2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《二次函數(shù)》(1).doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料二次函數(shù)(1)二次函數(shù)是最簡(jiǎn)單的非線性函數(shù)之一，而且有著豐富內(nèi)涵。在中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)材中，對(duì)二次函數(shù)和二次方程，二次三項(xiàng)式及二次不等式以及它們的基本性質(zhì)，都有深入和反復(fù)的討論與練習(xí)。它對(duì)近代數(shù)學(xué)，乃至現(xiàn)代數(shù)學(xué)，影響深遠(yuǎn)，為歷年來高考數(shù)學(xué)考試的一項(xiàng)重點(diǎn)考查內(nèi)容，歷久不衰，以它為核心內(nèi)容的重點(diǎn)試題，也年年有所變化，不僅如此，在全國(guó)及各地的高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容也是非常重要的命題對(duì)象。因此，必須透徹熟練地掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)。 學(xué)習(xí)二次函數(shù)的關(guān)鍵是抓住頂點(diǎn)（-b/2a，(4ac-b2)/4a），頂點(diǎn)的由來體現(xiàn)了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；圖象的平移歸結(jié)為頂點(diǎn)的平移（y=ax2y=a(x-h)2+k）；函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，xR），單調(diào)區(qū)間（-，-b/2a），-b/2a,+、極值（(4ac-b2)/4a），判別式（b2-4ac）與X軸的位置關(guān)系（相交、相切、相離）等，全都與頂點(diǎn)有關(guān)。 一、“四個(gè)二次型”概述 （一元）二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)a=0（一元）一次函數(shù)y=bx+c(b0)（一元）二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a0)a=0一次二項(xiàng)式bx+c(b0)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)a=0 一元一次方程bx+c=0(b0)一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0或bx+c0或y0或ax2+bx+c0（a0），就是高中一年級(jí)重點(diǎn)研究的一元二次不等式，它總攬全局，是“四個(gè)二次型”的靈魂。討論零值的一元二次函數(shù)即一元二次方程是研究“四個(gè)二次型”的關(guān)鍵所在，它直接影響著兩大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函數(shù)的零點(diǎn)；一元二次不等式的解集可看作二次函數(shù)的正、負(fù)值區(qū)間。心臟、頭腦、關(guān)鍵、主干、一句話，“四個(gè)二次型”聯(lián)系密切，把握它們的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化、相互利用，便于尋求規(guī)律，靈活運(yùn)用，使學(xué)習(xí)事半功倍。 二、二次函數(shù)的解析式 上面提到，“四個(gè)二次型”的心臟是二次三項(xiàng)式：二次函數(shù)是通過其解析式來定義的（要特別注意二次項(xiàng)系數(shù)a0）；二次函數(shù)的性質(zhì)是通過其解析式來研究的。因此，掌握二次函數(shù)首先要會(huì)求解析式，進(jìn)而才能用解析式去解決更多的問題。 y=ax2+bx+c(a0)中有三個(gè)字母系數(shù)a、b、c，確定二次函數(shù)的解析式就是確定字母a、b、c的取值。三個(gè)未知數(shù)的確定需要3個(gè)獨(dú)立的條件，其方法是待定系數(shù)法，依靠的是方程思想及解方程組。 二次函數(shù)有四種待定形式： 過三點(diǎn)A（x1,f (x1)）、B（x2,f (x2)）、C（x3,f (x3)）的二次函數(shù)可設(shè)為 f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把ABC坐標(biāo)依次代入，即令x=x1,x2,x3,得 f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)，f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)，f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2) 解之，得：a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3)，a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3)，a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2) 從而得二次函數(shù)的三點(diǎn)式為：f(x)=f(x1)/(x1-x2)(x1-x3)(x-x2)(x-x3)+f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)(x-x1)(x-x3)+f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)(x-x1)(x-x2)根據(jù)題目所給的不同條件，靈活地選用上述四種形式求解二次函數(shù)解析式，將會(huì)得心應(yīng)手。 例題講解元素與集合的關(guān)系1. 集合=，=，求實(shí)數(shù)的取值集合2. 