2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課時訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課時訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-31分類加法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有_種不同的方法.推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有_種不同的方法.注意：任何一類中的任何一種方法都可以完成任務(wù)，而不需要再用到其他方法.2分步乘法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有_種不同的方法.推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有_種不同的方法.3分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系和區(qū)別分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題.區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各類方法_，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟_才算完成這件事.參考答案：123相互獨立都完成重點分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的概念和應(yīng)用難點分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用易錯利用分步乘法計數(shù)原理求解時，注意選準(zhǔn)分步的依據(jù)一、分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用若所給問題滿足下列三個特點：（1）完成一件事有若干種方法,這些方法可以分成n類；（2）用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；（3）把各類的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).則這個問題可以用分類加法計數(shù)原理解決.【例1】某校高二共有三個班，各班人數(shù)如下表：男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高二（1）班302050高二（2）班303060高二（3）班352055（1）從三個班中選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？（2）從高二（1）班、（2）班男生中或從高二（3）班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，有多少種不同的選法？【解析】（1）從每個班選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，共有3類不同的方案：第1類，從高二（1）班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；第2類，從高二（2）班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法；第3類，從高二（3）班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法.（2）從高二（1）班、（2）班男生或高二（3）班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，共有3類不同的方案：第1類，從高二（1）班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第2類，從高二（2）班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第3類，從高二（3）班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從高二（1）班、（2）班男生或高二（3）班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，共有30302080種不同的選法.二、分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用若所給問題滿足下列三個特點：（1）完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可；（2）完成每一步有若干方法；（3）把各個步驟的方法數(shù)相乘,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).則這個問題可以用分步乘法計數(shù)原理解決.【例2】如圖,將圖中的四個區(qū)域涂色,有5種不同的顏色可供選擇，規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有_種【解析】由分步乘法計數(shù)原理，可得不同的涂色方案有種.【名師點睛】解答涂色問題有兩種方法：（1）選擇正確的涂色順序,按步驟逐一涂色,這時用分步乘法計數(shù)原理進行計數(shù)；（2）根據(jù)涂色時所用顏色數(shù)的多少,進行分類處理,這時用分類加法計數(shù)原理進行計數(shù).注意：“相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色”,找好不相鄰的區(qū)域是解題的關(guān)鍵.一般地,在分步涂色時,要注意盡量讓相鄰區(qū)域多的區(qū)域先涂色.三、兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用“分類”應(yīng)滿足：完成一件事的任何一種方法，必屬于且僅屬于其中某一類.“分步”應(yīng)滿足：完成一件事必須且只需連續(xù)完成若干步.在實際中，很多問題都需要既分類又分步才能完成，解決這類問題時，一般先分類再分步.在分類和分步的過程中,要先明確分類和分步的標(biāo)準(zhǔn),以做到不重不漏.【例3】用0，1，2，3，4五個數(shù)字，可以排出多少個三位數(shù)字的電話號碼？可以排成多少個三位數(shù)？可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？【解析】三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有555=53=125(種).三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有455=100(種).