2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.2 曲線的極坐標方程教案 蘇教版選修4-4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.2 曲線的極坐標方程教案 蘇教版選修4-442.1曲線的極坐標方程的意義課標解讀1.理解曲線的極坐標方程的意義2.掌握求曲線的極坐標方程的基本方法和一般步驟3.掌握曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化.1曲線的極坐標方程一般地，如果一條曲線上任意一點都有一個極坐標適合方程f(，)0；并且，極坐標適合方程f(，)0的點都在曲線上那么這個方程稱為這條曲線的極坐標方程，這條曲線稱為這個極坐標方程的曲線2求曲線的極坐標方程的基本步驟(1)建系(建立適當?shù)臉O坐標系)；(2)設(shè)點(在曲線上任取一點P(，)，使點與坐標對應(yīng))；(3)列式(根據(jù)曲線上的點所滿足的條件列出等式)；(4)化簡(用極坐標，表示上述等式，化簡得極坐標方程)；(5)證明(證明所得的方程是曲線的極坐標方程)3直角坐標方程與極坐標方程的互化或1曲線的極坐標方程與直角坐標方程的含義有什么不同？【提示】由于平面上點的極坐標的表示形式不惟一，即(，)，(，2)，(，)，(，)都表示同一點的坐標，這與點的直角坐標的惟一性明顯不同所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可例如對于極坐標方程，點M(，)可以表示為(，2)或(，2)或(，)等多種形式，其中，只有(，)的極坐標滿足方程.2在極坐標系內(nèi)，如何確定某一個點P是否在某曲線C上？【提示】在直角坐標系內(nèi)，曲線上每一點的坐標一定適合它的方程，可是在極坐標系內(nèi)，曲線上一點的所有坐標不一定都適合方程，所以在極坐標系內(nèi)，確定某一個點P是否在某一曲線C上，只需判斷點P的極坐標中是否有一個坐標適合曲線C的方程即可求曲線的極坐標方程(1)求過點A(1,0)且傾斜角為的直線的極坐標方程；(2)在極坐標系中，求半徑為r，圓心為C(r，)的圓的極坐標方程【自主解答】(1)如圖，設(shè)M(，)(0)為直線上除點A以外的任意一點，則xAM，OAM，OMA，在OAM中，由正弦定理得，即，所以sin()，即(sincos cossin )，化簡，得(cos sin )1，經(jīng)檢驗點A(1,0)的坐標適合上述方程，所以滿足條件的直線的極坐標方程為(cos sin )1.(2)由題意知，圓經(jīng)過極點O，設(shè)OA為其一條直徑，設(shè)M(，)為圓上除點O，A以外的任意一點，如圖，則OA2r，連接AM，則OMMA，在RtOAM中，OMOAcosAOM，即2rcos()，即2rsin ，經(jīng)驗證，點O(0,0)，A(2r，)的坐標皆滿足上式，所以滿足條件的圓的極坐標方程為2rsin .(1)求從極點出發(fā)，傾斜角為的射線的極坐標方程(2)在極坐標平面上，求圓心為A，半徑為5的圓的方程【解】(1)設(shè)M(，)是所求射線上的任意一點，則射線OM就是集合.所以所求射線的極坐標方程是(0)(2)在圓上任取一點P(，)，那么，在AOP中，OA8，AP5，AOP或.由余弦定理得5282228cos()，即216cos390為所求圓的極坐標方程.直角坐標方程與極坐標方程的互化進行直角坐標方程與極坐標方程的互化(1)y24x；(2)y2x22x10；(3)；(4)cos21；(5)2cos 24；(6).【自主解答】(1)將xcos ，ysin 代入y24x，得(sin )24cos ，化簡得sin24cos .(2)將xcos ，ysin 代入y2x22x10得(sin )2(cos )22cos 10，化簡得22cos 10.(3)tan .tan，化簡得yx(x0)(4)cos21.1即cos 2.x2，化簡得y24(x1)(5)2cos 24，2(cos2sin2)4，即2cos22sin24，x2y24.(6)，2cos 1，2x1，化簡得3x24y22x10.進行直角坐標方程與極坐標方程的互化(1)yx；(2)x2y21；(3)cos 2；(4)2cos .