東南大學幾何與代數(shù)第四章習題講解.ppt

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,幾代習題（第四章）,王小 六,東 南 大 學 線 性 代 數(shù) 課 程,關于作業(yè),第四章的習題解析參見筆記,錯誤的說法： 線性有關 （應該是線性相關） 不線性相關（應該是線性無關）,習題四(B) 10,?1, ?2, …, ?t 線性無關,?1, ?2, …, ?s 線性無關,,?1, ?2, …, ?t 線性無關,?1, ?2, …, ?s 線性無關,,“當且僅當” 其實就是 “充要條件”,要證兩個方向,習題四(B) 10,?1, ?2, …, ?t 線性無關,?1, ?2, …, ?s 線性無關,,錯誤的證法：,?1, ?2, …, ?t 線性無關,,由k1 ? 1+k2 ? 2+…+ks ? s = θ ，可得 k1=k2=…=ks = 0 .,,k1?1+k2 (?1+?2)+ …+ks (?1+?2+… +?s ) = θ,,(k1+k2+…+ks)?1+ (k2+…+ks)?2+ …+ks?s = θ,,?1, ?2,…, ?s 的系數(shù)全為0,,?1, ?2,…, ?s 線性無關,習題四(B) 12,要求的是“充要條件”,向量組? 1, ? 2, ? 3線性無關,?由k1 ? 1 + k2 ? 2 + ks ? 3 = ? 可推出,k1=k2 =k3 = 0.,?k1 ? 1 + k2 ? 2 + ks ? 3 = ? 只有零解,? (? 1 , ? 2 , ? 3),k1 k2 k3,= ?,只有零解,? (a?1 + b?2 , a?2 +b?3 , a?3 + b?1),k1 k2 k3,= ?,只有零解,習題四(B) 12,? (a?1 + b?2 , a?2 +b?3 , a?3 + b?1),k1 k2 k3,= ?,只有零解,? (?1, ?2, ?3 ),k1 k2 k3,= ?,只有零解,a 0 b b a 0 0 b a,k1 k2 k3,= ?,只有零解,a 0 b b a 0 0 b a,?,由?1, ?2, ?3 的線性無關,? …,習題四(B) 17,與第12題類似,習題四(B) 19,求極大無關組，兩種方法 (1) 先求秩 r，找r個無關向量 (2) 將向量以列向量形式構成矩陣， 做初等行變換…,習題四(B) 20(1),,x y z,=,2y-3z y z,,=,,2 1 0,,-3 0 1,y,+ z,基向量: (2 1 0), (-3, 0, 1),習題四(B) 20(2),,2 3 6 9 2 4 5,,2 0 0 0 1 0 0 0,,,,,基向量,行變換,,2 3 6 9 2 4 5,,0 0 3 0 0 2 0 -1,,,是基向量(參見引理4.1和例4.15),列變換,不是基向量,習題四(B) 23,?1T ?2T,,?1T ?2T,,=,C,?1= c11?1+ c21?2 , ?2 =c12?1+ c22?2.,C =,c11 c12 c21 c22,,因為此時?1 , ?2 , ?1 , ?2是行向量，所以,?1 ?2,?1 ?2,=,,CT,,或者等價地，,25（1）向量組正交化后還需單位化,27,29 注意兩點 : (AB)T=BTAT; 矩陣乘法不能隨意交換,31 有兩種角度：化成階梯形；行列式,35 其實只需證向量組線性無關（因為已知解空間的維數(shù)是3）； 如果要說明向量組可以線性表示任一個解向量，請把系數(shù)求出來。,注：在此題的證明過程中，有些同學似乎 用了這樣的錯誤結論：設k0,k1,…,kt不全為零， 然后得到k0+k1+…+kt不等于零.,方法一：令線性組合等于零，然后證系數(shù)全為零； 方法二：先證ξ與Ax=θ的線性無關的解向量所構成的向量組是線性無關的（需證明），然后再證題中的向量組是無關的,36（2）要說明η構成基礎解系，前提是η不為零向量,37 在求導出組的基礎解系時，一定要利用導出 組的通解來求,40（1）與32題是一樣的； （2）線性表示的系數(shù)最好要具體寫出來.,有的書中此題答案有誤：第一行第二個元素 應該為-1+2t,本門課程的內容體系,本門課程：研究矩陣的理論,第二章 矩陣 矩陣的定義和運算； 可逆矩陣:特殊矩陣; 分塊矩陣:為了更方便的運算; 初等變換:矩陣之間的一種變換；,第五章：相似變換(方陣),第六章：可逆變換(實對稱陣),特征值,慣性指數(shù),矩陣世界， 紛繁復雜， 如何找到不變的永恒,秩,第四章：向量空間是一種特殊的矩陣空間,尋找向量空間的極小生成元(基),尋找向量組的極大無關組,研究向量組中向量間的關系（線性相關性）,有了基, 就有了坐標；,定義內積,引入正交的概念,構造一組標準正交生成元,兩個 應用,刻畫矩陣A的列空間(列向量生成的子空間),刻畫Ax=b的解空間，即尋找基礎解系等,第三章 幾何空間(R3): 可看作是第四章的鋪墊，也可看作一種特殊的向量空間。,第一章 行列式和方程組: 它們是研究矩陣的工具。很多問題會被轉化為求行列式(特別是遇到方陣時)或求解方程組的問題。,