高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)課件 新人教版選修2-2.ppt

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1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù),第一章 1.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用,1.結合實例，直觀探索并掌握函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系. 2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并能夠利用單調(diào)性證明一些簡單的不等式. 3.會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)的最高次數(shù)一般不超過三次).,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系,,答案,增,在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性有如下關系：,減,,答案,思考 以前，我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性，在假設x1＜x2的前提下，比較 f(x1)與f(x2)的大小，在函數(shù)y＝f(x)比較復雜的情況下，比較 f(x1)與f(x2)的大小并不很容易，如何利用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性？,答案 根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可以用曲線切線的斜率來解釋導數(shù)與單調(diào)性的關系， 如果切線的斜率大于零，則其傾斜角是銳角，函數(shù)曲線呈上升的狀態(tài)，即函數(shù)單調(diào)遞增； 如果切線的斜率小于零，則其傾斜角是鈍角，函數(shù)曲線呈下降的狀態(tài)，即函數(shù)單調(diào)遞減.,知識點二 利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)確定函數(shù) f(x)的定義域. (2)求出函數(shù)的導數(shù) f′(x). (3)解不等式 f′(x)＞0，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式 f′(x)＜0，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.,知識點三 導數(shù)絕對值的大小與函數(shù)圖象的關系,,一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化較快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.也就是說導數(shù)絕對值的大小反映了函數(shù)在某個區(qū)間或某點附近變化的快慢程度. 如圖，函數(shù) y＝f(x)在(a,0)和(0，b)內(nèi)的圖象“陡峭”，在(－∞，a)和(b，＋∞)內(nèi)的圖象“平緩”.,返回,題型探究 重點突破,題型一 利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,,解析答案,例1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (1)f(x)＝3x2－2ln x；,解 函數(shù)的定義域為D＝(0，＋∞).,,解析答案,(2) f(x)＝x2e－x；,解 函數(shù)的定義域為D＝(－∞，＋∞). ∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)， 令f′(x)＝0，由于e－x＞0， ∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定義域D，得下表：,∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(2，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2).,,解析答案,反思與感悟,,,反思與感悟,解 函數(shù)的定義域為D＝(－∞，0)∪(0，＋∞).,∴函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,0)和(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞).,,反思與感悟,首先確定函數(shù)定義域，然后解導數(shù)不等式，最后寫成區(qū)間的形式，注意連接同類單調(diào)區(qū)間不能用“∪”.,跟蹤訓練1 求函數(shù) f(x)＝x3－3x的單調(diào)區(qū)間.,,解析答案,解 f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1). 當 f′(x)＞0時，x＜－1或x＞1， 此時函數(shù) f(x)單調(diào)遞增； 當 f′(x)＜0時，－1＜x＜1，此時函數(shù) f(x)單調(diào)遞減. ∴函數(shù) f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－1)，(1，＋∞)，遞減區(qū)間是(－1,1).,題型二 利用導數(shù)確定函數(shù)的大致圖象,,例2 畫出函數(shù) f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致圖象.,解 f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2). 由 f′(x)＞0 得x＜－2或x＞3， ∴函數(shù) f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－2)和(3，＋∞). 由 f′(x)＜0得－2＜x＜3， ∴函數(shù) f(x)的遞減區(qū)間是(－2,3). 由已知得 f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16. ∴結合函數(shù)單調(diào)性及以上關鍵點畫出函數(shù)f(x)大致 圖象如圖所示(答案不唯一).,解析答案,反思與感悟,,利用導數(shù)可以判定函數(shù)的單調(diào)性，而函數(shù)的單調(diào)性決定了函數(shù)圖象的大致走向.當函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定以后，再通過描出一些特殊點，就可以畫出一個函數(shù)的大致圖象.