2019-2020年高中數(shù)學(xué) 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(1)教案 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(1)教案 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo) (1)綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決與測(cè)量學(xué)、航海問(wèn)題等有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題; (2)體會(huì)數(shù)學(xué)建摸的基本思想,掌握求解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟; (3)能夠從閱讀理解、信息遷移、數(shù)學(xué)化方法、創(chuàng)造性思維等方面,多角度培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 教學(xué)重點(diǎn),難點(diǎn) (1)綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些實(shí)際問(wèn)題; (2)掌握求解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟. 教學(xué)過(guò)程 一.問(wèn)題情境 1.復(fù)習(xí)引入 復(fù)習(xí):正弦定理、余弦定理及其變形形式, (1)正弦定理、三角形面積公式: ; . (2)正弦定理的變形: ①; ②; ③. (3)余弦定理:. 二.學(xué)生活動(dòng) 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧上兩節(jié)所學(xué)內(nèi)容,然后思考生活中有那些問(wèn)題會(huì)用到這兩個(gè)定理,舉例說(shuō)明. 三.建構(gòu)數(shù)學(xué) 正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中邊角之間的相互關(guān)系,在測(cè)量學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用. 1.下面給出測(cè)量問(wèn)題中的一些術(shù)語(yǔ)的解釋: (1)朝上看時(shí),視線與水平面夾角為仰角;朝下看時(shí),視線與水平面夾角為俯角. (2)從某點(diǎn)的指北方向線起,依順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角,叫方位角. (3)坡度是指路線縱斷面上同一坡段兩點(diǎn)間的高度差與其水平距離的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以這樣理解:坡面與水平面的夾角為45度.45度幾乎跟墻壁一樣的感覺(jué)了. (4)科學(xué)家為了精確地表明各地在地球上的位置,給地球表面假設(shè)了一個(gè)坐標(biāo)系,這就是經(jīng)緯度線. 2.應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的解題步驟:①根據(jù)題意作出示意圖;②確定所涉及的三角形,搞清已知和未知;③選用合適的定理進(jìn)行求解;④給出答案. 四.?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1.例題: 例1.如圖1-3-1,為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)之間的距離,在河岸這邊取點(diǎn),測(cè)得,,,,.設(shè)在同一平面內(nèi),試求之間的距離(精確到). 解:在中,,,則.又,由正弦定理,得 圖1-3-1 . 在中,,, 則.又,由正弦定理,得 . 在中,由余弦定理,得 , 所以 答兩點(diǎn)之間的距離約為. 本例中看成或的一邊,為此需求出,或,,所以可考察和,根據(jù)已知條件和正弦定理來(lái)求,,再由余弦定理求. 引申:如果,兩點(diǎn)在河的兩岸(不可到達(dá)),試設(shè)計(jì)一種測(cè)量,兩點(diǎn)間距離的方法.可見習(xí)題1.3 探究拓展 第8題. 例2.如圖1-3-2,某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出呼救信號(hào),我海軍艦艇在處獲悉后,測(cè)出該漁輪在方位角為,距離為的處,并測(cè)得漁輪正沿方位角為的方向,以的速度向小島靠攏,我海軍艦艇立即以的速度前去營(yíng)救.求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間(角度精確到,時(shí)間精確到). 解:設(shè)艦艇收到信號(hào)后在處靠攏漁輪,則,,又,. 由余弦定理,得 , 即 . 化簡(jiǎn),得 圖1-3-2 , 解得(負(fù)值舍去). 由正弦定理,得 , 所以,方位角為. 答 艦艇應(yīng)沿著方向角的方向航行,經(jīng)過(guò)就可靠近漁輪. 本例是正弦定理、余弦定理在航海問(wèn)題中的綜合應(yīng)用.因?yàn)榕炌牡脚c漁輪從到的時(shí)間相同,所以根據(jù)余弦定理可求出該時(shí)間,從而求出和;再根據(jù)正弦定理求出. 例3.如圖,某海島上一觀察哨在上午時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東的處,時(shí)分測(cè)得輪船在海島北偏西的處,時(shí)分輪船到達(dá)海島正西方的港口.如果輪船始終勻速前進(jìn),求船速. 解:設(shè),船的速度為,則,. (例3) 在中,,. 在中,, . 在中,, ,, 船的速度. 2.練習(xí):書上P20 練習(xí)1,3,4題. 五.回顧小結(jié): 1.測(cè)量的主要內(nèi)容是求角和距離,教學(xué)中要注意讓學(xué)生分清仰角、俯角、張角、視角和方位角及坡度、經(jīng)緯度等概念,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題. 2.