【解】(1)將xcos ，ysin 代入yx得sin cos ，從而.(2)將xcos ，ysin 代入x2y21，得2cos22sin21，化簡，得2.(3)cos 2，x2，是過點(2,0)且垂直于x軸的直線(4)2cos ，22cos ，x2y22x0，即 (x1)2y21.故曲線是圓心在(1,0)，半徑為1的圓.極坐標方程的應(yīng)用已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為cos 3，4cos (0,0)，求曲線C1與C2交點的極坐標【思路探究】聯(lián)立兩極坐標方程求解、即為交點的極坐標【自主解答】聯(lián)立方程組得即4cos23，cos .又0，0，.將代入方程組，得2，C1與C2交點的極坐標為(2，)解決極坐標系中曲線問題大致有兩種思路：化方程為直角坐標方程再處理；根據(jù)、的幾何意義，數(shù)形結(jié)合在以O(shè)為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是cos()3和sin28cos ，直線l與曲線C交于點A、B，求線段AB的長【解】直線l與曲線C的直角坐標方程分別是xy6和y28x.解方程組得或設(shè)A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.(教材第32頁習(xí)題4.2第5題)將下列極坐標方程化為直角坐標方程：(1)sin()3；(2)5sin()；(3)2cos 216；(4).(xx泰州模擬)若曲線的極坐標方程為2sin 4cos ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為_【命題意圖】本題主要考查曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化【解析】2sin 4cos ，22sin 4cos ，x2y22y4x，即x2y22y4x0.【答案】x2y22y4x01在極坐標系中有如下三個結(jié)論：點P在曲線C上，則點P的極坐標滿足C的極坐標方程；tan 1(R)和(R)表示同一條曲線；1和1表示同一條曲線其中正確的命題是_(填寫相應(yīng)的序號)【解析】在極坐標系中，曲線上的點的極坐標中必有滿足曲線方程的坐標，但不一定所有坐標都滿足極坐標方程，錯誤；tan 1(R)和 (R)均表示經(jīng)過極點傾斜角為的直線，正確；1和1均表示以極點為圓心，1為半徑的圓，正確【答案】2在極坐標系中，過點P(3，)且垂直于極軸的直線方程為_【解析】設(shè)直線與極軸的交點為A，則OAOPcos ，又設(shè)直線上任意一點M(，)，則OMcos OA，即cos .【答案】cos 3極坐標方程1表示_【解析】由1得21，即x2y21，故表示圓【答案】圓4在極坐標系中，圓2sin 的圓心的極坐標是_【解析】由2sin 得22sin ，化成直角坐標方程為x2y22y，化成標準方程為x2(y1)21，圓心坐標為(0，1)，其對應(yīng)的極坐標為(1，)【答案】(1，)1將下列曲線的直角坐標方程化為極坐標方程：(1)射線yx(x0)；(2)圓x2y22ax0(a0)【解】(1)將xcos ，ysin 代入yx，得sin cos ，tan ，或.又x0，cos 0，射線yx(x0)的極坐標方程為(0)(2)將xcos ，ysin 代入x2y22ax0，得2cos22sin22acos 0，即(2acos )0，2acos ，圓x2y22ax0(a0)的極坐標方程為2acos .2分別將下列極坐標方程化為直角坐標方程：(1)；(2)2tan .【解】(1)由cos 5，得x5.(2)x2y2(x0)，即x(x2y2)y0(x0)又在極坐標方程2tan 中，極點(0,0)也滿足方程，即曲線過原點，所以直角坐標方程是x(x2y2)y0.3已知曲線C1的極坐標方程為6cos ，曲線C2的極坐標方程為(R)，曲線C1，C2相交于A，B兩點(1)把曲線C1，C2的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程；(2)求弦AB的長度【解】(1)曲線C2：(R)表示直線yx；曲線C1：6cos 化為直角坐標方程，即x2y26x，即(x3)2y29.