2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）3.1 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 3.1.2 指數(shù)函數(shù)教案 新人教B版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)（）3.1 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 3.1.2 指數(shù)函數(shù)教案 新人教B版必修1教學(xué)分析有了前面的知識(shí)儲(chǔ)備，我們就可以順理成章地學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念，作指數(shù)函數(shù)的圖象以及研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等同時(shí)，編寫時(shí)充分關(guān)注與實(shí)際問題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持三維目標(biāo)1通過實(shí)際問題了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，根據(jù)圖象理解和掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)具體到一般數(shù)學(xué)討論方式及數(shù)形結(jié)合的思想2讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來自生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計(jì)算能力3通過訓(xùn)練點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生更能熟練指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)展示函數(shù)圖象，讓學(xué)生通過觀察，進(jìn)而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和統(tǒng)一美重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納、概括及其應(yīng)用課時(shí)安排2課時(shí)第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，寫出存留污垢y與漂洗次數(shù)x的關(guān)系式，它是函數(shù)關(guān)系式嗎？若是，請(qǐng)計(jì)算若要使存留的污垢不超過原有的，則至少要漂洗幾次？教師引導(dǎo)學(xué)生分析，列出關(guān)系式y(tǒng)()x，發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系式是個(gè)函數(shù)關(guān)系且它的自變量在指數(shù)的位置上，這樣的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，引出本節(jié)課題思路2.教師復(fù)習(xí)提問指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并要求學(xué)生計(jì)算23,20,22,16.再提問怎樣畫函數(shù)的圖象，學(xué)生思考，分組交流，寫出自己的答案8,1，2,9，先建立平面直角坐標(biāo)系，再描點(diǎn)，最后連線點(diǎn)出本節(jié)課題推進(jìn)新課1一種放射性物質(zhì)不斷衰減為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留量約是原來的84%，求出這種物質(zhì)經(jīng)過x年后的剩留量y與x的關(guān)系式是_2某種細(xì)胞分裂時(shí)，由一個(gè)分裂成兩個(gè)，兩個(gè)分裂成四個(gè)，四個(gè)分裂成十六個(gè)，依次類推，一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與x的關(guān)系式是_討論結(jié)果：1.y0.84x2.y2x活動(dòng)：先讓學(xué)生仔細(xì)觀察，交流討論，然后回答，教師提示點(diǎn)撥，及時(shí)鼓勵(lì)表?yè)P(yáng)給出正確結(jié)論的學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生在不斷探索中提高自己應(yīng)用知識(shí)的能力，教師巡視，個(gè)別輔導(dǎo)，針對(duì)學(xué)生共性的問題集中解決對(duì)于問題(1)，看這兩個(gè)函數(shù)的共同特征，主要是看底數(shù)和自變量以及函數(shù)值對(duì)于問題(2)，一般性的概念是指用字母表示不變化的量即常量對(duì)于問題(3)，為了使運(yùn)算有意義，同時(shí)也為了問題研究的必要性對(duì)于問題(4)，在(3)的規(guī)定下，我們可以把a(bǔ)x看成一個(gè)冪值，一個(gè)正數(shù)的任何次冪都有意義對(duì)于問題(5)，使學(xué)生回想指數(shù)函數(shù)的定義，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷一個(gè)函數(shù)是否是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，緊扣指數(shù)函數(shù)的形式討論結(jié)果：(1)對(duì)于兩個(gè)解析式我們看到每給自變量x一個(gè)值，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，再就是它們的自變量x都在指數(shù)的位置上，它們的底數(shù)都大于0，但一個(gè)大于1，一個(gè)小于1.0.84與2雖然不同，但它們是兩個(gè)函數(shù)關(guān)系中的常量，因?yàn)樽兞恐挥衳和y.(2)對(duì)于兩個(gè)解析式y(tǒng)0.84x和y2x，我們把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系中的常量用一個(gè)字母a來表示，這樣我們得到指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)yax(a0，a1，xR)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x叫做自變量，函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.(3)a0時(shí)，x0時(shí)，ax總為0；x0時(shí)，ax沒有意義a0時(shí)，如a2，x，ax(2)顯然是沒有意義的a1時(shí)，ax恒等于1，沒有研究的必要因此規(guī)定a0，a1.此解釋只要能說明即可，不要深化(4)因?yàn)閍0，x可以取任意的實(shí)數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.