2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案 新人教B版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案 新人教B版必修2 教學(xué)分析　　　　　 本節(jié)內(nèi)容是學(xué)習(xí)圓的起始課，由于圓是學(xué)生比較熟悉的曲線，在初中已學(xué)習(xí)了圓的幾何性質(zhì)，所以學(xué)習(xí)本節(jié)的難度不大．教材利用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并討論了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己探究，避免教師直接給出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 三維目標(biāo)　　　　　 1．使學(xué)生掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的圓心、半徑，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，注意培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力． 2．會(huì)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)，形成用代數(shù)方法處理幾何問題的能力，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣，培養(yǎng)學(xué)生分析、概括的思維能力． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 設(shè)計(jì)1.如左下圖，已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛．一輛寬為2.7 m，高為3 m的貨車能不能安全駛?cè)脒@個(gè)隧道？ 　　　　　　　　　 如右上圖，以某一截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓的直徑AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，問題可以轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，這就需要建立圓的方程．為此我們學(xué)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 設(shè)計(jì)2.同學(xué)們，我們知道直線可以用一個(gè)方程表示，那么，圓可以用一個(gè)方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢？這就是本堂課的主要內(nèi)容，教師板書本節(jié)課題：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 推進(jìn)新課　　　　　 討論結(jié)果： (1)平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓．定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是圓的半徑． (2)只要圓心和半徑確定了，就可以確定一個(gè)圓． (3)如果點(diǎn)M在⊙C上，則|CM|＝r，反之，如果|CM|＝r，則點(diǎn)M在⊙C上．如下圖所示． 由兩點(diǎn)間的距離公式，得x，y滿足的等式， ＝r. 兩邊平方，得 (x－a)2＋(y－b)2＝r2.① 顯然，⊙C上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)適合方程①；如果平面上一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)適合方程①，可得|CM|＝r，則點(diǎn)M在⊙C上．因此方程①是以點(diǎn)C(a，b)為圓心，r為半徑的圓的方程，叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 特別地，如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)(如下圖)，這時(shí)a＝0，b＝0，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是 x2＋y2＝r2. (4)容易看出，如果點(diǎn)M1(x1，y1)在圓外，則點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑r，即 (x1－a)2＋(y1－b)2>r2. 如果點(diǎn)M2(x2，y2)在圓內(nèi)，則點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑r，即 (x2－a)2＋(y2－b)20，代入圓方程，得(－2)2＋(y0＋10.5)2＝14.52， 解得y0＝－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)． 即支柱A2P2的長(zhǎng)度約為3.86 m. 思路2 例4圓(x－1)2＋(y＋2)2＝9關(guān)于直線x－y＝0對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：圓心(1，－2)關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)是(－2,1)，則對(duì)稱圓的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝9. 答案：(x＋2)2＋(y－1)2＝9 點(diǎn)評(píng)：圓關(guān)于點(diǎn)或直線對(duì)稱的圓，其半徑不變，只是圓心位置發(fā)生了變化．本題利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)求得對(duì)稱圓的圓心． 變式訓(xùn)練 1．圓x2＋(y＋3)2＝7關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程是________． 答案：x2＋(y－3)2＝7 2．圓x2＋y2＝4與圓(x－a)2＋y2＝4關(guān)于直線x＝6對(duì)稱，則a＝________. 答案：12 3．直線l與圓(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a(a<3)相交于兩點(diǎn)A，B，弦AB的中點(diǎn)為(0,1)，則直線l的方程為________． 解析：圓心為(－1,2)． 弦中點(diǎn)與圓心連線的斜率為＝－1， 由圓的性質(zhì)知，弦AB所在直線即l的斜率為k＝1. 故l的方程為x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 例5寫出圓心為A(2，－3)，半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程，并判斷點(diǎn)M1(5，－7)，M2(－5，－1)是否在這個(gè)圓上． 解：圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝25. ∵(5－2)2＋(－7＋3)2＝25， ∴點(diǎn)M1在圓上． ∵(－5－2)2＋(－1＋3)2＝53>25， ∴點(diǎn)M2在圓外． 點(diǎn)評(píng)：本題要求首先根據(jù)坐標(biāo)與半徑大小寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后給一個(gè)點(diǎn)，判斷該點(diǎn)與圓的關(guān)系，這里體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想，根據(jù)圓的坐標(biāo)及半徑寫方程——從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標(biāo)滿足方程來看點(diǎn)在不在圓上——從代數(shù)到幾何． 變式訓(xùn)練 1．經(jīng)過圓(x＋1)2＋y2＝1的圓心C，且與直線x＋y＝0垂直的直線方程是________． 解析：圓心(－1,0)． 與直線x＋y＝0垂直的直線斜率為1， ∴所求的方程為y＝x＋1. 答案：x－y＋1＝0 2．已知兩點(diǎn)P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2為直徑的圓的方程，并判斷點(diǎn)M(6,9)， Q(5,3)是在圓上、圓外，還是圓內(nèi)？ 解：由已知條件可得圓心坐標(biāo)為C(5,6)，半徑為r＝|P1P2|＝＝.所以以P1P2為直徑的圓的方程為(x－5)2＋(y－6)2＝10.因?yàn)閨CM|＝＝＝r，|CQ|＝＝3<＝r， ∴點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)Q在圓內(nèi)． 1．