(2)因為圓心C1(3,0)到直線的距離d，r3，所以弦長AB3.4求點A(2，)到直線l：sin()2的距離【解】A(2，)的直角坐標為(1，)，l：sin()2，(sin cos )2.即： xy40.故A(1，)到l：xy40的距離為3.5在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系曲線C的極坐標方程為cos1，M、N分別為C與x軸，y軸的交點(1)寫出C的直角坐標方程，并求M、N的極坐標；(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程【解】(1)由cos()1得(cos sin )1，即xy2，當0時，2，所以M(2,0)當時，所以N(，)(2)M的直角坐標為(2,0)，N的直角坐標為(0，)P的直角坐標為(1，)P的極坐標為(，)所以直線OP的極坐標方程為(R)6在平面直角坐標系中，已知點A(3,0)，P是圓x2y21上的一個動點，且AOP的平分線交PA于Q點，求Q點的軌跡方程【解】以圓心O為極點，x軸正方向為極軸，建立極坐標系，設(shè)Q(，)，P(1,2)因為SOAQSOQPSOAP.即3sin 1sin 31sin 2.整理得：cos .7(xx南京質(zhì)檢)在極坐標系中，圓C：10cos 和直線l：3cos 4sin 300相交于A、B兩點，求線段AB的長【解】分別將圓C和直線l的極坐標方程化為直角坐標方程：圓C：x2y210x，即(x5)2y225，圓心C(5,0)；直線l：3x4y300，因為圓心C到直線l的距離d3，所以AB28.教師備選8在極坐標系中，P是曲線12sin 上的動點，Q是曲線12cos()上的動點，試求PQ的最大值【解】12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos()，212(cos cossin sin)，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236.PQ的最大值為6618.42.2常見曲線的極坐標方程第1課時直線和圓的極坐標方程課標解讀1.會求極坐標系中直線和圓的極坐標方程2.進一步體會求簡單曲線的極坐標方程的基本方法3.進一步體會極坐標的特點，感受極坐標方程的美.1直線的極坐標方程若直線l經(jīng)過點M(0，0)，且直線l的傾斜角為，則此直線的極坐標方程為sin()0sin(0)幾種常見直線的極坐標方程：圖4212圓的極坐標方程若圓心的坐標為M(0，0)，圓的半徑為r，則圓的極坐標方程為220cos(0)r20.幾種常見圓的極坐標方程圖4221求直線和圓的極坐標方程的關(guān)鍵是什么？【提示】求直線和圓的極坐標方程關(guān)鍵是將已知條件表示成和之間的關(guān)系式這一過程需要用到解三角形的知識用極角和極徑表示三角形的內(nèi)角和邊是解決這個問題的一個難點直線和圓的極坐標方程也可以用直角坐標方程轉(zhuǎn)化而來2直角坐標與極坐標互化時有哪些注意事項？【提示】(1)由直角坐標求極坐標時，理論上不是惟一的，但一般約定只在規(guī)定范圍內(nèi)求值；(2)由直角坐標方程化為極坐標方程，最后要化簡；(3)由極坐標方程化為直角坐標方程時要注意變形的等價性，通?？傄萌コ朔匠痰膬啥?求直線的極坐標方程求：(1)過A且平行于極軸的直線；(2)過A且和極軸成的直線【自主解答】(1)如圖1所示，在所求直線上任意取點M(，)，過M作MHOx于H，連OM.A，MH2sin，在RtOMH中，MHOMsin ，即sin ，所以，過A平行于極軸的直線方程為sin . (2)如圖2所示，在所求直線上任取一點M(，)，A，OA3，AOB，由已知ABx，所以O(shè)AB，OAM.又OMAMBx，在MOA中，根據(jù)正弦定理得.sinsin.將sin展開，化簡上面的方程，可得(cos sin ).所以，過A且和極軸成的直線方程為(cos sin ).設(shè)P(2，)，直線l過P點且傾斜角為，求直線l的極坐標方程【解】如圖所示，設(shè)M(，)(0)為直線l上除P點外的任意一點，極點為O，連接OM，OP，該直線交Ox于點A，則有OM，OP2，MOP|，OPM，所以O(shè)McosMOPOP，即cos|2，即cos()2，顯然點P也在這條直線上故所求直線的極坐標方程為cos()2.