高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 4 用向量討論垂直與平行(二)課件 北師大版選修2-1.ppt

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第二章 空間向量與立體幾何,4 用向量討論垂直與平行(二),1.會(huì)利用平面法向量證明兩個(gè)平面垂直. 2.能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直(線線、線面、面面)關(guān)系.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn) 空間垂直關(guān)系的向量表示,思考 直線的方向向量和平面的法向量在確定直線、平面的位置時(shí)各起到什么作用？ 答案 (1)①方向向量的選?。涸谥本€上任取兩點(diǎn)P，Q，可得到直線的一個(gè)方向向量 . ②方向向量的不惟一性：直線的方向向量不是惟一的，可以分為方向相同和相反兩類，它們都是共線向量，解題時(shí)，可以選取坐標(biāo)最簡(jiǎn)的方向向量. ③非零性：直線的方向向量是非零向量. (2)對(duì)平面法向量的兩點(diǎn)說明 ①平面法向量的選取：平面α的一個(gè)法向量垂直于與平面α共面的所有向量.即只需作一條垂直于平面的直線，選取該直線的方向向量. ②平面法向量的不惟一性：一個(gè)平面的法向量不是惟一的，一個(gè)平面的所有法向量共線.在應(yīng)用時(shí)，可以根據(jù)需要進(jìn)行選取.,,答案,返回,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 證明線線垂直問題 例1 如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn).求證：EF⊥BC.,,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,證明 由題意，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,,證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足為A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn).求證AE⊥CD.,證明 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)PA＝AB＝BC＝1，則A(0,0,0)，P(0,0,1). ∵∠ABC＝60，∴△ABC為正三角形.,,解析答案,反思與感悟,題型二 證明線面垂直問題 例2 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn).求證：EF⊥平面B1AC.,,解析答案,反思與感悟,證明 方法一 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2).,＝(－1)0＋(－1)2＋12＝0.,∴EF⊥AB1，EF⊥AC.,,又AB1∩AC＝A，AB1平面B1AC，AC平面B1AC， ∴EF⊥平面B1AC.,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，AB1平面B1AC，B1C平面B1AC， ∴EF⊥平面B1AC.,反思與感悟,,本類型題目用向量法證明的關(guān)鍵步驟是建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量或用基底表示向量，證法的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘運(yùn)算.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn).求證：A1O⊥平面GBD.,,解析答案,證明 方法一 如圖取D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2， 則O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，,即OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD.,方法二 同方法一建系后，設(shè)面GBD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，,令x＝1得z＝2，y＝－1， ∴平面GBD的一個(gè)法向量為(1,－1,2)，,,解析答案,反思與感悟,題型三 證明面面垂直 例3 如圖，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點(diǎn).求證：平面BDE⊥平面ABCD.,,證明 設(shè)AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，,又因?yàn)锳S⊥平面ABCD，所以O(shè)E⊥平面ABCD， 又OE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.,反思與感悟,反思與感悟,,利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€(gè)途徑：一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，證明兩個(gè)法向量垂直，從而得到兩個(gè)平面垂直.,,跟蹤訓(xùn)練3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.,解析答案,返回,,解析答案,解 由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)平面AA1C1C的法向量為n1＝(x，y，z)，,令x＝1，得y＝1，故n＝(1,1,0).,設(shè)平面AEC1的法向量為n2＝(a，b，c)，,令c＝4，得a＝1，b＝－1. 故n2＝(1,－1,4). 因?yàn)閚1n2＝11＋1(－1)＋04＝0， 所以n1⊥n2. 所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.,,返回,,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,解析答案,1.已知平面α的法向量為a＝(1，2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k等于( ) A.5 B.4 C.－4 D.－5 解析 ∵α⊥β，∴a⊥b， ∴ab＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.,D,1,2,3,4,5,,解析答案,2.設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3,－2,m)，若l1⊥l2，則m等于( ) A.－2 B.2 C.6 D.10 解析 ∵l1⊥l2，∴ab＝0， ∴－23－22＋m＝0，∴m＝10.,D,1,2,3,4,5,,解析答案,3.若平面α，β垂直，則下面可以作為這兩個(gè)平面的法向量的是( ) A.n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) B.n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) C.n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1) D.n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2) 解析 ∵1(－3)＋21＋11＝0， ∴n1n2＝0，故選A.,A,1,2,3,4,5,,解析答案,4.若直線l的方向向量為a＝(2,0,1)，平面α的法向量為n＝(－4,0,－2)，則直線l與平面α的位置關(guān)系為( ) A.l與α斜交 B.lα C.l∥α D.l⊥α 解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0,－2)， ∴n＝－2a，∴a∥n，∴l(xiāng)⊥α.,D,1,2,3,4,5,,解析答案,5.已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1,1,2)，b＝(x,－2,3)，且α⊥β，則x＝_____. 解析 ∵α⊥β，∴ab＝0， ∴x－2＋23＝0，∴x＝－4.,－4,,課堂小結(jié),,返回,1.利用空間向量解決立體幾何問題的“三個(gè)基本步驟”： (1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； (2)進(jìn)行向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系(距離和夾角等)； (3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題. 2.證明線面垂直問題，可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系來證明.,