已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則圓C的方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1 C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 解析：圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，其半徑不變，只求出圓心即可，而關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則橫、縱坐標(biāo)交換位置，并取相反數(shù)，由圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，知對(duì)稱的圓心為(0，－1)． 答案：C 2．以點(diǎn)(2，－1)為圓心且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的方程為(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 解析：r＝＝3. 答案：C 3．已知直線5x＋12y＋a＝0與圓x2－2x＋y2＝0相切，則a的值為________． 解析：圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，所以圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑為1.由已知可得＝1|5＋a|＝13，所以a的值為－18或8. 答案：－18或8 4．已知圓(x－2)2＋y2＝8的圓心是點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線x－y－1＝0的距離是________． 解析：由已知得圓心為P(2,0)，由點(diǎn)P到直線距離公式，得d＝＝. 答案： 5.已知圓C：(x＋1)2＋(y＋)2＝4＋(a為實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l：x－y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上，則a＝__________. 解析：圓心C(－1，－)由題意知圓心C在直線l上即－1＋＋2＝0，解得a＝－2. 答案：－2 6．已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2，－2)，且圓心在直線l：x－y＋1＝0上，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析：(1)利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，只要能構(gòu)造三個(gè)方程求出a、b、r便可． (2)確定一個(gè)圓只需確定圓心位置與半徑大小． 圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2，－2)，由于圓心C與A，B兩點(diǎn)的距離相等，所以圓心C在線段AB的垂直平分線m上，又圓心C在直線l上，因此圓心C是直線l與直線m的交點(diǎn)，半徑長(zhǎng)等于|CA|或|CB|. 解法一：設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，將點(diǎn)A(1,1)和B(2，－2)代入得 又圓心在l：x－y＋1＝0上， 所以a－b＋1＝0.聯(lián)立方程組 解得a＝－3，b＝－2，r＝5. 所以所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 解法二：因?yàn)锳(1,1)和B(2，－2)，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)，直線AB的斜率為kAB＝＝－3，故線段AB的垂直平分線方程為y＋＝(x－)，即x－3y－3＝0.由解得 因此圓心C的坐標(biāo)為(－3，－2)，半徑r＝|AC|＝＝5，所以所求的圓的方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 已知直線l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0，且l1⊥l2. 求證：對(duì)m∈R，l1與l2的交點(diǎn)P在一個(gè)定圓上． 證明：∵l1與l2分別過定點(diǎn)(0,0)、(2,1)，且兩直線垂直， ∴l(xiāng)1與l2的交點(diǎn)必在以(0,0)、(2,1)為一條直徑的圓上． ∴圓心為(1，)，半徑為，(x－1)2＋(y－)2＝()2. 本節(jié)課學(xué)習(xí)了： 1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 2．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：直接法和待定系數(shù)法； 3．判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系； 本節(jié)練習(xí)B　1,2題． 圓是學(xué)生比較熟悉的曲線，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程既是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，為此本節(jié)布設(shè)了由淺入深的學(xué)習(xí)環(huán)境，先讓學(xué)生熟悉圓心、半徑與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之間的關(guān)系，逐步理解三個(gè)參數(shù)的重要性，自然形成待定系數(shù)法的解題思路，在突出重點(diǎn)的同時(shí)突破了難點(diǎn)．利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由淺入深的解決問題，并通過圓的方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．另外，為了培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，在例題中，設(shè)計(jì)了由特殊到一般的學(xué)習(xí)思路，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力．在問題的設(shè)計(jì)中，利用一題多解的探究，縱向挖掘知識(shí)深度，橫向加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神，并且使學(xué)生的有效思維量加大，隨時(shí)對(duì)所學(xué)知識(shí)和方法產(chǎn)生有意注意，能力與知識(shí)的形成相伴而行，這樣的設(shè)計(jì)不但突出了重點(diǎn)，更使難點(diǎn)的突破水到渠成． 備選習(xí)題 1．寫出下列各圓的方程； (1)圓心在原點(diǎn)，半徑是3； 答案：x2＋y2＝9. (2)圓心在點(diǎn)C(3,4)，半徑是； 答案：(x－3)2＋(y－4)2＝5. 2．圓(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圓心和半徑分別是(　　) A．(2，－3)、 B．(2，－3)、2 C．(－2,3)、1 D．(－2,3)、 答案：A 3．點(diǎn)P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是(　　) A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定 答案：A 4．直線x－2y－2k＝0與2x－y－k＝0的交點(diǎn)在圓x2＋y2＝25上，求k的值． 答案：5 5．圓(x－3)2＋(y＋4)2＝1關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的圓的方程是(　　) A．(x＋3)2＋(y－4)2＝1 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝1 C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1 D．(x－3)2＋(y－4)2＝1 解析：與圓心(3，－4)關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的點(diǎn)是(4，－3)，于是，與已知圓關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的圓的方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝1.選B. 答案：B 6．求下列圓的方程： (1)圓心在直線y＝－2x上且與直線y＝1－x相切于點(diǎn)(2，－1)； (2)圓心在點(diǎn)(2，－1)，且截直線y＝x－1所得弦長(zhǎng)為2. 解：(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－2a)，由題意知圓與直線y＝1－x相切于點(diǎn)(2，－1)，所以＝，解得a＝1.所以所求圓心坐標(biāo)為(1，－2)，半徑r＝＝.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2. (2)設(shè)圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)，由題意知圓心到直線y＝x－1的距離為d＝＝.又直線y＝x－1被圓截得弦長(zhǎng)為2，所以r2－d2＝2，即r＝2.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4.