高考數(shù)學總復習 第九章 概率與統(tǒng)計 第5講 離散型隨機變量及其分布列課件 理.ppt
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第5講,離散型隨機變量及其分布列,1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,,了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.,2.理解超幾何分布及其導出過程,并能進行簡單的應用. 3.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念,能理解 n 次 獨立重復實驗的模型及二項分布,并能解決一些簡單的實際問 題.,1.隨機變量,(1)隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量,常用字,母 X,Y,ξ,η…表示.,(2)所有取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變,量.,(3)隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的變量就叫,做連續(xù)型隨機變量.,2.條件概率及其性質(zhì) (1)條件概率的定義:,A 發(fā)生的條件下,事件 B 發(fā)生的概率. (2)條件概率的求法: 求條件概率除了可借助定義中的公式,還可以借助古典概,(3)條件概率的性質(zhì):,0,1,①條件概率具有一般概率的性質(zhì),即____≤P(B|A)≤____; ②若 B 和 C 是兩個互斥事件,則 P(B∪C|A)=P(B|A)+ P(C|A).,3.事件的相互獨立性,P(A)P(B),(1)設 A,B 為兩個事件,若 P(AB)=__________,則稱事件 A 與事件 B 相互獨立.,4.離散型隨機變量的分布列,稱為離散型隨機變量 X 的概率分布列,簡稱為 X 的分布列. 有時為了表達簡單,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表 示 X 的分布列.,一般地,若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則表:,5.離散型隨機變量分布列的性質(zhì),(1)pi≥0(i=1,2,…,n).(2)p1+p2+…+pn=1. 6.常見的離散型隨機變量的分布列 (1)兩點分布:,如果隨機變量 X 的分布列為:,其中 0p1,稱 X 服從兩點分布,而稱 p=P(X=1)為成功,概率.,(2)超幾何分布: 一般地,在含有 M 件次品的 N 件產(chǎn)品中,任取 n 件,其中恰,k=0,1,2,…,m(其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M, N∈N*),稱隨機變量 X 服從超幾何分布,其分布列如下表:,(3)二項分布:,一般地,在 n 次獨立重復試驗中,設事件 A 發(fā)生的次數(shù)為 X,在每次試驗中事件 A 發(fā)生的概率為 p,那么在 n 次獨立重復,(k=0,1,2,…,n).此時稱隨機變量 X 服從二項分布.記作 X~B(n, p),并稱 p 為成功概率.其分布列如下表:,1.下列四個表格中,可以作為離散型隨機變量分布列的一,個是(,),C,D,C,4.某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列如下:,0.7,此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)不小于 8 環(huán)”的概率為______.,考點 1,離散型隨機變量的分布列,例 1:(2014 年廣東珠海二模)已知甲、乙兩名乒乓球運動 員進行比賽,根據(jù)二人以往比賽資料統(tǒng)計,在一局比賽中,甲 甲、乙二人準備進行三局比賽. (1)求在三局比賽中甲勝前兩局、乙勝第三局的概率; (2)用ξ表示三局比賽中甲獲勝的局數(shù),求ξ的分布列.,【規(guī)律方法】離散型隨機變量的分布列的求法:,①寫出X 的所有可能取值(注意準確理解X 的含義,以免失,誤);,②利用概率知識(古典概型或相互獨立事件的概率)求出 X,取各值的概率;,③列表并檢驗,寫出分布列.,【互動探究】,1.(2013 年山東)甲、乙兩支排球隊進行比賽,約定先勝 3 局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束,除第五局甲隊獲勝的概,結(jié)果相互獨立.,(1)分別求甲隊以 3∶0,3∶1,3∶2 獲勝的概率;,(2)若比賽結(jié)果為 3∶0 或 3∶1,則勝利方得 3 分,對方得 0 分;若比賽結(jié)果為 3∶2,則勝利方得 2 分,對方得 1 分.求乙 隊得分 X 的分布列.,解:(1)記“甲隊以 3∶0,3∶1,3∶2 獲勝”分別為事件 A1, A2,A3.由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立,,(2)設“乙隊以 3∶2 獲勝”為事件 A4,由題意,各局比賽 結(jié)果相互獨立,所以,由題意,隨機變量X 的所有可能的取值為0,1,2,3,,根據(jù)事 件的互斥性,得,故 X 的分布列為:,考點 2,超幾何分布的應用,例 2:2012 年春節(jié)前,有超過 20 萬名廣西、四川等省籍的 外來務工人員選擇駕乘摩托車沿 321 國道長途跋涉返鄉(xiāng)過年, 為防止摩托車駕駛?cè)艘蜷L途疲勞駕駛,手腳僵硬影響駕駛操作 而引發(fā)交通事故,肇慶市公安交警部門在 321 國道沿線設立了 多個長途行駛摩托車駕乘人員休息站,讓過往返鄉(xiāng)過年的摩托 車駕駛?cè)藛T有一個停車休息的場所.交警小李在某休息站連續(xù) 5 天對進站休息的駕駛?cè)藛T每隔 50 輛摩托車就詢問駕駛?cè)藛T的 省籍一次,詢問結(jié)果如圖 9-5-1:,圖 9-5-1,(1)問交警小李對進站休息的駕駛?cè)藛T的省籍詢問采用的,是什么抽樣方法?,(2)用分層抽樣的方法對被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T進行抽,樣,若廣西籍的有 5 名,則四川籍的應抽取幾名?,(3)在上述抽出的駕駛?cè)藛T中任取 2 名,求抽取的 2 名駕駛,人員中四川籍人數(shù)ξ的分布列.,解:(1)交警小李對進站休息的駕駛?cè)藛T的省籍詢問采用的 是系統(tǒng)抽樣方法. (2)從圖中可知,被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T是廣西籍的有 5 +20+25+20+30=100(名), 四川籍的有 15+10+5+5+5=40(名). 設四川籍的駕駛?cè)藛T應抽取 x 名,依題意,得,(3)ξ的所有可能取值為 0,1,2.,ξ的分布列為:,【規(guī)律方法】在超幾何分布中,只要知道N,M 和 n,就 可以根據(jù)公式,求出X 取不同值m 時的概率P(X=m),從而列 出 X 的分布列.,【互動探究】,2.