高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10講 函數(shù)與方程課件 理.ppt
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第 10 講,函數(shù)與方程,1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系,,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).,2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象,能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似,解.,1.函數(shù)的零點 (1) 方 程 f(x) = 0 有 實 根 ? 函 數(shù) y = f(x) 的 圖 象與x軸有,________?函數(shù) y=f(x)有零點;,交點,(2)如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的圖象是連續(xù)不斷的, 且有 f(a)f(b)____0,那么函數(shù) y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點.一,般把這一結(jié)論稱為零點存在性定理.,,2.二分法,如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的圖象是一條連續(xù)不斷的 曲線,且 f(m)f(n)0,通過不斷地把函數(shù) y=f(x)的零點所在區(qū) 間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進(jìn)而得到零點 近似值的方法叫做二分法.,1.如圖 2-10-1 所示的是函數(shù) f(x)的圖象,它與 x 軸有 4 個 不同的公共點.給出下列四個區(qū)間,不能用二分法求出函數(shù) f(x),零點的區(qū)間是(,),B,圖 2-10-1,A.[-2.1,-1] C.[4.1,5],B.[1.9,2.3] D.[5,6.1],2.(2012 年廣東韶關(guān)一模)若函數(shù) f(x)=x3+x2-2x-2 的一 個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算,參考數(shù)據(jù)如下表: 那么方程 x3 +x2 -2x-2=0 的一個近似根(精確到 0.1)為,(,C,) A.1.2 C.1.4,B.1.3 D.1.5,3.方程 2x+x-4=0 的解所在的區(qū)間為(,),C,A.(-1,0),B.(0,1),C.(1,2),D.(2,3),解析:令 f(x)=2x+x-4,∵f(1)f(2)=-20,∴f(x)在(1,2) 內(nèi)有零點.,4.函數(shù) f(x)=log3x+x-2 的零點所在的區(qū)間為(,),B,A.(0,1),B.(1,2),C.(2,3),D.(3,4),解析:函數(shù)f(x)=log3x+x-2 的定義域為(0,+∞),且在(0, +∞)上單調(diào)遞增.又f(1)=-10,∴函數(shù)f(x) 有唯一零點,且零點在區(qū)間(1,2)內(nèi).,考點 1,判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間,例 1:(1)利用計算器,列出自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值如下 表:,那么方程 2x=x2 的一個根位于下列區(qū)間中的(,),A.(0.6,1.0) C.(1.8,2.2),B.(1.4,1.8) D.(2.6,3.0),解析:令 f(x)=2x-x2.由 f(0.6)=1.516-0.360,f(1.0)=2.0 -1.00 ,排除A ;由 f(1.4) =2.639 -1.960 ,f(1.8) =3.482 - 3.240,排除 B;由 f(2.6)=6.063-6.760,f(2.2)=4.595-4.840,可 確定方程 2x=x2 的一個根位于區(qū)間(1.8,2.2)上.,答案:C,答案:C,【規(guī)律方法】判斷函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點,,常用以下三種方法:,①當(dāng)對應(yīng)方程易解時,可通過解方程,看方程是否有根落,在給定區(qū)間上;,②利用函數(shù)零點的存在性定理進(jìn)行判斷;,③通過函數(shù)圖象,觀察圖象與 x 軸在給定區(qū)間上是否有交,點來判斷.,【互動探究】 1.(2013 年重慶)若 abc,則函數(shù) f(x)=(x-a)(x-b)+(x,-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區(qū)間(,),A,A.(a,b)和(b,c)內(nèi) B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi) C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi) D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi) 解析:f(a)=(a-b)(a-c)0;f(b)=(b-c)(b-a)0,f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,所以兩個零點分別位于區(qū) 間(a,b)和(b,c)內(nèi).,考點2,二分法的應(yīng)用,例2:已知函數(shù) f(x)=lnx+2x-6. (1)求證:函數(shù) f(x)在其定義域上是增函數(shù); (2)求證:函數(shù) f(x)有且只有一個零點;,(1)證明:函數(shù) f(x)的定義域為(0,+∞), 設(shè) x1x2,則 lnx1lnx2,2x12x2. ∴l(xiāng)nx1+2x1-6lnx2+2x2-6. ∴f(x1)f(x2).∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).,(2)證明:∵f(2)=ln2-20, ∴f(2)f(3)0.∴f(x)在(2,3)上至少有一個零點. 又由(1)知,f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),因此 f(x)=0 至多 有一個根,從而函數(shù) f(x)在(0,+∞)上有且只有一個零點.,【規(guī)律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一種計算方,法,它只能用來求函數(shù)的變號零點;,(2)給定精度ε,用二分法求函數(shù)y=f(x)的零點近似值的步驟,如下:,①確定區(qū)間[m,n],驗證 f(m)f(n)0,給定精度ε; ②求區(qū)間[m,n]的中點 x1;,③計算 f(x1):ⅰ)若 f(x1)=0,則x1 就是函數(shù)y=f(x)的零點; ⅱ) 若 f(m)f(x1)0 ,則令n=x1[ 此時零點x0 ∈(m ,x1)] ;ⅲ) 若 f(x1)f(n)0,則令m=x1[此時零點x0∈(x1,n)].,【互動探究】 2.若函數(shù) f(x)的零點與 g(x)=4x+2x-2 的零點之差的絕對,),值不超過 0.25,則 f(x)可以是( A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex-1,答案:A,,考點 3,利用導(dǎo)數(shù)討論方程的根的分布,例 3:(2013 年廣東廣州一模)已知 f(x)是二次函數(shù),不等式 f(x)0 的解集是(0,5),且 f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線 6x+y +1=0 平行. (1)求 f(x)的解析式;,(2)是否存在 t∈N,使得方程 f(x)+,37 x,=0 在區(qū)間(t,t+1),內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根?若存在,求出 t 的值;若不存在, 請說明理由.,思維點撥:(1)由二次不等式f(x)0 的解集可設(shè)出 f(x)解析,式,利用條件求出 f′(1),解出待定系數(shù).,(2)對方程作等價變形,利用導(dǎo)數(shù)和變號零點判定法則探求 t.,∵函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線 6x+y+1=0 平行, ∴f′(1)=-6.,∴2a-5a=-6,解得 a=2. ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x.,解:(1)方法一:∵f(x)是二次函數(shù),不等式f(x)0. ∴f′(x)=2ax-5a.,方法二:設(shè) f(x)=ax2+bx+c, ∵不等式 f(x)0 的解集是(0,5), ∴方程 ax2+bx+c=0 的兩根為 0,5.,∴c=0,25a+5b=0.,①,∵f′(x)=2ax+b, 又函數(shù) f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線 6x+y+1=0 平行, ∴f′(1)=-6.,∴2a+b=-6.,②,由①②,解得 a=2,b=-10. ∴f(x)=2x2-10x.,【互動探究】,3.函數(shù) f(x)=2x+x3-2 在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是(,),A.0 個,B.1 個,C.2 個,D.3 個,B,解析:因為 f′(x)=2xln2+3x2≥0,所以函數(shù) f(x)=2x+x3 -2 在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增.又 f(0)=1-2=-10,所以由零點存在性定理知,在區(qū)間(0,1)內(nèi)函數(shù)的零點個 數(shù)為 1 個.故選 B.,●思想與方法●,⊙運用分類討論思想判斷方程根的分布,例題:已知函數(shù) f(x)=ax2+x-1+3a(a∈R)在區(qū)間[-1,1],上有零點,求實數(shù) a 的取值范圍.,令 f(x)=0,得 x=1 是區(qū)間[-1,1]上的零點.,當(dāng) a≠0 時,函數(shù) f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點分三種情況:,解:方法一:當(dāng)a=0 時,f(x)=x-1.,【規(guī)律方法】(1)函數(shù) f(x)=ax2+x-1+3a(a∈R)在區(qū)間[- 1,1]上有零點,應(yīng)該分類討論:討論 a=0 與 a≠0;討論有一個 零點或有兩個零點;如果只有一個零點還要討論是否是重根. (2)函數(shù) f(x)的零點不是“點”,它是一個數(shù),是方程 f(x),=0 的實數(shù)根.,(3)準(zhǔn)確理解根的存在性定理:①f(x)在[a,b]上連續(xù); ②f(a)f(b)0.其中②是零點存在的一個充分條件,不是必要條件, 并且滿足 f(a)f(b)0 時,f(x)在[a,b]上至少有一個零點;不滿 足 f(a)f(b)0 時,f(x)在[a,b]上未必?zé)o零點,也可能有多個零點.,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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