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練2 已知導函數(shù) f′(x)的下列信息： 當2＜x＜3時，f′(x)＜0；當x＞3或x＜2時，f′(x)＞0； 當x＝3或x＝2時，f′(x)＝0；試畫出函數(shù) f(x)圖象的大致形狀.,解 當2＜x＜3時，f′(x)＜0，可知函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞減； 當x＞3或x＜2時，f′(x)＞0，可知函數(shù)在這兩個區(qū)間上單調(diào)遞增； 當x＝3或x＝2時，f′(x)＝0，在這兩點處的兩側(cè)，函數(shù)單調(diào)性發(fā)生改變. 綜上可畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀，如圖所示(答案不唯一).,題型三 利用導數(shù)確定參數(shù)的取值范圍,,解析答案,反思與感悟,例3 已知函數(shù) f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a＞0，若函數(shù) f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.,,,已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍，是近幾年高考的熱點問題，解決此類問題的主要依據(jù)就是導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系，其常用方法有三種： ①利用充要條件將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在給定區(qū)間上恒成立，然后轉(zhuǎn)為不等式恒成立問題； ②利用子區(qū)間(即子集思想)，先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求出的增或減區(qū)間的子集； ③利用二次方程根的分布，著重考慮端點函數(shù)值與0的關系和對稱軸相對區(qū)間的位置.,反思與感悟,,解析答案,,∵h(x)在(0，＋∞)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，,∴G(x)min＝－1， ∴a＞－1.,,解析答案,(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.,,,解析答案,求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，因忽視函數(shù)定義域致誤,例4 求函數(shù) y＝x－ln x的單調(diào)區(qū)間.,返回,,易錯易混,防范措施,,,解析答案,防范措施,,,防范措施,,,在確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域.,返回,防范措施,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.函數(shù) f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是( ) A.單調(diào)增函數(shù) B.單調(diào)減函數(shù),,A,解析答案,1,2,3,4,5,,2. f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)，若y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是( ),解析答案,1,2,3,4,5,解析 由導函數(shù)的圖象可知， 當x＜0時，f′(x)＞0，即函數(shù) f(x)為增函數(shù)； 當0＜x＜2時，f′(x)＜0，即 f(x)為減函數(shù)； 當x＞2時，f′(x)＞0，即函數(shù) f(x)為增函數(shù). 觀察選項易知D正確.,答案 D,1,2,3,4,5,,3.若函數(shù) f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.[1，＋∞) B.a＝1 C.(－∞，1] D.(0,1),解析答案,A,解析 ∵f′(x)＝3x2－2ax－1， 且 f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減， ∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)內(nèi)恒成立， ∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.,1,2,3,4,5,,解析答案,4.函數(shù) y＝x2－4x＋a的增區(qū)間為_________，減區(qū)間為_________.,(2，＋∞),(－∞，2),解析 y′＝2x－4， 令y′＞0，得x＞2； 令y′＜0，得x＜2， 所以y＝x2－4x＋a的增區(qū)間為(2，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，2).,1,2,3,4,5,,解析答案,,1,2,3,4,5,,課堂小結,判斷函數(shù)單調(diào)性的方法如下： (1)定義法.在定義域內(nèi)任取x1，x2，且x1＜x2，通過判斷f(x1)－f(x2)的符號來確定函數(shù)的單調(diào)性. (2)圖象法.利用函數(shù)圖象的變化趨勢進行直觀判斷. 圖象在某個區(qū)間呈上升趨勢，則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)； 圖象在某個區(qū)間呈下降趨勢，則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).,,返回,(3)導數(shù)法.利用導數(shù)判斷可導函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性， 步驟是：①求f′(x)；②確定f′(x)在(a，b)內(nèi)的符號；③確定單調(diào)性. 求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間分別是解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0所得的x的取值集合. 反過來，如果已知f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，求f(x)中參數(shù)的值，這類問題往往轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題， 即f′(x)≥0在D上恒成立且僅在有限個點上等號成立，求f(x)中參數(shù)的值. 同樣可以解決已知f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，求f(x)中參數(shù)的值的問題.,