被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有43=12種排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因為0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有233=18種排法.因而有12+18=30種排法，即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).【名師點睛】對于已知幾個數(shù)字組成三位數(shù)、四位數(shù)等問題,一般需利用分步乘法計數(shù)原理求解,注意：（1）數(shù)字中是否含有0,因為三位數(shù)、四位數(shù)等的最高位數(shù)字不能為0；（2）組成的數(shù)是否允許數(shù)字重復(fù)出現(xiàn),這會影響數(shù)字的選擇.四、未選準(zhǔn)分步依據(jù)致錯【例4】將4封信投入到3個信箱中，共有多少種不同的投法？【錯解】第1個信箱可能投1封信，2封信，3封信或4封信，共有4種投法；同理，第2個信箱也有4種投法，第3個信箱也有4種投法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種不同的投法.【錯因分析】要完成的一件事是“將4封信投入到3個信箱中”，且1封信只能投入1個信箱，錯解中會出現(xiàn)1封信同時投入2個信箱或3個信箱的情況，這是不可能發(fā)生的.因此，分步的依據(jù)應(yīng)該是“信”，而不應(yīng)該是“信箱”.【正解】第1封信可以投入3個信箱中的任意一個，有3種投法;同理，第2，3，4封信各有3種投法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種投法.【名師點睛】對于一類元素允許重復(fù)選取的計數(shù)問題，可以用分步乘法計數(shù)原理來解決，求解的關(guān)鍵是明確要完成的一件事是什么.即用分步乘法計數(shù)原理求解元素可重復(fù)選取的問題時，哪類元素必須“用完”就以哪類元素作為分步的依據(jù).對于本題，若是將3封信投入到4個信箱中，則共有種不同的投法.1有不同的紅球5個，不同的白球4個.從中任意取出兩個不同顏色的球，則不同的取法有A9種B16種C20種D32種2某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有A24種B9種C3種D26種3現(xiàn)給如圖所示的4個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，共有3種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有A4種B6種C8種D12種4由組成的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有A. 個B. 個C. 個D. 個5甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是，為遵守當(dāng)?shù)啬吃氯罩寥仗斓南扌幸?guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為A5B24C32D646一個三位數(shù)的密碼，每一位都由04的5個數(shù)字隨機組成，則不同的密碼種數(shù)是_(用數(shù)字作答).7如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有_個(用數(shù)字作答).87人站成兩排隊列，前排3人，后排4人.現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為_(用數(shù)字作答).9某單位職工義務(wù)獻血，在體檢合格的人中,型血的共有28人，型血的共有7人，B型血的共有9人,AB型血的共有3人.（1）從中任選1人去獻血，有多少種不同的選法？（2）從四種血型的人中各選1人去獻血，有多少種不同的選法？10現(xiàn)有高一四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.（1）選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？（2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？（3）推選兩人做發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？11用紅、黃、藍、綠4種顏色為一個五棱錐的六個頂點著色,要求每一條棱的兩個端點著不同的顏色,則不同的著色方案共有A120種B140種C180種D240種12現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m7，n9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_13回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù),如22,121,3443,94249等.顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33,99.3位回文數(shù)有90個：101,111,121, ,191,202, ,999.則4位回文數(shù)有_個；2n1(n)位回文數(shù)有_個.14不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為.15某印刷廠的7名工人中，有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法？16（xx新課標(biāo)全國）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A24B18C12D917（xx安徽）從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60的共有A24對B30對C48對D60對1C 【解析】由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，要取兩個不同顏色的球，首先取一個紅球，有5種結(jié)果，再取一個白球，有4種結(jié)果，根據(jù)分步計數(shù)原理，得到共有54=20種結(jié)果.2B 【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，不同的選法有4+3+2=9種，故選B.3B 【解析】首先給下面一個涂色，有三種涂色方法，再給上面的最左邊涂色，有兩種涂色方法，中間一塊只有一種涂色方法，右邊的一塊只有一種涂色方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，得共有種不同的涂色方法.4B 【解析】分兩類：第一類，若五位數(shù)的個位數(shù)是，則有個偶數(shù)；第二類，若五位數(shù)的個位數(shù)是，由于不排首位，因此首位只能排中的一個，依據(jù)分步計數(shù)原理可得個偶數(shù).