一個口袋中裝有大小相同的 2 個白球和 3 個黑球.,(1)采取放回抽樣方式,從中摸出 2 個球,求 2 個球恰好顏,色不同的概率;,(2)采取不放回抽樣方式,從中摸出 2 個球,求摸得白球的,個數(shù)的分布列.,解:(1)采取放回抽樣方式,從中摸出 2 個球,2 球恰好顏 色不同,也就是說從 5 個球中摸出一球,若第一次摸到白球, 則第二次摸到黑球;若第一次摸到黑球,則第二次摸到白球.,考點 3,二項分布的應用,例 3:(2014 年上海金山一模)2012 年 3 月 2 日,國家環(huán)保 部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標準》.其中規(guī)定:居民區(qū)中 的 PM2.5 年平均濃度不得超過 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小 時平均濃度不得超過 75 微克/立方米.某城市環(huán)保部門隨機抽取 了一居民區(qū) 2013 年 40 天的 PM2.5 的 24 小時平均濃度的監(jiān)測 數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:,(1)請你根據(jù)上表的數(shù)據(jù)統(tǒng)計估計該樣本的眾數(shù)和中位數(shù),(不必寫出計算過程);,(2)求該樣本的平均數(shù),并根據(jù)樣本估計總體的思想,從 PM2.5 的年平均濃度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改 進?并說明理由;,(3)將頻率視為概率,對于 2013 年的某 2 天,記這 2 天中 該居民區(qū) PM2.5 的 24 小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標準的 天數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望 E(ξ).,解:(1)眾數(shù)約為 22.5,中位數(shù)約為 37.5. (2)去年該居民區(qū) PM2.5 年平均濃度為 7.50.1 +22.50.3 +37.50.2 +52.50.2 +67.50.1 + 82.50.1=40.5(微克/立方米). 因為40.535,所以2013 年該居民區(qū)PM2.5 年平均濃度不 符合環(huán)境空氣質(zhì)量標準, 故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進. (3)記事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小時平均濃度符合環(huán),【規(guī)律方法】(1)判斷一個隨機變量是否服從二項分布,關(guān) 鍵有兩點:一是對立性,即一次試驗中,事件發(fā)生與否必居其 一;二是重復性,即試驗是否獨立重復進行了 n 次.,(2)二項分布滿足的條件:,①每次試驗中,事件發(fā)生的概率是相同的; ②各次試驗中的事件是相互獨立的;,③每次試驗只有兩種結(jié)果:事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生; ④隨機變量是這 n 次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù).,【互動探究】,3.一袋子中有大小相同的 2 個紅球和 3 個黑球,從袋子里 隨機取球,取到每個球的可能性是相同的,設取到 1 個紅球得 2 分,取到 1 個黑球得 1 分.,(1)若從袋子里一次隨機取出 3 個球,求得 4 分的概率; (2)若從袋子里每次取出 1 個球,看清顏色后放回,連續(xù)取,3 次,求得分ξ的概率分布列.,●思想與方法●,⊙分類討論思想與離散型隨機變量的結(jié)合,例題:(2014 年福建)為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎 的方式對 1000 位顧客進行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有 4 個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出 2 個球,球上所標的面 值之和為該顧客所獲的獎勵額.,(1)若袋中所裝的 4 個球中有 1 個所標的面值為 50 元,其,余 3 個均為 10 元,求:,i)顧客所獲的獎勵額為 60 元的概率;,ii)顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望.,(2)商場對獎勵總額的預算是 60 000 元,并規(guī)定袋中的 4 個 球只能由標有面值為 10 元和 50 元的兩種球組成,或標有面值 為 20 元和 40 元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可 能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,請對袋 中的 4 個球的面值給出一個合適的設計,并說明理由.,ii)依題意,得X 的所有可能取值20,60.,即 X 的分布列為:,所以顧客所獲的獎勵額的期望為 E(X)=200.5+600.5,=40.,(2)根據(jù)商場的預算,每個顧客的平均獎勵額為60元.所以,先尋找期望為60元的可能方案. 對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因為60元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因為60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1; 對于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.,以下是對兩個方案的分析: 對于方案 1,即方案(10,10,50,50),設顧客所獲的獎勵額為 X1,則 X1 的分布列為,對于方案2,即方案(20,20,40,40),設顧客所獲的獎勵額為 X2,則 X2 的分布列為:,由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求,但方案 2 獎勵 額的方差比方案 1 的小,所以應該選擇方案 2.,【規(guī)律方法】本題主要考查相互獨立事件及互斥事件概率 的計算,考查分類討論思想以及運用數(shù)學知識解決問題的能力. 尤其是運用分類討論思想解決離散型隨機變量分布列問題的時 候,可通過檢查最后求出的分布列是否符合分布列的兩個性質(zhì) 來檢查分類討論是否有所遺漏或重復.,- 配套講稿:
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