F為AB上兩點，且AE=BF，求證：CE=DF。,證明： 由AC//DB，可得∠A=∠B，∠ACO=∠BOD， 又∠1=∠2， 所以△AOC≌△BOD， ∴AC=BD ∵AE=BF， 則△AEC與△BFD中，兩邊及夾角相等， ∴△AEC≌△BFD ∴CE=DF,例題,在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延長線于點D，作AE//BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于點E，求證：AD=CE．,證明： ∵AE//BD， ∴∠EAC=∠ACB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠EAC， 在△ABD和△CAE中，∠B=∠EAC， AB=AC，∠BAD=∠ACE， ∴△ABD≌△CAE， ∴AD=CE,相似三角形,相似三角形的定義,相似圖形： 形狀相同的圖形叫做相似圖形； 相似多邊形對邊角相等，對應邊的比相等； 相似多邊形對應邊的比稱為相似比； 相似三角形 形狀相同的三角形叫相似三角形；,相似三角形的判定,相似三角形的性質,相似圖形的周長與面積,例題,如圖，△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，DE//AC，若BD=4，DA=2，BE=3，則EC=__________.,,A,B,C,D,E,3,2,4,？,解： ∵DE//AC ∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C ∴△BDE∽△BAC ∴BD：BA=BE：BC ∵BD=4，DA=2，則BA=6 又BE=3 ∴BC= 9 2 ∴EC=BC-BE= 3 2,勾股定理,勾股定理與直角三角形,例題,如右圖，直角三角形的兩個直角邊長度分別為5、12，那么 根據(jù)勾股定理，求出斜邊長度。,解： 根據(jù)勾股定理a2+b2=c2, a=5,b=12, 那么c= 5 2 +12 ， ∴c=13， 即該直角三角形的斜邊長度為13；,直角三角形中銳角的三角函數(shù),注意這里的鄰邊不包括斜邊,銳角三角函數(shù)的性質,銳角三角函數(shù)不能取負值； 0＜ sinA＜ l； 0＜cosA＜l； 銳角的正弦和余弦之間的關系： 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值； sinA＝cos（90一 A）＝cosB；cosA＝sin（90一A）＝sinB 銳角的正切和余切之間的關系： 任意銳角的正切值等于它的余角的余切值； 任意銳角的余切值等于它的余角的正切值； tanA＝cot（90一 A）＝cotB；cotA＝tan（90－A）＝ tanB 注：A+B=90,三角函數(shù)的變化規(guī)律,角度在0-90變化時,角度在0-90變化時,同角三角函數(shù)關系式及特殊角的三角函數(shù)值,（1）sinA+cosA=1 （2）tanA= 1 cot?? （3）tanA= sin?? cos??,利用三角函數(shù)解直角三角形,例如一桿AB直立地面，從D點看桿頂A，仰角為60，從C點看桿頂A，仰角為30，若CD長為10米，求桿AB的高。,,設AB=x 即tan60= ?? BD ，tan30= ?? 10+???? ， x= 3 BD 即 3 ??=10+BD 3 ??=10+ 1 3 ??，2x=10 3 ， ∴x=5 3 即桿高約為8.66米。,四、多邊形與軸對稱圖形,定義、性質,多邊形的定義,多邊形的性質,內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角； 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角； 對角線：連接多邊形不相鄰兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線； 多邊形的內(nèi)角和：N邊形內(nèi)角和=（n-2)*180度； 多邊形的外角和=360度； 對于N邊形，最多只能有三個外角為鈍角，最多只能有三個內(nèi)角為鈍角； 對于N邊形，最多只能有四個外角為直角，最多有四個內(nèi)角為直角，此時N=4； 對于N4的N邊形，最多只能有三個外角為直角，最多有三個內(nèi)角為直角； 從N邊形的一個頂點出發(fā)，可以引N-3條對角線，它們將N邊形分成N-2個三角形； 從N邊形的一個頂點出發(fā)，可以引N-3條對角線，N邊形共有對角線N*(N-3)/2個；,正多邊形,軸對稱,如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。注意：線段不能稱為對稱軸。 把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點； 經(jīng)過線段中點且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線； 如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線的垂直平分線； 類似的，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；,性質與判定,五、四邊形,平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形,平行四邊形,定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形； 性質： 對邊相等 夾在平行線間的平行線段相等 對角相等 對角線互相平分 判定： 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 ---平行線間的距離：兩平行線間最短的線段（垂直）,矩形,定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形； 性質： 矩形的四個角都是直角 矩形的對角線相等 引申：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 判定： 對角線相等的平行四邊形是矩形 有三個角是直角的四邊形是矩形 有一個角是直角的平行四邊形是矩形,判定四邊形是矩形的方法,例題,在平行四邊形 ABCD 中，過點 D 作 DE ⊥ AB 于點 E ，點 F 在邊 CD 上， DF = BE ，連接 AF ， BF . 