考察所有可能的這樣拋物線，它們與坐標(biāo)軸各有三個(gè)不同的交點(diǎn)，對(duì)于每一條這樣的拋物線，過其與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)作圓證明：所有這些圓周經(jīng)過一定點(diǎn)3. 拋物線的頂點(diǎn)位于區(qū)域內(nèi)部或邊界上，求、的取值范圍4. 設(shè)=時(shí)，二次函數(shù)有最大值5，二次函數(shù)的最小值為2，且0， +=,=25求的解析式和值5. 已知01, =,的最小值為（1） 用表示；（2）求的最大值及此時(shí)的值6函數(shù)=，,1,該函數(shù)的最大值是25,求該函數(shù)取最大值時(shí)自變量的值7一幢（2）層樓的公寓有一部電梯，最多能容納1個(gè)人，現(xiàn)有1個(gè)學(xué)生同時(shí)在第一層樓乘電梯，他們中沒有兩人是住同一層樓的電梯只能停一次停在任意選擇的一層而對(duì)每一個(gè)學(xué)生而言，自已往下走一層感到一分不滿意，而往上走一層感到2分不滿意，問電梯停在哪一層，可使不滿意的總分達(dá)到最??？8已知方程，其中1，證明：方程的正根比1小，負(fù)根比 1大9若拋物線與連接兩點(diǎn)（0，1），（2，3）的線段（包括、兩點(diǎn)）有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，求的取值范圍10設(shè)2，且，證明：11定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)0時(shí)，=另一個(gè)函數(shù)=的定義域?yàn)?值域?yàn)?其中,、0在,上, =問:是否存在實(shí)數(shù),使集合恰含有兩個(gè)元素?課后練習(xí)1 已知二次函數(shù)的圖象過（1,6），（1，2）和（2,3）三點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式。 2二次函數(shù)的圖象通過點(diǎn)（2，5），且它的頂點(diǎn)坐軸為（1，8），求它的解析式 3已知二次函數(shù)的圖象過（2,0）和（3,0）兩點(diǎn)，并且它的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為125/4，求它的解析式。4已知二次函數(shù)經(jīng)過3點(diǎn)A（1/2，3/4）、B（1,3）、C（2,3），求解析式。 5當(dāng)X為何值時(shí)，函數(shù) f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2取最小值。6已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k為實(shí)數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x12+x22的最大值是：（ ） （A）19；（B）18；（C）50/9(D)不存在 7已知f (x)=x2-2x+2，在xt,t+1上的最小值為g (t)，求g (t)的表達(dá)式。 8（1）當(dāng)x2+2y2=1時(shí)，求2x+3y2的最值； （2）當(dāng)3x2+2y2=6x時(shí)，求x2+y2的最值。 課后練習(xí)答案1解法一：用標(biāo)準(zhǔn)式 圖象過三點(diǎn)（1,6）、（1，2）、（2,3） 可設(shè)y=f(x)=ax2+bx+c，且有a-b+c=6，a+b+c=2 ，4a+2b+c=3 解之得：a=1，b=2，c=5 所求二次函數(shù)為y=x2+2x-5 解法二：用三點(diǎn)式 圖象過三點(diǎn)（1，6），（1，2），（2,3） 可設(shè)y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2 a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)計(jì)算可得：a1=6/(11)(12)=1，a2=2/ (11)(12)=1，a3=3/ (21)(21)=1 f(x)=x22x5 2解：它的頂點(diǎn)坐標(biāo)已知 可設(shè)f (x)=a(x1)28 ，又函數(shù)圖象通過點(diǎn)（2，5）， a(21)28=5 ，解之，得a=3 故所求的二次函數(shù)為：y=3(x1)28 即：y=f (x)=3x26x5 評(píng)注，以頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)頂點(diǎn)式a(x-h)2+k，只剩下二次項(xiàng)系數(shù)a為待定常數(shù)，以另一條件代入得到關(guān)于a的一元一次方程求a，這比設(shè)標(biāo)準(zhǔn)式要來得簡(jiǎn)便得多。 3解：（2,0）和（3,0）是X軸上的兩點(diǎn)， x12，x23 可設(shè)y=f(x)=a(x+2)(x-3)=a(x2-x-6)=a(x-1/2)2-25/4=a(x-1/2)2-25/4a 它的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為25/4a ，25/4a=125/4，a=5 故所求的二次函數(shù)為：f (x)=5(x+2)(x-3)=5x2+5x+30 想一想：本例能否用頂點(diǎn)式來求？ 4 分析本例當(dāng)然可用標(biāo)準(zhǔn)式、三點(diǎn)式求解析式，但解方程組與求a1、a2、a3計(jì)算較繁。仔細(xì)觀察三點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)或畫個(gè)草圖幫助分析，注意到三點(diǎn)的特殊位置，則可引出如下巧解。 