求圓的極坐標方程(1)求以B(3，)為圓心，3為半徑的圓(2)求以極點和點N所連線段為直徑的圓的極坐標方程【自主解答】(1)圓心為B(3，)，半徑為3.所求圓的極坐標方程為6sin .(2)如圖，設(shè)M(，)為圓上任一點，則有ONcosNOMOM，即2cos就是所求圓的極坐標方程求以C(4,0)為圓心，半徑等于4的圓的極坐標方程【解】如圖所示，由題設(shè)可知，這個圓經(jīng)過極點，圓心在極軸上，設(shè)圓與極軸的另一個交點是A，在圓上任取一點P(，)，連接OP，PA，在RtOPA中，OA8，OP，AOP，OAcos ，即8cos ，即8cos 就是圓C的極坐標方程.極坐標的應(yīng)用在極坐標系中，已知圓2cos 與直線3cos 4sin a0相切，求實數(shù)a的值【思路探究】將圓2cos 與直線3cos 4sin a0化為普通方程后求解【自主解答】2cos ，22cos ，圓的普通方程為：x2y22x，(x1)2y21，直線3cos 4sin a0的普通方程為：3x4ya0，又圓與直線相切，所以1，解得：a2，或a8.理解極坐標的概念，能進行極坐標與直角坐標的互化，根據(jù)條件建立相應(yīng)曲線的極坐標方程已知圓C1：2cos ，圓C2：22sin 20，試判斷這兩個圓的位置關(guān)系【解】法一圓C1是圓心C1(1,0)，半徑r11的圓化圓C2為極坐標系下圓的一般方程為22cos()2120，得：122()22cos()知圓心C2(，)，半徑為r21，C1C2的距離為2，則C1與C2外切法二將極坐標方程化為直角坐標方程C1：22cos ，即x2y22x，即(x1)2y21，圓心C1(1,0)，半徑r11.C2：x2y22y20，即x2(y)21.圓心C2(0，)，半徑r21，C1C2211r1r2，故C1與C2外切(教材第32頁習(xí)題4.2第2題)按下列條件寫出圓的極坐標方程：(1)以A(2,0)為圓心，2為半徑的圓；(2)以B(4，)為圓心，4為半徑的圓；(3)以C(5，)為圓心，且過極點的圓；(4)以D(，)為圓心，1為半徑的圓(xx安徽高考改編)在極坐標系中，圓2cos 的垂直于極軸的兩條切線方程分別為_(填序號)0(R)和cos 2(R)和cos 2(R)和cos 10(R)和cos 1【命題意圖】本題考查極坐標方程與直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)化，圓的方程及其切線的求解，考查知識的轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力和轉(zhuǎn)化應(yīng)用意識【解析】由2cos ，得22cos ，化為直角坐標方程為x2y22x0，即(x1)2y21，其垂直于極軸的兩條切線方程為x0和x2，相應(yīng)的極坐標方程為(R)和cos 2.【答案】1極坐標方程為2cos 的圓的半徑是_【解析】2cos ，22cos ，即x2y22x.化簡，得(x1)2y21.半徑為1.【答案】12直角坐標方程xy20的極坐標方程為_【答案】sin()3過點A(2,0)，并且垂直于極軸的直線的極坐標方程是_【解析】如圖所示，設(shè)M(，)為直線上除A(2,0)外的任意一點，連接OM，則有AOM為直角三角形，并且AOM，OA2，OM，所以有OMcos OA，即cos 2，顯然當2，0時，也滿足方程cos 2，所以所求直線的極坐標方程為cos 2.【答案】cos 24(xx江西高考)曲線C的直角坐標方程為x2y22x0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為_【解析】直角坐標方程x2y22x0可化為x2y22x，將2x2y2，xcos 代入整理得2cos .【答案】2cos 1極坐標方程(1)()0(0)表示的圖形是什么？【解】由(1)()0(0)得，1或.