求證： （1）四邊形BFDE是矩形； （2）若CF=3，BF=4，DF=5，求證：AF平分∠DAB；,答案,證明： （1）∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴DC//AB即DF//BE 又∵DF=BE， ∴四邊形DEBF為平行四邊形， 又∵DE⊥AB，即∠DEB=90， ∴四邊形DEBF為矩形,（2）∵四邊形DEBF為矩形 ∴∠BFC=90 ∵CF=3，BF=4 ∴BC= 3 2 +4 =5 ∴AD=BC=5 ∴AD=DF=5 ∴∠DAF=∠DFA ∵∠DAF=∠FAB ∴∠DAF=∠FAB 即AF平分∠DAB,菱形,定義：有一鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 性質： 菱形的四條邊都相等； 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角； 判定： 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形； 四邊相等的四邊形是菱形； 有一鄰邊相等的平行四邊形是菱形；,菱形的判定方法,正方形,定義：四條邊都相等，四個角都是直角的平行四邊形叫做正方形； 性質： 既是矩形，又是菱形； 具有矩形的性質，也有菱形的性質； 四個角都是直角，四條邊都相等； 兩條對角線相等，且互相垂直平分； 每條對角線平分一組對角； 判定： 兩條對角線互相垂直的矩形是正方形； 兩條對角線相等的菱形是正方形；,判定四邊形是正方形的方法,梯形,定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形； 兩腰相等的梯形叫做等腰梯形； 有一個角是直角的梯形叫做直角梯形； 等腰梯形的性質： 等腰梯形同一底邊上的兩個角相等； 等腰梯形的兩條對角線相等； 等腰梯形的判定： 同一個底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形； 兩腰相等的梯形是等腰梯形；,中位線,三角形的中位線： 連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線 （三角形的中位線與中線不同） 梯形的中位線： 連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形中位線 三角形中位線定理： 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半 梯形中位線定理： 梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半,各類圖形的面積,六、圓,定義、定理、性質、知識點,圓的定義和性質,定義： 在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。 連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是一個圓里最長的弦； 性質： 圓上各點到定點的距離都等于定長； 到定點的距離等于定長的點都在同一平面上； 圓心為O、半徑為r的圓可以看成所有到定點O距離等于定長r的點的集合； 圓的面積公式：S=πr 圓的周長公式：C=2πr 垂直于弦的直徑平分弦，平且平分弦所對的兩條??；平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?弧、圓心角、圓周角,?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱??； 圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓； 圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角； 圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸； 圓是中心對稱圖形：圓心O是它的對稱中心； 三個相等： 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等； 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們對應的圓心角相等，所對的弦相等； 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對應的圓心角相等，所對的弧相等； 圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角； 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半； 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90圓周角所對應的弦是直徑； 圓的內(nèi)接四邊形對角之和為180；（內(nèi)接四邊形4個頂點都在圓上）,點和圓的位置關系,直線和圓的位置關系,切線,判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線； 性質： 圓的切線垂直于過切點的半徑； 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點； 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過圓心； 切線長：經(jīng)過圓外一點作過圓的切線，這點和切點之間的線段長，就叫做這點到圓的切線長； 切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角；,例題,O,O,B,C,A,D,E,∵∠AOC=80，OB=OC，根據(jù)等腰三角形性質，則∠B=∠OCB=40； ∵AE為切線，則∠BAE=90 ∴∠ADB+∠B=90 ∴∠ADB=50 答案：B,弦切角,頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角。 