2019-2020年高中數學知識精要 24.排列、組合和二項式定理教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高中數學知識精要 24.排列、組合和二項式定理教案 新人教A版1.兩個原理.(1)分類計數原理和分步計數原理是排列組合的基礎和核心,既可用來推導排列數、組合數公式,也可用來直接解題。它們的共同點都是把一個事件分成若干個分事件來進行計算。只不過利用分類計算原理時,每一種方法都可能獨立完成事件;如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步。利用分類計數原理,重在分“類”,類與類之間具有獨立性和并列性;利用分步計數原理,重在分步;步與步之間具有相依性和連續(xù)性。比較復雜的問題,常先分類再分步,分類相加,分步相乘. (2)一個模型: 影射個數 若A有年n個元素,B有m個元素,則從A到B能建立個不同的影射n件不同物品放入m個抽屜中,不限放法,共有多少種不同放法? (解:種)四人去爭奪三項冠軍,有多少種方法?從集合A=1,2,3到集合B=3,4的映射f中滿足條件f(3)=3的影射個數是多少?求一個正整數的約數的個數(3)含有可重元素的排列問題.對含有相同元素求排列個數的方法是:設重集S有k個不同元素a1,a2,.an其中限重復數為n1、n2nk,且n = n1+n2+nk , 則S的排列個數等于. 如:已知數字3、2、2,求其排列個數又例如:數字5、5、5、求其排列個數?其排列個數. 2.排列數中、組合數中.(1)排列數公式 ;。如(1)1!+2!+3!+n?。ǎ┑膫€位數字為 (答:3);(2)滿足的 (答:8)(2)組合數公式;規(guī)定,.如已知,求 n,m的值(答:mn2)(3)排列數、組合數的性質:;從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素,因此從n個不同元素中取出 n-m個元素的方法是一一對應的,因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.(或者從n+1個編號不同的小球中,n個白球一個紅球,任取m個不同小球其不同選法,分二類,一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有)根據組合定義與加法原理得;在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時,對于某一元素,只存在取與不取兩種可能,如果取這一元素,則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素,所以有C,如果不取這一元素,則需從剩余n個元素中取出m個元素,所以共有C種,依分類原理有. ;.(4)常用的證明組合等式方法. 裂項求和法. 如:(利用)n.n!=(n+1)!-n! 導數法. 數學歸納法. 倒序求和法. 一般地:已知等差數列an的首項a1,公差為d,a1Ca2Ca3Can1C=(2a1nd)2n-1 遞推法(即用遞推)如:. 構造二項式. 如: 證明:這里構造二項式其中的系數,左邊為,而右邊.更一般地:ACBD3.解排列組合問題的依據是:分類相加(每類方法都能獨立地完成這件事,它是相互獨立的,一次的且每次得出的是最后的結果,只需一種方法就能完成這件事),分步相乘(一步得出的結果都不是最后的結果,任何一步都不能獨立地完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事,各步是關聯(lián)的),有序排列,無序組合如(1)將5封信投入3個郵筒,不同的投法共有 種(答:);(2)從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺,其中至少要甲型與乙型電視機各一臺,則不同的取法共有 種(答:70);(3)從集合和中各取一個元素作為點的坐標,則在直角坐標系中能確定不同點的個數是_(答:23);(4)72的正約數(包括1和72)共有 個(答:12);(5)的一邊AB上有4個點,另一邊AC上有5個點,連同的頂點共10個點,以這些點為頂點,可以構成_個三角形(答:90); (6)用六種不同顏色把右圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開,允許同一顏色涂不同區(qū)域,但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色,則共有 種不同涂法(答:480);(7)同室4人各寫1張賀年卡,然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡,則4張賀年卡不同的分配方式有 種(答:9);(8)是集合到集合的映射,且,則不同的映射共有 個(答:7);(9)滿足的集合A、B、C共有 組(答:)3.解排列組合問題的方法有:一般先選再排,即先組合再排列,先分再排。弄清要完成什么樣的事件是前提,解決這類問題通常有三種途徑 (1)以元素為主,應先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素 (2)以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置即采用“先特殊后一般”的解題原則.(3)先不考慮附加條件,計算出排列或組合數,再減去不符合要求的排列數或組合數 前兩種方式叫直接解法,后一種方式叫間接(剔除)解法 注:數量不大時可以逐一排出結果。