其中1表示以極點為圓心半徑為1的圓，表示以極點為起點與Ox反向的射線2在極坐標系(，)(02)中，求曲線(cos sin )1與(sin cos )1的交點的極坐標【解】曲線(cos sin )1與(sin cos )1的直角坐標方程分別為xy1和yx1，兩條直線的交點的直角坐標為(0,1)，化為極坐標為(1，)3(xx安徽高考改編)在極坐標系中，圓4sin 的圓心到直線(R)的距離【解】極坐標系中的圓4sin 轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系中的一般方程為：x2y24y，即x2(y2)24，其圓心為(0,2)，直線轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系中的方程為yx，即x3y0.圓心(0,2)到直線x3y0的距離為.4已知A是曲線3cos 上任意一點，則點A到直線cos 1距離的最大值和最小值分別為多少？【解】將極坐標方程3cos 轉(zhuǎn)化成直角坐標方程：x2y23x，即2y2.cos 1即x1，直線與圓相交，所以所求距離的最大值為2，最小值為0.圖4235如圖423，點A在直線x5上移動，等腰三角形OPA的頂角OPA120(O、P、A按順時針方向排列)，求點P的軌跡方程【解】取O為極點，x軸正半軸為極軸正方向建立極坐標系，則直線x5的極坐標方程為cos 5.設(shè)P、A的坐標依次為(，)，(0，0)，則0，030.代入直線的極坐標方程cos 5，得cos(30)5，即為點P的軌跡方程6在極坐標系中，已知圓C的圓心C，半徑r3.(1)寫出圓C的極坐標方程；(2)若點Q在圓C上運動，點P在OQ的延長線上，且OQQP32，求動點P的軌跡方程【解】(1)圓C的極坐標方程為6cos.(2)設(shè)P的坐標為(，)，因為P在OQ的延長線上，且OQQP32，所以點Q的坐標為，因為點Q在圓C上運動，所以6cos，即10cos，故點P的軌跡方程為10cos.7(xx常州質(zhì)檢)已知圓M的極坐標方程為24cos()60，求的最大值【解】原方程化為24(cos sin )60.即24(cos sin )60圓的直角坐標方程為x2y24x4y60，圓心M(2,2)，半徑為，maxOM23.教師備選8(xx江蘇高考)在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點P(，)，圓心為直線sin()與極軸的交點，求圓C的極坐標方程【解】在sin()中令0，得1，所以圓C的圓心坐標為(1,0)因為圓C經(jīng)過點P(，)，所以圓C的半徑PC1，于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為2cos .第2課時圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程及應(yīng)用課標解讀1.掌握極坐標系中圓錐曲線的方程2.會求簡單的圓錐曲線的極坐標方程3.感受在極坐標系中橢圓、雙曲線、拋物線方程的完美統(tǒng)一.圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程， (*)其中p為焦點到相應(yīng)準線的距離，稱為焦準距當0e1時，方程表示橢圓；當e1時，方程(*)為，表示拋物線；當e1時，方程表示雙曲線，其中R.1用圓錐曲線統(tǒng)一極坐標方程的標準形式判別圓錐曲線需注意什么？【提示】應(yīng)注意統(tǒng)一極坐標方程的標準形式，只有方程右邊分母中的常數(shù)為1時，cos 的系數(shù)的絕對值才表示曲線的離心率如果該常數(shù)不是1，一定要將其轉(zhuǎn)化為1，再去判別，例如方程的離心率不是1，其不表示拋物線，將方程變形為，則e，表示橢圓2我們由曲線的直角坐標方程很容易知道它是哪種曲線，那如何由曲線的極坐標方程確定其是哪一種曲線呢？【提示】如果對簡單的直線和圓的極坐標方程及圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程熟練的話，可由其判斷，否則一般是將其化成直角坐標方程再判斷其是哪種曲線橢圓極坐標方程的應(yīng)用已知A、B為橢圓1(ab0)上兩點，OAOB(O為原點)求證：為定值【自主解答】以O(shè)為極點，x軸正方向為極軸，長度單位不變建立極坐標系，則xcos ，ysin ，代入1中得.設(shè)A(1，)，B.