2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章坐標(biāo)系2.1極坐標(biāo)系的概念2.2點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化學(xué)案北師大版.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章坐標(biāo)系2.1極坐標(biāo)系的概念2.2點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化學(xué)案北師大版 1．極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系： 在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫作極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫作極軸；選定一個(gè)單位長度和角的正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系． (2)點(diǎn)的極坐標(biāo)：對于平面上任意一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長，用θ表示以O(shè)x為始邊，OM為終邊的角度，ρ叫作點(diǎn)M的極徑，θ叫作點(diǎn)M的極角，有序?qū)崝?shù)對(ρ，θ)就叫作點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)． ①特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值； ②點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系：平面內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有無數(shù)對，當(dāng)k∈Z時(shí)，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一個(gè)點(diǎn)，如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π或者－π<θ≤π，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就一一對應(yīng)了． 2．點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 (1)互化的前提條件： ①極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合； ②極軸與x軸的正半軸重合； ③兩種坐標(biāo)系取相同的長度單位． (2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化： ①將點(diǎn)M的極坐標(biāo)(ρ，θ)化為直角坐標(biāo)(x，y)的關(guān)系式為. ②將點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(ρ，θ)的關(guān)系式為. 1．極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 提示：區(qū)別：平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景，而極坐標(biāo)以角和距離為背景． 聯(lián)系：二者都是平面坐標(biāo)系，用來研究平面內(nèi)點(diǎn)與距離等有關(guān)問題． 2．點(diǎn)M(ρ，θ)關(guān)于極軸、極點(diǎn)以及過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)各為什么？ 提示：(ρ，2π－θ)，(ρ，π＋θ)，(ρ，π－θ)． 3．把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí)，表示方法唯一嗎？ 提示：通常有不同的表示法．(極角相差2π的整數(shù)倍) [對應(yīng)學(xué)生用書P6] 由極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置 [例1]　在極坐標(biāo)系中，畫出點(diǎn)A，B，C，D. [思路點(diǎn)撥]　本題考查極坐標(biāo)系以及極坐標(biāo)的概念，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想，解答此題需要先建立極坐標(biāo)系，再作出極角的終邊，然后以極點(diǎn)O為圓心，極徑為半徑分別畫弧，從而得到點(diǎn)的位置． [精解詳析]　在極坐標(biāo)系中先作出線，再在線上截取|OA|＝1，這樣可得到點(diǎn)A.同樣可作出點(diǎn)B，C，D，如圖所示． 由極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置的步驟 (1)取定極點(diǎn)O； (2)作方向?yàn)樗较蛴业纳渚€Ox為極軸； (3)以極點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以極軸Ox為始邊，通常按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)極軸Ox確定出極角的終邊； (4)以極點(diǎn)O為圓心，以極徑為半徑畫弧，弧與極角終邊的交點(diǎn)即是所求點(diǎn)的位置． 1．在極坐標(biāo)系中，作出以下各點(diǎn)：A(4,0)，B，C，D；結(jié)合圖形判斷點(diǎn)B，D的位置是否具有對稱性；并求出B，D關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)．(限定ρ≥0，θ∈[0,2π)) 解：如圖，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)分別是唯一確定的． 由圖形知B，D兩點(diǎn)關(guān)于極軸對稱，且B，D關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，. 