高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 第4節(jié) 直接證明與間接證明課件 理 新人教A版.ppt

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第4節(jié) 直接證明與間接證明,Ⅰ.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點． Ⅱ.了解反證法的思考過程和特點．,,,整合主干知識,1．直接證明,已知條件,待證結(jié)論,原因,結(jié)果,待證結(jié)論,充分條件,結(jié)果,產(chǎn)生這一結(jié)果的原因,已知,可知,未知,必要條件,未知,需知,已知,充分條件,質(zhì)疑探究：綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系？ 提示：(1)分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋求它成立的充分條件．(2)綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它成立的必要條件． (3)分析法易于探索解題思路，綜合法易于過程表述，在應(yīng)用中視具體情況擇優(yōu)選之．,2．間接證明,Q不成立,解析：a2－ab＝a(a－b)， ∵a0，∴a2ab. ① 又ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2，② 由①②得a2abb2. 答案：B,解析：因為a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0. 答案：D,3．(2014山東高考)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是( ) A．方程x2＋ax＋b＝0沒有實根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個實根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個實根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個實根 解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”等價于“方程x2＋ax＋b＝0有一個實根或兩個實根”，所以該命題的否定是“方程x2＋ax＋b＝0沒有實根”． 答案：A,答案：3,答案：－b,,聚集熱點題型,[典例賞析1] 對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時滿足： ①對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0; ②f(1)＝1； ③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．,綜合法的應(yīng)用,[思路索引](1)取特殊值代入計算即可證明； (2)對照新定義中的3個條件，逐一代入驗證，只有滿足所有條件，才能得出“是理想函數(shù)”的結(jié)論，否則得出“不是理想函數(shù)”的結(jié)論． (1)證明：取x1＝x2＝0，則x1＋x2＝0≤1， ∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0. 又對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0， ∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.,(2)解：對于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不滿足新定義中的條件②， ∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函數(shù)． 對于f(x)＝x2，x∈[0,1]，顯然f(x)≥0，且f(1)＝1. 任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2),[拓展提高] 用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，綜合法的適用范圍： (1)定義明確的問題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無條件的等式或不等式． (2)已知條件明確，并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型．在使用綜合法證明時，易出現(xiàn)的錯誤是因果關(guān)系不明確，邏輯表達混亂．,,[思路索引]本題若使用綜合法，不易尋求證題思路．可考慮使用分析法．,分析法的應(yīng)用,[證明] ∵m0，∴1＋m0. 所以要證原不等式成立， 只需證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即證m(a2－2ab＋b2)≥0， 即證(a－b)2≥0， 而(a－b)2≥0顯然成立， 故原不等式得證．,[拓展提高] 分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，運用分析法必須考慮條件的必要性是否成立．通常采用“欲證—只需證—已知”的格式，在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性．,,反證法的應(yīng)用,[拓展提高] 當一個命題的結(jié)論是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾； ④與事實矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器．,,[備課札記] ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________,,提升學(xué)科素養(yǎng),(理)反證法證明題的規(guī)范答題,,(注：對應(yīng)文數(shù)熱點突破之五十二),(本題滿分12分)(2013高考陜西卷)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列． (1)推導(dǎo){an}的前n項和公式； (2)設(shè)q≠1，證明：數(shù)列{an＋1} 不是等比數(shù)列． [審題視角] (1)利用等比數(shù)列的概念及通項公式推導(dǎo)前n項和公式；(2)利用反證法證明要證的結(jié)論．,[溫馨提醒] (1)推導(dǎo)Sn時，不可漏掉q＝1. (2)假設(shè){an＋1}是等比數(shù)列時，不可用a1＋1，a2＋1與a3＋1建立關(guān)系來說明矛盾．,1．一種關(guān)系 綜合法與分析法的關(guān)系：分析法與綜合法相輔相成，對較復(fù)雜的問題，常常先從結(jié)論進行分析，尋求結(jié)論與條件的關(guān)系，找到解題思路，再運用綜合法證明；或兩種方法交叉使用． 2．兩個防范 (1)用分析法證明數(shù)學(xué)問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個明顯成立的結(jié)論．,,(2)利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時，要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)命題進行推理，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的． 3．三個關(guān)鍵 反證法證明的關(guān)鍵：(1)準確反設(shè)；(2)從否定的結(jié)論正確推理；(3)得出矛盾．,