2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 兩角和與差的余弦教案 理.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 兩角和與差的余弦教案 理教材分析這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)這些內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)、電功學(xué)、力學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)與制造等方面有著廣泛的應(yīng)用,因此要求學(xué)生切實(shí)學(xué)好,并能熟練的應(yīng)用,以便為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)“兩角差的余弦公式”在教科書(shū)中采用了一種易于教學(xué)的推導(dǎo)方法,即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線,推出,均為銳角時(shí)成立對(duì)于,為任意角的情況,教材運(yùn)用向量的知識(shí)進(jìn)行了探究同時(shí),補(bǔ)充了用向量的方法推導(dǎo)過(guò)程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處,這樣,兩角差的余弦公式便具有了一般性這節(jié)課的重點(diǎn)是兩角差的余弦公式的推導(dǎo),難點(diǎn)是把公式中的,角推廣到任意角教學(xué)目標(biāo)1. 通過(guò)對(duì)兩角差的余弦公式的探究過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)交流,探索,發(fā)現(xiàn)和獲得新知識(shí)的能力2. 通過(guò)兩角差的余弦公式的推導(dǎo),體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和初步的應(yīng)用過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和勇于探索的科學(xué)精神3. 能正確運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以問(wèn)題情景中的問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn),利用單位圓中的三角函數(shù)線和平面向量的數(shù)量積的概念推導(dǎo)出結(jié)論,并不斷補(bǔ)充推導(dǎo)過(guò)程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處推導(dǎo)過(guò)程采用了從特殊到一般逐層遞進(jìn)的思維方法,學(xué)生易于接受整個(gè)過(guò)程始終結(jié)合單位圓,以強(qiáng)調(diào)其直觀性對(duì)于公式中的和角要強(qiáng)調(diào)其任意性數(shù)學(xué)中要注意運(yùn)用啟發(fā)式,切忌把結(jié)果直接告訴學(xué)生,盡量讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考和探索,自己發(fā)現(xiàn)公式,使學(xué)生充分體會(huì)到成功的喜悅,進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性,從而使其自覺(jué)主動(dòng)地學(xué)習(xí)教學(xué)過(guò)程一、問(wèn)題情景我們已經(jīng)學(xué)過(guò)誘導(dǎo)公式,如可以這樣來(lái)認(rèn)識(shí)以上公式:把角轉(zhuǎn)動(dòng),則所得角的正弦、余弦分別等于cos和sin把角轉(zhuǎn)動(dòng),則所得角的正弦、余弦分別等于sin和cos由此,使我們想到一個(gè)一般性的問(wèn)題:如果把角的終邊轉(zhuǎn)動(dòng)(度或弧度),那么所得角的正弦、余弦如何用或的正弦、余弦來(lái)表示呢?出示一個(gè)實(shí)際問(wèn)題:右圖41-1是架在小河邊的一座吊橋的示意圖吊橋長(zhǎng)AB(m),A是支點(diǎn),在河的左岸點(diǎn)C在河的右岸,地勢(shì)比A點(diǎn)高AD表示水平線,DAC,為定值CAB,隨吊橋的起降而變化在吊橋起降的過(guò)程中,如何確定點(diǎn)B離開(kāi)水平線AD的高度BE?由圖可知BEasin()我們的問(wèn)題是:如何用和的三角函數(shù)來(lái)表示sin()如果為銳角,你能由,的正弦、余弦求出sin()嗎?引導(dǎo)學(xué)生分析:事實(shí)上,我們?cè)谘芯咳呛瘮?shù)的變形或計(jì)算時(shí),經(jīng)常提出這樣的問(wèn)題:能否用,的三角函數(shù)去表示的三角函數(shù)?為了解決這類(lèi)問(wèn)題,本節(jié)首先來(lái)探索的余弦與,的函數(shù)關(guān)系式更一般地說(shuō),對(duì)于任意角,能不能用,的三角函數(shù)值把或的三角函數(shù)值表示出來(lái)呢?二、建立模型1. 探究(1)猜想:cos()coscos(2)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)特例否定這一猜想例如,60,30,可以發(fā)現(xiàn),左邊cos(6030)cos30,右邊cos60cos30顯然,對(duì)任意角,cos()coscos不成立(3)再引導(dǎo)學(xué)生從道理上否定這一猜想不妨設(shè),均為銳角,則,則cos()cos又cos,所以cos()coscos2. 分析討論(1)如何把,角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系?要獲得相應(yīng)的表達(dá)式需要哪些已學(xué)過(guò)的知識(shí)?(2)由三角函數(shù)線的定義可知,這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線段有關(guān)系,那么,這些有向線段之間是否有關(guān)系呢?3. 