化極坐標(biāo)為直角坐標(biāo) [例2]　已知A，B，將A，B坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，并求A，B兩點(diǎn)間的距離． [思路點(diǎn)撥]　本題考查如何將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，解答此題需要利用互化公式先將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式得結(jié)果． [精解詳析]　將A，B由極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)， 對于點(diǎn)A，有x＝3cos＝， y＝3sin＝－，∴A. 對于點(diǎn)B，有x＝1cos＝－，y＝1sin ＝， ∴B(－，)． ∴|AB|＝ ＝＝4. 1．將極坐標(biāo)M(ρ，θ)化為直角坐標(biāo)(x，y)，只需根據(jù)公式：即可得到； 2．利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的直角坐標(biāo)問題求解． 本例中如何由極坐標(biāo)直接求A，B兩點(diǎn)間的距離？ 解：根據(jù)M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，則由余弦定理得： |MN|＝， 所以|AB|＝ ＝4. 化直角坐標(biāo)為極坐標(biāo) [例3]　分別將下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(ρ>0，0≤θ<2π)． (1)(－1,1)，(2)(－，－1)． [思路點(diǎn)撥]　本題考查如何將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，同時(shí)考查三角函數(shù)中由值求角問題，解答此題利用互化公式即可，但要注意點(diǎn)所在象限． [精解詳析]　(1)∵ρ＝ ＝， tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 又點(diǎn)(－1,1)在第二象限， ∴θ＝. ∴直角坐標(biāo)(－1,1)化為極坐標(biāo)為. (2)ρ＝＝2， tan θ＝＝，θ∈[0,2π)， ∵點(diǎn)(－，－1)在第三象限， ∴θ＝π. ∴直角坐標(biāo)(－，－1)化為極坐標(biāo)為. 將點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(ρ，θ)時(shí)，運(yùn)用公式即可，在[0,2π)范圍內(nèi)，由tan θ＝(x≠0)求θ時(shí)，要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號(hào)特征，判斷出點(diǎn)所在象限，如果允許θ∈R，再根據(jù)終邊相同的角的意義，表示為θ＋2kπ，k∈Z即可． 2．將下列各點(diǎn)由直角坐標(biāo)化為極徑ρ是正值，極角在0到2π之間的極坐標(biāo)． (1)(3，)；(2)(－2，－2)． 解：(1)ρ＝＝2，tan θ＝＝， 又點(diǎn)(3，)在第一象限，所以θ＝. 所以點(diǎn)(3，)的極坐標(biāo)為2，. (2)ρ＝＝4， tan θ＝＝＝， 又點(diǎn)(－2，－2)在第三象限，所以θ＝. 所以點(diǎn)(－2，－2)的極坐標(biāo)為. 本課時(shí)?？疾闃O坐標(biāo)的確定及點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化，特別是直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)常與三角知識(shí)交匯命題，更成為命題專家的新寵． [考題印證] 點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，－)，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(　　) A.　　　　　　 B. C. D. [命題立意]　本題主要考查點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)　的互化，同時(shí)還考查了三角知識(shí)及運(yùn)算解題能力． [自主嘗試] ρ＝＝2，tan θ＝＝－， 又點(diǎn)(1，－)在第四象限，所以O(shè)P與x軸所成的角為，故點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)為，排除A，B選項(xiàng)．又－π＋2π＝π，所以極坐標(biāo)所表示的點(diǎn)在第二象限，故D不正確，而－＋2π＝π. [答案]　C [對應(yīng)學(xué)生用書P8] 一、選擇題 1．點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(－，)，那么它的極坐標(biāo)可表示為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B　ρ＝＝2， tan θ＝＝－1， ∵點(diǎn)P在第二象限， ∴最小正角θ＝. 2．在極坐標(biāo)系中與點(diǎn)A關(guān)于極軸所在的直線對稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　與點(diǎn)A關(guān)于極軸所在直線的對稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)可以表示為(k∈Z)，這時(shí)只有選項(xiàng)B滿足條件． 3．在極坐標(biāo)系中，若等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是A，B，那么可能是頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　如圖，由題設(shè)，可知A，B兩點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)O對稱，即O是AB的中點(diǎn)． 