如(1)某單位準備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻,現有編號為1到6的6種不同花色的石材可選擇,其中1號石材有微量的放射性,不可用于辦公室內,則不同的裝飾效果有_種(答:300);(2)某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數碼,某人采用千位、百位上的數字之積作為十位個位上的數字(如2816)的方法設計密碼,當積為一位數時,十位上數字選0. 千位、百位上都能取0. 這樣設計出來的密碼共有_種(答:100);(3)用0,1,2,3,4,5這六個數字,可以組成無重復數字的四位偶數_個(答:156);(4)某班上午要上語、數、外和體育4門課,如體育不排在第一、四節(jié);語文不排在第一、二節(jié),則不同排課方案種數為_(答:6);(5)四個不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個盒中。恰有兩個空盒的放法有_種;甲球只能放入第2或3號盒,而乙球不能放入第4號盒的不同放法有_種(答:84;96);(6)設有編號為1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為1、2、3、4、5的5個杯蓋,將五個杯蓋蓋在五個茶杯上,至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有_種(答:31)(7)在平面直角坐標系中,由六個點(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),(1,2),(2,1)可以確定三角形的個數為_(答:15)。4.常見的題目類型(1)相鄰問題捆綁法(把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素,然后再與其余“普通元素”全排列,最后再“松綁”,將特殊元素在這些位置上全排列)。如(1)把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同的排法種數為_(答:2880);(2)某人射擊槍,命中槍,槍命中中恰好有槍連在一起的情況的不同種數為_(答:20);(3)把一同排6張座位編號為1,2,3,4,5,6的電影票全部分給4個人,每人至少分1張,至多分2張,且這兩張票具有連續(xù)的編號,那么不同的分法種數是_(答:144)(2)不相鄰(相間)問題插空法(某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法,即先安排好沒有限制元條件的元素,然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間)。如(1)3人坐在一排八個座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數有_種(答:24);(2)某班新年聯(lián)歡晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同的插法種數為_(答:42)。(3)多排問題單排法。如若2n個學生排成一排的排法數為x,這2 n個學生排成前后兩排,每排各n個學生的排法數為y,則x,y的大小關系為_(答:相等);(4)多元問題分類法。如(1)某化工廠實驗生產中需依次投入2種化工原料,現有5種原料可用,但甲、乙兩種原料不能同時使用,且依次投料時,若使用甲原料,則甲必須先投放. 那么不同的實驗方案共有_種(答:15);(2)某公司新招聘進8名員工,平均分給下屬的甲、乙兩個部門.其中兩名英語翻譯人員不能同給一個部門;另三名電腦編程人員也不能同給一個部門,則不同的分配方案有_種(答:36);(3)9名翻譯中,6個懂英語,4個懂日語,從中選撥5人參加外事活動,要求其中3人擔任英語翻譯,選撥的方法有_種(答:90);(5)有序問題組合法。如(1)書架上有3本不同的書,如果保持這些書的相對順序不便,再放上2本不同的書,有 種不同的放法(答:20);(2)百米決賽有6名運動A、B、C、D、E、F參賽,每個運動員的速度都不同,則運動員A比運動員F先到終點的比賽結果共有_種(答:360);(3)學號為1,2,3,4的四名學生的考試成績且滿足,則這四位同學考試成績的所有可能情況有_種(答:15);(4)設集合,對任意,有,則映射的個數是_(答:);(5)如果一個三位正整數形如“”滿足,則稱這樣的三位數為凸數(如120、363、374等),那么所有凸數個數為_(答:240);(6)離心率等于(其中且)的不同形狀的的雙曲線的個數為_(答:26)。(6)選取問題先選后排法。如某種產品有4只次品和6只正品,每只產品均不相同且可區(qū)分,今每次取出一只測試,直到4只次品全測出為止,則最后一只次品恰好在第五次測試時,被發(fā)現的不同情況種數是_(答:576)。(7)至多至少問題間接法。如從7名男同學和5名女同學中選出5人,至少有2名女同學當選的選法有_種(答:596)提醒:亦可分類來求.(8)相同元素分組可采用隔板法。如(1)10個相同的球各分給3個人,每人至少一個,有多少種分發(fā)?每人至少兩個呢?(答:36;15);(2)某運輸公司有7個車隊,每個車隊的車都多于4輛且型號相同,要從這7個車隊中抽出10輛車組成一運輸車隊,每個車隊至少抽1輛車,則不同的抽法有多少種?(答:84)*小球入筐型* 5個小球放入三個不同的筐子有多少放法每筐至少一個,有多少放法?小球相同小球不同注意:小球相同還是不同,是至少一個還是隨便,多元一次方程的不定正整數(還是非負整數)解的個數(隔板法).