(5)判斷一個(gè)函數(shù)是否是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，一是看底數(shù)是否是一個(gè)常數(shù)，再就是看自變量是否是一個(gè)x且在指數(shù)位置上，滿足這兩個(gè)條件的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)(1)前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候，根據(jù)什么思路研究函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)指數(shù)函數(shù)呢？2)前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候，如何作函數(shù)的圖象？說明它的步驟.,3)利用上面的步驟，作函數(shù)y2x的圖象.4)利用上面的步驟，作函數(shù)的圖象.5)觀察上面兩個(gè)函數(shù)的圖象各有什么特點(diǎn)，再畫幾個(gè)類似的函數(shù)圖象，看是否也有類似的特點(diǎn)？6)根據(jù)上述幾個(gè)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，你能歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎？7)把y2x和的圖象，放在同一坐標(biāo)系中，你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圖象的關(guān)系嗎？8)你能證明上述結(jié)論嗎？9)能否用y2x的圖象畫的圖象？請(qǐng)說明畫法的理由.10)什么是限制函數(shù)？活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧需要研究的函數(shù)的那些性質(zhì)，共同討論研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的方法，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，注意從具體到一般的思想方法的運(yùn)用，滲透概括能力的培養(yǎng)，進(jìn)行課堂巡視，個(gè)別輔導(dǎo)，投影展示畫得好的部分學(xué)生的圖象，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生，補(bǔ)充學(xué)生回答中的不足學(xué)生獨(dú)立思考，提出研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路，獨(dú)立畫圖，觀察圖象及表格，表述自己的發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們相互交流，形成對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，推薦代表發(fā)表本組的集體的認(rèn)識(shí)討論結(jié)果：(1)我們研究函數(shù)時(shí)，根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，由具體到一般，一般要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，有時(shí)也通過畫函數(shù)圖象，從圖象的變化情況來看函數(shù)的性質(zhì)(2)一般是列表，描點(diǎn)，連線，借助多媒體手段畫出圖象，用計(jì)算機(jī)作函數(shù)的圖象(3)列表x3210123y2x1248作圖如下所示(4)列表x3210123y()x8421作圖如下圖(5)通過觀察上圖，可知圖象左右延伸無止境，說明定義域是實(shí)數(shù)圖象自左至右是上升的，說明是增函數(shù)，圖象位于x軸上方，說明值域大于0.圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，且y值分布有以下特點(diǎn)：x0時(shí)，0y1；x0時(shí)，y1.圖象不關(guān)于x軸對(duì)稱，也不關(guān)于y軸對(duì)稱，說明函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)通過觀察下圖，可知圖象左右延伸無止境，說明定義域是實(shí)數(shù)圖象自左至右是下降的，說明是減函數(shù)，圖象位于x軸上方，說明值域大于0.圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，且y值分布有以下特點(diǎn)：x0時(shí)，y1；x0時(shí)，0y1.圖象不關(guān)于x軸對(duì)稱，也不關(guān)于y軸對(duì)稱，說明函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)可以再畫下列函數(shù)的圖象以作比較，y3x，y6x，y()x，y()x.重新觀察函數(shù)圖象的特點(diǎn)，推廣到一般的情形(6)一般地，指數(shù)函數(shù)yax在a1和0a1的情況下，它的圖象特征和函數(shù)性質(zhì)如下表所示圖象特征函數(shù)性質(zhì)a10a1a10a1向x軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0,1)a01自左向右，圖象逐漸上升自左向右，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1x0，ax1x0，ax1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1x0，ax1x0，ax1一般地，指數(shù)函數(shù)yax在底數(shù)a1及0a1這兩種情況下的圖象和性質(zhì)如下表所示：a10a1圖象性質(zhì)定義域：R值域：(0，)過點(diǎn)(0,1)，即x0時(shí)y1在R上是增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，0y1；當(dāng)x0時(shí)，y1在R上是減函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，y1；當(dāng)x0時(shí)，0y1(7)在同一坐標(biāo)系中作出y2x和y()x兩個(gè)函數(shù)的圖象，如下圖經(jīng)過仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，它們的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(8)證明：設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)是y2x上的任意一點(diǎn)，它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是P1(x1，y1)，它滿足方程y()x2x，即點(diǎn)P1(x1，y1)在y()x的圖象上反之亦然，所以y2x和y()x兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(9)因?yàn)閥2x和y()x兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以可以先畫其中一個(gè)函數(shù)的圖象，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到另一個(gè)函數(shù)的圖象，同學(xué)們一定要掌握這種作圖的方法，對(duì)以后的學(xué)習(xí)非常有好處(10)由指數(shù)函數(shù)的定義可知，指數(shù)函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集，但在實(shí)際問題中不都如此例如，開始引進(jìn)的兩個(gè)函數(shù)的例子，函數(shù)y2x的定義域是非負(fù)整數(shù)集，函數(shù)y0.84x的定義域是正整數(shù)集，它們的定義域都是指數(shù)函數(shù)定義域的子集，而且它們?cè)谄涠x域內(nèi)分別與指數(shù)函數(shù)y2x，y0.84x取相同的值通常，我們把這類函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)的“限制函數(shù)”思路1例1判斷下列函數(shù)是否是一個(gè)指數(shù)函數(shù)？