又|AB|＝4，△ABC為正三角形， ∴|OC|＝2，∠AOC＝，點(diǎn)C的極角θ＝＋＝或＋＝， 即點(diǎn)C的極坐標(biāo)為或. 4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，則點(diǎn)M1(ρ1，θ1)與點(diǎn)M2(ρ2，θ2)的位置關(guān)系是(　　) A．關(guān)于極軸所在直線對稱 B．關(guān)于極點(diǎn)對稱 C．關(guān)于過極點(diǎn)垂直于極軸的直線對稱 D．兩點(diǎn)重合 解析：選A　因?yàn)辄c(diǎn)(ρ，θ)關(guān)于極軸所在直線對稱的點(diǎn)為(－ρ，π－θ)．由此可知點(diǎn)(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)滿足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是關(guān)于極軸所在直線對稱． 二、填空題 5．將極軸Ox繞極點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到射線OP，在OP上取點(diǎn)M，使|OM|＝2，則ρ>0，θ∈[0,2π)時(shí)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為________，它關(guān)于極軸的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為________(ρ>0，θ∈[0,2π))． 解析：ρ＝|OM|＝2， 與OP終邊相同的角為－＋2kπ(k∈Z)． ∵θ∈[0,2π)，∴k＝1，θ＝.∴M. ∴M關(guān)于極軸的對稱點(diǎn)為(2，)． 答案：　 6．點(diǎn)A在條件： (1)ρ>0，θ∈(－2π，0)下的極坐標(biāo)是________； (2)ρ<0，θ∈(2π，4π)下的極坐標(biāo)是________． 解析：(1)當(dāng)ρ>0時(shí)，點(diǎn)A的極坐標(biāo)形式為(k∈Z)， ∵θ∈(－2π，0)．令k＝－1，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，符合題意． (2)當(dāng)ρ<0時(shí)，的極坐標(biāo)的一般形式是(k∈Z)． ∵θ∈(2π，4π)，當(dāng)k＝1時(shí)，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，符合題意． 答案：　(2) 7．直線l過點(diǎn)A，B，則直線l與極軸所在直線的夾角等于________． 解析：如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個(gè)銳角)，然后根據(jù)點(diǎn)A，B的位置分析夾角大?。? 因?yàn)閨AO|＝|BO|＝7，∠AOB＝－＝， 所以∠OAB＝＝. 所以∠ACO＝π－－＝. 答案： 8．已知兩點(diǎn)的極坐標(biāo)是A，B，則AB中點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)是________． 解析：畫出示意圖，A，B與極點(diǎn)O共線， ∴ρ＝(3－8)＝－， θ＝. 故AB中點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為. 答案： 三、解答題 9．設(shè)有一顆彗星，圍繞地球沿一拋物線軌道運(yùn)行，地球恰好位于該拋物線的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球30萬千米時(shí)，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線對稱軸的夾角為30，試建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出彗星此時(shí)的極坐標(biāo)． 解：如圖所示，建立極坐標(biāo)系，使極點(diǎn)O位于拋物線的焦點(diǎn)處，極軸Ox過拋物線的對稱軸，由題設(shè)可得下列4種情形： ①當(dāng)θ＝30時(shí)，ρ＝30(萬千米)； ②當(dāng)θ＝150時(shí)，ρ＝30(萬千米)； ③當(dāng)θ＝210時(shí)，ρ＝30(萬千米)； ④當(dāng)θ＝330時(shí)，ρ＝30(萬千米)． ∴彗星此時(shí)的極坐標(biāo)有4種情形：(30,30)，(30,150)，(30,210)，(30,330)． 10．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo)分別為和(3,0)，O為極點(diǎn)． (1)求|AB|；(2)求S△AOB. 解：|AB|＝ ＝ ＝＝. S△AOB＝|OA||OB|sin ∠AOB ＝23sin ＝. 11．在極坐標(biāo)系中，如果A，B為等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)． 解：法一：對于A有ρ＝2，θ＝， ∴x＝ρcos θ＝2cos＝， y＝ρsin θ＝2sin＝. ∴A(，)． 對于B有ρ＝2，θ＝π. ∴x＝2cos＝－， y＝2sin＝－. ∴B(－，－)． 設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由于△ABC為等邊三角形，故有|AB|＝|BC|＝|AC|. ∴有(x＋)2＋(y＋)2＝(x－)2＋(y－)2 ＝(＋)2＋(＋)2. ∴有 解之得或 ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(，－)或(－，)． ∴ρ＝＝2，tan θ＝＝－1. ∴θ＝或θ＝. ∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為或. 法二：設(shè)C點(diǎn)的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(0≤θ<2π，ρ>0)． 則有|AB|＝|BC|＝|AC|. ∴ 解之得或 ∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為，.