教師明晰通過(guò)學(xué)生的討論,教師引導(dǎo)學(xué)生作出以下推理:設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1,POP1,則POx過(guò)點(diǎn)P作PMx軸,垂足為M,那么,OM即為角的余弦線,這里要用表示,的正弦、余弦的線段來(lái)表示OM過(guò)點(diǎn)P作PAOP1,垂足為A,過(guò)點(diǎn)A作ABx軸,垂足為B,再過(guò)點(diǎn)P作PCAB,垂足為C,那么cosOA,sinAP,并且PACP1Ox,于是OMOBBMOBCPOAcosAPsincoscossinsin4. 提出問(wèn)題,組織學(xué)生討論(1)當(dāng),為任意角時(shí),上述推導(dǎo)過(guò)程還能成立嗎?若要說(shuō)明此結(jié)果是否對(duì)任意角,都成立,還要做不少推廣工作,可引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考事實(shí)上,根據(jù)誘導(dǎo)公式,總可以把,的三角函數(shù)化為(0,)內(nèi)的三角函數(shù),再根據(jù)cos()cos,把的余弦,化為銳角的余弦因此,三、解釋?xiě)?yīng)用例題1. 求cos15及cos105的值分析:本題關(guān)鍵是將15角分成45與30的差或者分解成60與45的差,再利用兩角差的余弦公式即可求解對(duì)于cos105,可進(jìn)行類(lèi)似地處理,cos105cos(6045)2. 已知sin,(,),cos,且是第三象限的角,求cos()的值分析:觀察公式C與本題已知條件應(yīng)先計(jì)算出cos,cos,再代入公式求值求cos,cos的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,并注意,的取值范圍來(lái)求解練習(xí)1. (1)求sin75的值(2)求cos75cos105sin75sin105的值(3)化簡(jiǎn)cos(AB)cosBsin(AB)sinB(4)求cos215sin215的值分析:對(duì)于(1),可先用誘導(dǎo)公式化sin75為cos15,再用例題1中的結(jié)果即可對(duì)于(2),逆向使用公式C-,即可將原式化為cos30對(duì)于(3),可以把AB角看成一個(gè)整體,去替換C-中的角,用B角替換角2. (1)求證:cos() sin(2)已知sin,且為第二象限角,求cos()的值(3)已知sin(30),60150,求cos分析:(1)和(差)公式可看成誘導(dǎo)公式的推廣,誘導(dǎo)公式是和(差)公式的特例(2)在三角函數(shù)求值問(wèn)題中,變角是一種常用的技巧,(30)30,這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值3. 化簡(jiǎn)cos(36)cos(54)sin(36)sin(54)分析:這里可以把角36與54均看成單角,進(jìn)而直接運(yùn)用公式C-,不必將各式展開(kāi)后再計(jì)算分析:本題是一道綜合題,由于cos()coscossinsin,欲求cos()的值,只須將已知兩式平方相加求出coscossinsin即可四、拓展延伸1. 由任意角三角函數(shù)定義,可知角,的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)均可用,的三角函數(shù)表示,即角與,兩向量的夾角有關(guān),那么能否用向量的有關(guān)知識(shí)來(lái)推導(dǎo)公式C-呢?教師引導(dǎo)學(xué)生分析:在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O,以O(shè)x為始邊作角,它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A,B,則(cos,sin),(cos,sin)由向量數(shù)量積的概念,有cos()cos()由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有coscossinsin于是,有cos()coscossinsin依據(jù)向量數(shù)量積的概念,角必須符合,即在此條件下,以上推導(dǎo)才是正確的由于,都是任意角,也是任意角,因此,須研究為任意角時(shí),以上推導(dǎo)是否正確當(dāng)為任意角時(shí),由誘導(dǎo)公式總可以找到一個(gè)角,0,2),使coscos()若0,則coscos();若,2,則20,且cos(2)coscos()于是,對(duì)于任意角,都有2. 教師提出進(jìn)一步拓展性問(wèn)題:本節(jié)問(wèn)題情景中,涉及如何用sin,sin,cos,cos來(lái)表示sin()的問(wèn)題,試探索與研究sin()的表達(dá)式點(diǎn)評(píng)這篇案例設(shè)計(jì)完整,思路清晰案例首先通過(guò)問(wèn)題情景闡述了兩角和、差、三角函數(shù)公式的產(chǎn)生背景,然后通過(guò)組織學(xué)生分析,討論,并借助于單位圓中的三角函數(shù)線對(duì),為銳角時(shí)給出證明,進(jìn)而用向量知識(shí)探究任意角的情形這些均體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從特殊到一般的思想方法,符合新課改的基本理念同時(shí),例題與練習(xí)由淺入深,完整,全面總之,關(guān)注學(xué)生的已有基礎(chǔ),充分利用歸納、類(lèi)比等方法激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望,建立C模型這種設(shè)計(jì)思路有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高,同時(shí)及時(shí)鞏固,應(yīng)用,拓展延伸,體現(xiàn)了對(duì)傳統(tǒng)的中國(guó)式數(shù)學(xué)教學(xué)精華的繼承如果能在結(jié)束時(shí)再創(chuàng)設(shè)引導(dǎo)學(xué)生自我小結(jié)、反思的環(huán)節(jié),可能會(huì)錦上添花- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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