(為定值)本例條件不變，試求AOB面積的最大值和最小值【解】由例題解析得，SAOB12，而1，2，SAOB當sin21時，(SAOB)maxab；當sin2時，(SAOB)min.雙曲線極坐標方程的應(yīng)用過雙曲線1的右焦點，引傾斜角為的直線，交雙曲線于A、B兩點，求AB.【思路探究】求出雙曲線極坐標方程，得出A、B兩點極坐標，進而求AB.【自主解答】雙曲線1中，a2，b，c3，所以e，p.取雙曲線的右焦點為極點，x軸正方向為極軸正方向建立極坐標系，則雙曲線的極坐標方程為.代入數(shù)據(jù)并化簡，得.設(shè)A，B，于是AB|12|.應(yīng)用圓錐曲線的極坐標方程求過焦點(極點)的弦長非常方便橢圓和拋物線中，該弦長都表示為12，而雙曲線中，弦長的一般形式是|12|.已知雙曲線的極坐標方程是，求雙曲線的實軸長、虛軸長和準線方程【解】雙曲線方程可以化為，所以e，p.設(shè)c5r，a4r，則b2c2a29r2.由p，得r1.所以2a8,2b6.所以雙曲線的實軸長為8，虛軸長為6.準線方程cos p，即cos ；或cos p2，即cos .拋物線極坐標的應(yīng)用已知拋物線y24x的焦點為F.(1)以F為極點，x軸正方向為極軸的正方向，寫出此拋物線的極坐標方程；(2)過F作直線l交拋物線于A，B兩點，若AB16，運用拋物線的極坐標方程，求直線l的傾斜角【自主解答】(1)極坐標方程為.(2)設(shè)A(1，)，B(2，)AB1216，即sin2得sin .故l的傾斜角為或.平面直角坐標系中，有一定點F(2,0)和一條定直線l：x2.求與定點F的距離和定直線l的距離的比等于常數(shù)的點的軌跡的極坐標方程【解】過定點F作定直線l的垂線，垂足為K，以F為極點，F(xiàn)K的反向延長線Fx為極軸，建立極坐標系由題意，設(shè)所求極坐標方程為，定點F(2,0)，定直線l：x2，p為F點到直線l的距離，為2(2)4.又常數(shù)e，所求點的軌跡的極坐標方程為，即.(教材第33頁習(xí)題4.2第10題)我國自行研制的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，軌道的近地點和遠地點分別為439 km和2 384 km.若地球半徑取6 378 km，試寫出衛(wèi)星運行軌道的極坐標方程(xx西安模擬)已知雙曲線的極坐標方程為，過極點作直線與它交于A，B兩點，且AB6，求直線AB的極坐標方程【命題意圖】本題主要考查圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程和直線的極坐標方程【解】 設(shè)直線AB的極坐標方程為1，A(1，1)，B(2，1)則1，2.AB|12|6，1.cos 10或cos 1.故直線AB的極坐標方程為或或.1拋物線(0)的準線方程為_【答案】cos 42設(shè)橢圓的極坐標方程是，則的取值范圍是_【解析】，所以離心率e，由01，得(0,2)【答案】(0,2)3橢圓的焦距是_【答案】4雙曲線的焦點到準線的距離為_【答案】1過橢圓1的左焦點引一條直線與橢圓自上而下交于A、B兩點，若FA2FB，求直線l的斜率【解】橢圓1中，a5，b3，c4，所以e，p.取橢圓的左焦點為極點，x軸正方向為極軸正方向，建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為.設(shè)A(1，)、B(2，)由題設(shè)得122.于是2，解得cos ，所以tan ，即直線l的斜率為.2已知橢圓方程為，過左焦點引弦AB，已知AB8，求AOB的面積【解】如圖，設(shè)A(1，)、B(2，)所以12.因為AB8，所以8，所以cos2，sin .由橢圓方程知e，則c3.SAOBSAOFSBOFOF1sin OF2sin 8.圖4243如圖424，過拋物線y22px(p0)的焦點F的弦AB與x軸斜交，M為AB的中點，MNAB，并交對稱軸于N.求證：MN2AFBF.【證明】取F為極點，F(xiàn)x為極軸建立極坐標系，則拋物線的極坐標方程為.設(shè)A(1，)、B(2，)，則AFBF.不妨設(shè)0，則MF(12)().所以MNMFtan tan .所以MN2AFBF.