如的正整數解的組數就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列,在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板,把球分成4個組.每一種方法所得球的數目依次為顯然,故()是方程的一組解.反之,方程的任何一組解,對應著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式 (如圖所示)故方程的解和插板的方法一一對應. 即方程的解的組數等于插隔板的方法數.注意:若為非負數解的x個數,即用中等于,有,進而轉化為求a的正整數解的個數為 .注:不定方程的解的個數方程()的正整數解有個. 方程()的非負整數解有 個. 方程()滿足條件(,)的非負整數解有個.方程()滿足條件(,)的正整數解有(9)分組問題:要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組,平均分成n組問題別忘除以n!。如4名醫(yī)生和6名護士組成一個醫(yī)療小組,若把他們分配到4所學校去為學生體檢,每所學校需要一名醫(yī)生和至少一名護士的不同選派方法有_種(答:37440);(10)“錯位問題”及其推廣貝努利裝錯箋問題:信封信與個信封全部錯位的組合數為.推廣: 個元素與個位置,其中至少有個元素錯位的不同組合總數為提醒: 在求解排列與組合應用問題時,應(1)把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題;(2)通過分析確定運用分類計數原理還是分步計數原理;(3)分析題目條件,避免“選取”時重復和遺漏;(4)列出式子計算和作答 5.二項式定理:,其中組合數叫做第r+1項的二項式系數;展開式共有n+1項,其中第r+l項稱為二項展開式的通項,二項展開式通項的主要用途是求指定的項(特定項、常數項、有理項)等有關問題。二項式定理有兩個特殊形式:在解題時經常用到,且很方便,需熟記。特別提醒:項與項數、項的系數與二項式系數、奇數項與奇次項、偶數項與偶次項的區(qū)別分別是不同的兩個概念,但當二項式的兩個項的系數都為1時,系數就是二項式系數。如在的展開式中,第項的二項式系數為,第項的系數為;而的展開式中的系數就是二項式系數;當n的數值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數;審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項?求的是系數還是二項式系數?注意展開式的逆用,注意展開式中的項是否去首、少尾;必須關注n是正整數,r是非負整數(r=0的情形容易忽視),且rn。如(1)的展開式中常數項是_(答:14);(2)的展開式中的的系數為_ (答:330);(3)數的末尾連續(xù)出現零的個數是_(答:3);(4)展開后所得的的多項式中,系數為有理數的項共有_項(答:7);(5)若的值能被5整除,則的可取值的個數有_個(答:5);(6)若二項式按降冪展開后,其第二項不大于第三項,則 的取值范圍是 (答:); (7)函數的最大值是_(答:1024).(8) 已知等比數列an的首項為a1,公比為q求和:a1Ca2Ca3Can1C解:a1Ca2Ca3Can1Ca1Ca1qCa1q2Ca1qnCa1(CqCq2CqnC)a1(1q)n6、二項式系數的性質:(1)對稱性:與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等,即;(2)增減性與最大值:當時,二項式系數C的值逐漸增大,當時,C的值逐漸減小,且在中間取得最大值。當n為偶數時,中間一項(第1項)的二項式系數取得最大值。當n為奇數時,中間兩項(第和1項)的二項式系數相等并同時取最大值。如(1)在二項式的展開式中,系數最小的項的系數為_(答:426);(2)在的展開式中,第十項是二項式系數最大的項,則_(答:17,18或19)。(3)二項式系數的和:;。如(1)如果,則 (答:128);(2)化簡(答:)7、賦值法:應用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數和為、“奇數 (偶次)項”系數和為,以及“偶數 (奇次)項”系數和為。(4)F(x)=(ax+b)n展開式的各項系數和為f(1);奇數項系數和為;偶數項的系數和為;.證明組合恒等式或二項展開式系數求和時通常用構造法和賦值法:構造一個相應的二項展開式,再對該二項展開式進行賦值,或者構造同一問題的不同解法,通過變更問題解決。如(1)已知,則等于_(答:);(2),則_(答:xx);(3)設,則_(答:)。8、系數最大項的求法:系數若就是二項式系數,利用二項式系數的最大值性質來求,否則設 的系數為 ,那么 為最大的必要而不充分的條件是:且(若比商的話,注意的正負)如(1)求的展開式中,系數的絕對值最大的項和系數最大的項。(答:系數絕對值最大的項為,系數最大的項為)(2)二項式的展開式系數最大的項是( ) A.第2n+1項 B. 第2n+2項 C. 第2n項 D第2n+1項或2n+2項注:若通過系數絕對值來求時,注意系數的正負9、二項式定理的應用:二項式定理的主要應用有近似計算、證明整除性問題或求余數、應用其首尾幾項進行放縮證明不等式。如(1)(0.998)5精確到0.001近似值為_(答:0.990);(2)被4除所得的余數為_(答:0);(3)今天是星期一,10045天后是星期_(答:二);(4)求證:能被64整除;(5)求證:- 配套講稿:
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