弦切角定理：弦切角等于它所對應的弧的圓周角。 推理：如果兩個弦切角所對應的弧相等，那么這兩個弦切角也相等，如右圖， ∠FAE=∠ACE=∠ADE 如圖，AB為切線，則有 ∠C=∠BAE，∠BAE=∠D ∴∠C=∠D,F,圓與三角形,不在同一直線上的三個點確定一個圓； 經(jīng)過三角形的三個頂點可以做一個圓，則個圓叫做三角形的外接圓； 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心； 特殊情況： 直角三角形的外心在斜邊上的中點； 三角形的內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心； 三角形面積=內(nèi)切圓半徑r*三角形周長L/2；,例題,如圖，AB是⊙O的弦，AB=6，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB=45．若點M，N分別是AB，BC的中點，則MN長的最大值是_________.,∵M、N分別是AB、BC的中點， ∴MN= 1 2 AC， ∴當AC取得最大值時，MN就取得最大值， 當AC是直徑時最大，如圖， ∵∠ACB=∠D=45，AB=6， ∴AD=6 2 ， ∴MN= 1 2 AD=3 2,圓與圓的位置關系,圓O1與圓O2半徑分別為R、r，O1與O2之間的距離為d； 圓與圓相交：兩個交點，R-rR+r； 圓與圓內(nèi)含：沒有交點，dR-r； 同心圓：圓心重合，d=0； ---相切的兩個圓，不論內(nèi)切還是外切，切點和兩個圓心應該在同一直線上；,兩圓的公切線,和兩個圓都相切的直線叫兩圓的公切線，兩圓在公切線同旁時，叫外公切線，在公切線兩旁時，叫內(nèi)公切線，公切線上兩個切點的距離叫公切線的長 如圖，若 A、B、C、D為切點，則AB為內(nèi)公切線長，CD為外公切線長,扇形的弧長及面積,扇形：由兩條半徑及兩條半徑組成的角對應的弧組成的圖形； 扇形的弧長L= ?????? 180 ； 扇形的面積S= ?????? 360 ； S= 1 2 Lr；,圓柱體,圓柱可以看作是由一個矩形旋轉得到的，如把矩形ABCD繞邊AB旋轉一周得到的圖形是一個圓柱 AB叫圓柱的軸，圓柱側面上平行軸的線段CD， C’D’,都叫圓柱的母線 圓柱的母線長都相等，等于圓柱的高。 圓柱的兩個底面是平行的; 圓柱的側面展開圖是一個長方形,其中AB=高，AC=底面圓周長, ∴S側面=2πrh(圓柱的軸截面是長方形，一邊長為h，一邊長為2r ，r是圓柱底半徑，h是圓柱的高),圓錐體,圓錐可以看作由一個直角三角形旋轉得到 把Rt△OAS繞直線SO旋轉一周得到的圖形就是圓錐 旋轉軸SO叫圓錐的軸，通過底面圓的圓心，且垂直底面。 連結圓錐頂點和底面圓的任意一點的SA、SA’,都叫圓錐的母線，母線長都相等 圓錐的側面展開圖是一個扇形SAB,半徑是母線長，AB是2πr。（底面的周長），所以圓錐側面積為S側面=πrL（L為母線長）,A’,例題,如圖，在每一個四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60，AD=8，BC=12． （1）如圖①，點M是四邊形ABCD邊AD上的一點，則△BMC的面積為 ______ （2）如圖②，點N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點，請你求出△BNC周長的最小值； （3）如圖③，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點P，使得cos∠BPC的值最??？若存在，求出此時cos∠BPC的值；若不存在，請說明理由．,答案,（1）如圖①，過A作AE⊥BC， ∴四邊形AECD為矩形， ∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4， 在Rt△ABE中，∠ABE=60，BE=4， ∴AB=2BE=8，AE= 8 2 ?4 2 =4 3 ， 則S△BMC= 1 2 BC?AE=24 3 ； 故答案為：24 3 ；,（2）如圖②，作點C關于直線AD的對稱點C′，連接C′N，C′D，C′B交AD于點N′，連接CN′，則BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′， ∴△BNC周長的最小值為△BN′C的周長=BN′+CN′+BC=BC′+BC， ∵AD//BC，AE⊥BC，∠ABC=60， ∴過點A作AE⊥BC，則CE=AD=8， ∴BE=4，AE=BE?tan60=4 3 ， ∴CC′=2CD=2AE=8 3 ， ∵BC=12， ∴BC′=4 21 ， ∴△BNC周長的最小值為12+4 21,（3）如圖③所示，存在點P，使得cos∠BPC的值最小， 作BC的中垂線PQ交BC于點Q，交AD于點P，連接BP，CP，作△BPC的外接圓O，圓O與直線PQ交于點N，則PB=PC，圓心O在PN上， ∵AD//BC， ∴圓O與AD相切于點P， ∵PQ=DC=4 3 6, ∴PQBQ， ∴∠BPC＜90，圓心O在弦BC的上方， 在AD上任取一點P′，連接P′B，P′C，P′B交圓O于點M，連接MC， ∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C， ∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小， 連接OB，則∠BON=2∠BPN=∠BPC， ∵OB=OP=4 3 -OQ， 在Rt△BOQ中，根據(jù)勾股定理得：OQ+6=（4 3 ﹣OQ）， 解得OQ= 3 2 ，OB= 7 2 3 ∴cos∠BPC=cos∠BOQ= OQ OB = 1 7 ， 則此時cos∠BPC的值為 1 7,