解決有關(guān)測(cè)量、航海等問(wèn)題時(shí),首先要搞清題中有關(guān)術(shù)語(yǔ)的準(zhǔn)確含義,再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言(符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言)表示已知條件、未知條件及其關(guān)系,最后用正弦定理、余弦定理予以解決. 六.課外作業(yè): 書上P21頁(yè)習(xí)題1.3 第2,3,4題. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué)必修五[蘇教版] 1.3 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(2) 教學(xué)目標(biāo) (1)能熟練應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決三角形等一些幾何中的問(wèn)題和物理問(wèn)題; (2)能把一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,并能應(yīng)用正弦、余弦定理及相關(guān)的三角公式解決這些問(wèn)題; (3)通過(guò)復(fù)習(xí)、小結(jié),使學(xué)生牢固掌握兩個(gè)定理,應(yīng)用自如. 教學(xué)重點(diǎn),難點(diǎn) 能熟練應(yīng)用正弦定理、余弦定理及相關(guān)公式解決三角形的有關(guān)問(wèn)題。 教學(xué)過(guò)程 一.問(wèn)題情境 1.復(fù)習(xí)引入 總結(jié)解斜三角形的要求和常用方法. (1).利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理,可以解決以下兩類解斜三角形問(wèn)題: ①已知兩角和任一邊,求其它兩邊和一角; ②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角,從而進(jìn)一步求其它的邊和角. (2) 應(yīng)用余弦定理解以下兩類三角形問(wèn)題: ①已知三邊求三內(nèi)角; ②已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其它兩個(gè)內(nèi)角. 二.學(xué)生活動(dòng) 引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課內(nèi)容,總結(jié)利用兩個(gè)定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟.想一想可以用這兩個(gè)定理來(lái)解決有關(guān)物理問(wèn)題和幾何問(wèn)題嗎? 三.?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1.例題: 例1.如圖,在四邊形中,已知,, , , ,求的長(zhǎng). 解:在中,設(shè), 則, 即, 圖1-3-3 ∴, ∴,(舍去), 由正弦定理:, ∴. 例2.作用在同一點(diǎn)的三個(gè)力平衡.已知, ,與之間的夾角是,求的大小與方向 (精確到). 解:應(yīng)和合力平衡,所以和在同一直線上, 并且大小相等,方向相反. 如圖1-3-3,在中,由余弦定理,得 . 再由正弦定理,得 , 所以,從而. 答 為,與之間的夾角是. 本例是正弦定理、余弦定理在力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用,教學(xué)時(shí)可作如下分析: 由圖根據(jù)余弦定理可求出,再根據(jù)正弦定理求出. 例3.如圖1-3-4,半圓的直徑為,為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),,為半圓上任意一點(diǎn),以為一邊作等邊三角形.問(wèn):點(diǎn)在什么位置時(shí),四邊形面積最大? 分析:四邊形的面積由點(diǎn)的位置唯一確定,而點(diǎn)由唯一確定,因此可設(shè),再用的三角函數(shù)來(lái)表示四邊形的面積. 解:設(shè).在中,由余弦定理,得 . 于是,四邊形的面積為 圖1-3-4 . 因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,即時(shí),四邊形的面積最大. 對(duì)于本例,教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生分析得到四邊形的面積隨著的變化而變化.這樣將四邊形的面積表示成的函數(shù),利用三角形的有界性求出四邊形面積的最大值. 例4.中,若已知三邊為連續(xù)正整數(shù),最大角為鈍角,①求最大角的余弦值; ②求以此最大角為內(nèi)角,夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積. 解:①設(shè)三邊, 且, ∵為鈍角, ∴,解得, ∵, ∴或,但時(shí)不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去, 當(dāng)時(shí),; ②設(shè)夾角的兩邊為,, 所以,,當(dāng)時(shí),. 2.練習(xí): 1.書上P20頁(yè)練習(xí)第2題,習(xí)題1.3第1題. 2.在中,已知,求的最大內(nèi)角; 第4題 3.已知的兩邊是方程的兩個(gè)根,的面積是,周長(zhǎng)是 ,試求及的值; 4.如圖,,,, ,, 求的長(zhǎng). (答案:) 四.回顧小結(jié): 1.正弦、余弦定理是解三角形的有力工具,要區(qū)別兩個(gè)定理的不同作用,在解題時(shí)正確選用; 2.由于有三角形面積公式,解題時(shí)要時(shí)刻與三角形面積與三角形外接圓直徑聯(lián)系在一起; 3.應(yīng)用正弦、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)將“邊、角相混合”的等式轉(zhuǎn)化為“邊和角的單一”形式; 4.在較為復(fù)雜的圖形中求邊或角,首先要找出有關(guān)的三角形,再合理使用正弦定理或余弦定理解決. 五.課外作業(yè):書上P21習(xí)題1.3,第5,6,7題,P24復(fù)習(xí)題第6題.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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