圖4254如圖425，已知圓F：x2y24x0，拋物線G的頂點是坐標系的原點，焦點是已知圓的圓心F，過圓心且傾斜角為的直線l與拋物線G、圓F從上至下順次交于A、B、C、D四點(1)當直線的斜率為2時，求ABCD；(2)當為何值時，ABCD有最小值？并求這個最小值【解】圓F：x2y24x0的圓心坐標為(2,0)，半徑為2，所以拋物線的焦點到準線的距離為4.以圓心F為極點，F(xiàn)x為極軸建立極坐標系則圓F的坐標方程為2，拋物線G的極坐標方程為.設(shè)A(1，)、D(2，)，所以ABAF2，CDFD2，即ABCDAFFD41244444.(1)由題意，得tan 2，所以sin2.所以ABCD46.(2)ABCD4，當sin21，即時ABF2的面積取到最小值4.5已知拋物線，過焦點作互相垂直的極徑FA、FB，求FAB的面積的最小值【解】設(shè)A(1，)、B，則1，2.FAB的面積為S12.設(shè)tsin cos ，則sin cos .所以1cos sin sin cos 1t(t1)2.又tsin cos sin，所以當t，即時，F(xiàn)AB的面積S有最小值.6已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，點P為橢圓短軸的一個頂點，且F1PF290.(1)求橢圓C的離心率；(2)若直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，且ABF2的面積的最大值為12，求橢圓C的方程【解】(1)因為F1PF290，所以PFPFF1F，即a2a24c2.所以e.(2)以橢圓的左焦點F1為極點，F(xiàn)x為極軸建立極坐標系，設(shè)橢圓的方程為.設(shè)A(1，)、B(2，)，則ABAFFB12.因為F1F22c，所以ABF2的邊AB上的高h為2c|sin |，ABF2的面積SABh.因為|sin |2，所以當|sin |1，即或時S取到最大值所以當l過左焦點且垂直于極軸時，ABF2的面積取到最大值pc，所以pc12，即b26.故a2c26.又，所以a212，c26.所求橢圓的方程為1.7已知橢圓1，直線l：1，P是l上一點，射線OP交橢圓于R，又點Q在OP上，且滿足|OQ|OP|OR|2，當點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線【解】如圖，以O(shè)為極點，Ox為極軸，建立極坐標系，則：橢圓的極坐標方程為2，直線l的極坐標方程.由于點Q、R、P在同一射線上，可設(shè)點Q、R、P的極坐標分別為(，)、(1，)、(2，)，依題意，得，2.由|OQ|OP|OR|2得2(0)將代入，得，則(0)這就是點Q的軌跡的極坐標方程，化為直角坐標方程，得2x23y24x6y，即1(x、y不同時為0)點Q的軌跡為以(1,1)為中心，長軸平行于x軸，長、短半軸長分別為，的橢圓(去掉坐標原點)教師備選8建立極坐標系證明：已知半圓直徑|AB|2r(r0)，半圓外一條直線l與AB所在直線垂直相交于點T，并且|AT|2a(2a)若半圓上相異兩點M，N到l的距離|MP|、|NQ|滿足|MP|：|MA|NQ|：|NA|1，則|MA|NA|AB|.【證明】法一以A為極點，射線AB為極軸建立直角坐標系，則半圓的極坐標方程為2rcos ，設(shè)M(1，1)，N(2，2)，則12rcos 1，22rcos 2，又|MP|2a1cos 12a2rcos21，|NQ|2a2cos 22a2rcos22，|MP|2a2rcos212rcos1，|NQ|2a2rcos222rcos 2，cos 1，cos 2是方程rcos2rcos a0的兩個根，由韋達定理：cos 1cos 21，|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.法二以A為極點，射線AB為極軸建立直角坐標系，則半圓的極坐標方程為2rcos ，設(shè)M(1，1)，N(2，2)，又由題意知，M(1，1)，N(2，2)在拋物線上，2rcos ，rcos2rcos a0，cos 1，cos 2是方程rcos2rcos a0的兩個根，由韋達定理：cos 1cos 21，得|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.