解法一：頂點(diǎn)式：由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，點(diǎn)B、C所連線段的中垂線x=(-1+2)/2=1/2即為圖象的對(duì)稱軸，從而點(diǎn)A（1/2，3/4）必是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，故可設(shè)頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-(1/2)2+(3/4) 把B或C的坐標(biāo)代入得：f(-1)=a(-3/2)2+(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3 解得：a=1 ，f(x)=(x-(1/2)2+3/4=x2-x+1 解法二由B、C的縱坐標(biāo)相等可知B、C兩點(diǎn)是函數(shù)y=f (x)與直線y=3的交點(diǎn)，亦即B、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程f (x)=3即f (x)-3=0的兩個(gè)根故可設(shè)零點(diǎn)式為： f (x)-3=a(x+1)(x-2)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入，有f (1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2)，即9/4=9/4a，a=1 從而f (x)=(x+1)(x-2)+3=x2-x+1 5.解：f (x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2+an)x+(a12+a22+an2) 當(dāng)x=(a1+a2+an)/n)時(shí)，f(x)有最小值。 評(píng)注：1994年全國(guó)普通高考命制了如下一個(gè)填空題，在測(cè)量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測(cè)量分別得到a1、a2、，an共n個(gè)數(shù)據(jù)。我們規(guī)定的所測(cè)物理量的“最佳近似值”a是這樣一個(gè)量：與其它近似值比較，a與各數(shù)據(jù)差的平方和最小，依此規(guī)定，從a1,a2,an推出a=讀者從5的解答中，能否悟到解決此題的靈感？ 6解：由韋達(dá)定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5 x12x22（x1x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5) =-k2-10k-6=-(k+5)2+19 如果由此得K-5時(shí)，（x12+x22）max=19，選（A），那就錯(cuò)了。為什么？已知該x1,x2是方程的兩個(gè)“實(shí)數(shù)”根，即方程必須有實(shí)數(shù)根才行，而此時(shí)方程的判別式0，即 (k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-160 解得：-4k-4/3 k=-5-4,-4/3，設(shè)f(k)=-(k+5)2+19則f(-4)=18,f(-4/3)=50/918 當(dāng)k=-4時(shí)，(x12+x22)max=18， 選（B） 評(píng)注：求二次函數(shù)最值時(shí)，必須首先考慮函數(shù)定義域。否則，審題不慎，忽略“實(shí)數(shù)”二字，就會(huì)掉進(jìn)題目設(shè)置的“陷阱”中去了。 7解：f (x)= (x-1)2+1 (1)當(dāng)t+11即t1時(shí)，g(t)=f (t)=t2-2t+2 綜合（1）、（2）、（3）得：8解：（1）由x2+2y2=1得y2=1/2(1-x2)，代入2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2)(x-(2/3)2+(13/6) 又1-x2=2y20，x21，1x1 當(dāng)x=2/3時(shí)，y=(10)/6，（2x+3y2）max=16/3； 當(dāng)x=-1時(shí)，y=0，（2x+3y2）min=2 (2)由3x2+2y2=6x，得y2=(3/2)x(2-x)，代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2 又y2=(3/2)x (2-x)0，得0x2 當(dāng)x=2，y=0時(shí)，（x2+y2）max=4；當(dāng)x=0，y=0時(shí)，(x2+y2)min=0 例題答案：1解：、分別表示函數(shù)與函數(shù)的值域由3知=3，）而受參數(shù)的影響，要進(jìn)行討論=0時(shí)，值域是符合條件0時(shí)，=是二次函數(shù)，如果0，該函數(shù)的值域?yàn)?，這時(shí)不成立如果0時(shí)，由3，,得 01綜上所述, 的可取值集合為|01。說明：參數(shù)的取值決定了函數(shù)=的類別及性質(zhì)，因而對(duì)該函數(shù)的值域有影響為了由求出的允許值范圍，必須對(duì)參數(shù)分情況討論2證明：設(shè)拋物線與軸的交點(diǎn)為（，0）、（，0）由韋達(dá)定理知0 (因?yàn)?0,則與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)),故點(diǎn)（，0）、（，0）在坐標(biāo)原點(diǎn)的兩側(cè)又因?yàn)椋上嘟幌叶ɡ淼哪娑ɡ碇?，點(diǎn)（，0）、（，0）、（0，），（0，1）在同一個(gè)圓周上，即過拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)（，0）、（，0）、（0，）的圓一定過定點(diǎn)（0，1）于是所有的這些圓周均經(jīng)過一定點(diǎn)（0，1）3解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），故 ，上式即為、的取值范圍4解：由題設(shè)=5，=25，=，所以 =30，解得 =1 （= 17舍去）由于在=1時(shí)有最大值5，故設(shè) =所以 =，因的最小值為2，故,所以從而=5解：（1）把改寫成=于是知是頂點(diǎn)為（），開口向上的拋物線又因?yàn)?,1,故當(dāng)01，即02時(shí)，的最小值為；當(dāng)1,即2時(shí)，有最小值于是（2）當(dāng)2時(shí)，的值小于0，而當(dāng)02時(shí)，=，它的最大值為（當(dāng)=1時(shí)取得），故的最大值為，此時(shí)=1說明：對(duì)于某些在給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，往往需要把頂點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)結(jié)合起來考慮6分析：限定在區(qū)間,1上的函數(shù)的最大值要考慮到在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)情況當(dāng)可取任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù)的圖象是對(duì)稱軸為開口向下的拋物線，與區(qū)間,1的位置關(guān)系決定了已知函數(shù)的單調(diào)狀況，因此要分區(qū)間討論當(dāng),1,即時(shí),最大值應(yīng)是由=25, 2=,不符合的條件可見當(dāng)1,即時(shí)，函數(shù)=，,1是增函數(shù)，可見，解之得=或=其中=不合的條件，舍去可見1=1=當(dāng)，即時(shí),函數(shù)=是,1是減函數(shù),可見,解之得=或=其中=不合的條件,舍去,由此知= 綜上所述,當(dāng)=或=時(shí), 函數(shù)有最大值25說明：由點(diǎn)與區(qū)間,1的位置關(guān)系引起的分類討論是“形”對(duì)“數(shù)”的引導(dǎo)作用本題中雖然只是求函數(shù)取最大值時(shí)的自變量的值，沒有問的值，但這個(gè)值與值有直接關(guān)系，所以要先求再求7解：設(shè)電梯停在第層，則不滿意的總分為=（122）2（12）=,所以當(dāng)=時(shí)，最小，其中表示最接近于的整數(shù)例如,故當(dāng)電梯停在時(shí)，不滿意總分最小8證明：原方程整理后，得=0，令=，則是開口向上的拋物線，且，故此二次函數(shù)=0有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根要證明正根比1小，只須證，要證明負(fù)根比 1大，只須證0因?yàn)?從而命題得證9解：易知過兩點(diǎn)（0，1）、（2，3）的直線方程為，而拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)就是方程在區(qū)間0，2上有兩個(gè)有兩個(gè)不等的實(shí)根令則 解得的范圍為1說明：利用二次函數(shù)來研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段10證明：令,則原不等式為,即=0，令=,則只需證明0因，而，所以,從而0，與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)易知這兩個(gè)交點(diǎn)為，下證 ，只需證,即,由于，所以，從而必有0解法二：只需證明0，而，因此只需證而，由可證得說明：通過構(gòu)造二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)來證明一些不等式問題，往往會(huì)使問題簡(jiǎn)化11分析：是以軸為對(duì)稱軸由=的圖象平移所形成的拋物線系對(duì)給定的它表示一條拋物線，條件恰含有兩個(gè)元素的意思是函數(shù)=，,的圖象與拋物線恰有兩個(gè)交點(diǎn)首先要弄清楚=，,，進(jìn)而作出它的圖象容易求出奇函數(shù)=在0時(shí)的解析式是=即 =函數(shù)=的定義域?yàn)?值域?yàn)?其中,、0，這表明 可見、同號(hào)也就是說=，,的圖象在第一或第三象限內(nèi)根據(jù)=（,以及的圖象可知，函數(shù)的圖象如所示曲線的一部分 值域與函數(shù)的單調(diào)狀況有關(guān)，又與定義域有關(guān)如果只考慮02或20兩種情況，不能準(zhǔn)確地用,、表示出值域區(qū)間的端點(diǎn)，因此要把區(qū)間（0，2），（2，0）再分細(xì)一些，由圖中看出，當(dāng)、0時(shí)，考慮以下三種情況較好01，01，12如果01，那么1但是（0，1時(shí)，1,這與的值域區(qū)間的右端點(diǎn)大于1矛盾可見不出現(xiàn)01的情形如果12，由圖看出是減函數(shù)，可見整理得 ，考慮到12的條件，解之得完全類似地，考慮到10，210，21三種情況后,可以在21的情況下通過值域條件得出 ，這就得到了函數(shù)對(duì)于某個(gè)，拋物線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一個(gè)交點(diǎn)在第一象限，一個(gè)交點(diǎn)在第三象限因此，應(yīng)當(dāng)使方程，在1，內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，并且使方程，在內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根問題歸結(jié)為求，使由（1）得，方程在內(nèi)恰有一根，設(shè)，則即，由（2）得，即，2易證，拋物線與函數(shù)圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)（1,1）和（ 綜上所述：題目條件下的實(shí)數(shù)2說明：解題過程可分為“求函數(shù)”，“求函數(shù)”，“求”三個(gè)階段求函數(shù)的關(guān)鍵步驟是求的值運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法和分類討論的運(yùn)算過程，最終把求的問題化歸到求一次方程和二次方程的一定范圍內(nèi)有解的問題 可以看出，當(dāng)(2,0)時(shí),拋物線與函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)時(shí),在第三象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)