由分類加法計數(shù)原理，可得所有無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)的個數(shù)為，故選B .5D 【解析】日至日，分別為，有天奇數(shù)日，天偶數(shù)日，第一步，安排奇數(shù)日出行，每天都有種選擇，共有種不同的用車方案；第二步，安排偶數(shù)日出行，分兩類，第一類，先選天安排甲的車，另外一天安排其他的車，有種不同的用車方案；第二類，不安排甲的車，每天都有種選擇，共有種不同的用車方案，共有種不同的用車方案，根據(jù)分步計數(shù)原理，可得不同的用車方案共有種.故選D.6125 【解析】由分步乘法計數(shù)原理，可得不同的密碼數(shù)有種.712【解析】由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，組成的數(shù)字含有三個1，三個2，三個3，三個4共4種情況，當(dāng)含有三個1時，“好數(shù)”為2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141；當(dāng)含有三個2時，“好數(shù)”為2221；當(dāng)含有三個3時，“好數(shù)”為3331；當(dāng)含有三個4時，“好數(shù)”為4441.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得到“好數(shù)”共有12個.8360 【解析】分三個步驟：第一步，先從甲、乙、丙三個人中選出一個人加入前排，有3種方法；第二步，將這個人加入前排的4個空位中，有4種方法；第三步，再依次將剩余兩人加入后排.先加入的一個人有5種方法，后加入的那個人有6種方法.由分步計數(shù)原理，可得不同的加入方法種數(shù)為.9【解析】從O型血的人中選1人有28種不同的選法,從A型血的人中選1人有7種不同的選法,從B型血的人中選1人有9種不同的選法,從AB型血的人中選1人有3種不同的選法.（1）任選1人去獻血,即無論選哪種血型的哪一個人,這件“任選1人去獻血”的事情都能完成,所以由分類加法計數(shù)原理,得共有2879347種不同的選法.（2）要從四種血型的人中各選1人,即要在每種血型的人中依次選出1人后,這件“各選1人去獻血”的事情才完成,所以由分步乘法計數(shù)原理,得共有287935292種不同的選法.10【解析】（1）分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得共有N7891034(種)不同的選法.（2）分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得共有N789105040(種)不同的選法.（3）分六類，每類又分兩步：第一類，從一、二班學(xué)生中各選1人，有78種不同的選法；第二類，從一、三班學(xué)生中各選1人，有79種不同的選法；第三類，從一、四班學(xué)生中各選1人，有710種不同的選法；第四類，從二、三班學(xué)生中各選1人，有89種不同的選法；第五類，從二、四班學(xué)生中各選1人，有810種不同的選法；第六類，從三、四班學(xué)生中各選1人，有910種不同的選法.所以，共有N787971089810910431(種)不同的選法.11A 【解析】設(shè)五棱錐S-ABCDE,先涂頂點S有4種不同的方法;接著涂頂點A只有3種不同的方法;再接著涂頂點B有2種不同的方法;再涂C點時,若C與A的顏色相同,則D有2種不同的涂法,E只有1種涂法,若C與A的顏色不相同,C只有1種涂法,若D與A的顏色相同,E有2種不同的涂法;若D與A的顏色不相同,則E只有1種涂法,根據(jù)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理可知,不同的著色方案共有432121+1(12+11)=120種.12【解析】由題意知m的可能取值為1,2,3，7；n的可能取值為1,2,3，9.由于是任取m，n，則若m1，n可取1,2,3，9，共9種情況；同理，m取2,3，7時，n也有9種情況，故m，n的取值情況共有7963種若m，n都取奇數(shù)，則m的取值為1,3,5,7，n的取值為1,3,5,7,9，因此滿足條件的情形有4520種故所求概率為.1390; 910n 【解析】4位回文數(shù)的特點為中間兩位相同,千位和個位相同但不能為0.第一步,選千位數(shù)字,共有9種選法;第二步,選中間兩位數(shù)字,有10種選法,故4位回文數(shù)有9.對于2n1(n)位回文數(shù)，第一步,選左邊第一個數(shù)字,共有9種選法;第二步,分別選左邊第2,3,4,n,n1個數(shù)字,共有10種選法,故2n1(n)位回文數(shù)有914【解析】令，則，這時共種可能；若，則，這時共種可能；若，則，這時共種可能；若，共種可能.所以共有種可能；若則，共有種可能；同理，若則，共有11種可能；若則，共有種可能，這樣共有種可能.另外，還有三種可能，所以總共有種可能，故不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為，應(yīng)填.15【解析】首先分類的標(biāo)準(zhǔn)要正確，可以選擇“只會排版”、“只會印刷”、“既會排版又會印刷”中的一個作為分類的標(biāo)準(zhǔn).下面選擇“既會排版又會印刷”作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，按照被選出的人數(shù)，可將問題分為三類：第一類：2人全不被選出，即從只會排版的3人中選2人，有3種選法；只會印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有313種選法.第二類：2人中被選出一人，有2種選法.若此人去排版，則再從會排版的3人中選1人，有3種選法，只會印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有2316種選法；若此人去印刷，則再從會印刷的2人中選1人，有2種選法，從會排版的3人中選2人，有3種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有23212種選法.再由分類加法計數(shù)原理知共有61218種選法.第三類：2人全被選出，同理共有16種選法.所以共有3181637種選法.16B【解析】由題意，小明從街道的E處出發(fā)到F處最短路徑的條數(shù)為6，再從F處到G處最短路徑的條數(shù)為3，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為，故選B.17C 【解析】如圖，在上底面中選，四個側(cè)面中的面對角線都與它成60，共8對，同樣對應(yīng)的也有8對，下底面也有16對，這共有32對；左右側(cè)面與前后側(cè)面中共有16對.所以全部共有48對.