yx2，y8x，y24x，y(2a1)x(a，a1)，y(4)x，yx，y6x32.活動(dòng)：學(xué)生觀察，小組討論，嘗試解決以上題目，學(xué)生緊扣指數(shù)函數(shù)的定義解題，因?yàn)閥x2，y24x，y6x32都不符合yax的形式，教師強(qiáng)調(diào)yax的形式的重要性，即a前面的系數(shù)為1，a是一個(gè)正常數(shù)(也可以是一個(gè)表示正常數(shù)的代數(shù)式)，指數(shù)必須是x的形式或通過轉(zhuǎn)化后能化為x的形式解：y8x，y(2a1)x(a，a1)，yx是指數(shù)函數(shù)；y(4)x，yx2，y24x，y6x32不是指數(shù)函數(shù)變式訓(xùn)練函數(shù)y23x，yaxk，yax，y()2x(a0，a1)中是指數(shù)函數(shù)的有哪些？答案：y23x(23)x，yax()x，y()2x()2x都是指數(shù)函數(shù).2比較下列各題中的兩個(gè)值的大?。?1)1.72.5與1.73；(2)0.80.1與0.80.2；(3)1.70.3與0.93.1.活動(dòng)：學(xué)生自己思考或討論，回憶比較數(shù)的大小的方法，結(jié)合題目實(shí)際，選擇合理的，再寫出(最好用實(shí)物投影儀展示寫得正確的答案)，比較數(shù)的大小，一是作差，看兩個(gè)數(shù)差的符號(hào)，若為正，則前面的數(shù)大；二是作商，但必須是同號(hào)數(shù)，看商與1的大小，再?zèng)Q定兩個(gè)數(shù)的大小；三是計(jì)算出每個(gè)數(shù)的值，再比較大小；四是利用圖象；五是利用函數(shù)的單調(diào)性教師在學(xué)生中巡視其他學(xué)生的解答，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正并及時(shí)評(píng)價(jià)解法一：用數(shù)形結(jié)合的方法，如第(1)小題，用圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出y1.7x的圖象，如下圖在圖象上找出橫坐標(biāo)分別為2.5、3的點(diǎn)，顯然，圖象上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為2.5的點(diǎn)的上方，所以1.72.51.73，同理0.80.10.80.2,1.70.30.93.1.解法二：用計(jì)算器直接計(jì)算：1.72.53.77,1.734.91，所以1.72.51.73.同理0.80.10.80.2,1.70.30.93.1.解法三：利用函數(shù)單調(diào)性：(1)1.72.5與1.73的底數(shù)是1.7，它們可以看成函數(shù)y1.7x，當(dāng)x2.5和3時(shí)的函數(shù)值；因?yàn)?.71，所以函數(shù)y1.7x在R上是增函數(shù)，而2.53，所以1.72.51.73.(2)0.80.1與0.80.2的底數(shù)是0.8，它們可以看成函數(shù)y0.8x，當(dāng)x0.1和0.2時(shí)的函數(shù)值；因?yàn)?0.81，所以函數(shù)y0.8x在R上是減函數(shù)，而0.10.2，所以0.80.10.80.2.(3)因?yàn)?.70.31,0.93.11，所以1.70.30.93.1.點(diǎn)評(píng)：在第(3)小題中，可以用解法一、解法二解決，但不適合由于1.70.3與0.93.1不能直接看成某個(gè)函數(shù)的兩個(gè)值，因此，在這兩個(gè)數(shù)值間找到1，把這兩數(shù)值分別與1比較大小，進(jìn)而比較1.70.3與0.93.1的大小，這里的1是中間值.變式訓(xùn)練1已知a0.80.7，b0.80.9，c1.20.8，按大小順序排列a，b，c.答案：bac(a、b可利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較，而c是大于1的)2比較a與a的大小(a0且a0)答案：分a1和0a1兩種情況討論當(dāng)0a1時(shí)，aa；當(dāng)a1時(shí)，aa.3利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?1)1.7a與1.7a1；(2)已知()a()b，比較a，b的大小解：(1)考察函數(shù)y1.7x，它在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù).因?yàn)閍a1，所以1.7a1.7a1.(2)考察函數(shù)y()x，它在實(shí)數(shù)集上是減函數(shù)因?yàn)?)a()b，所以ab.思路2例1求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2).活動(dòng)：學(xué)生先思考，再回答，由于指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)的定義域是R，所以這類類似指數(shù)函數(shù)的函數(shù)的定義域要借助指數(shù)函數(shù)的定義域來求，教師適時(shí)點(diǎn)撥和提示，求定義域，只需使指數(shù)有意義即可，轉(zhuǎn)化為解不等式解：(1)令x40，則x4，所以函數(shù)y2的定義域是xR|x4，又因?yàn)?，所以1，即函數(shù)的值域是y|y0且y1(2)因?yàn)閨x|0，所以只有x0.因此函數(shù)的定義域是x|x0而()01，即函數(shù)的值域是y|y1點(diǎn)評(píng)：求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域和值域時(shí)，要注意到充分考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特別是第(1)題千萬(wàn)不能漏掉y0.變式訓(xùn)練求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y()2xx2；(2)y；(3)y(a0，a1)解：(1)函數(shù)y()2xx2的定義域是R，值域是，)(2)函數(shù)y的定義域是，)，值域是0，)(3)當(dāng)a1時(shí)，定義域是x|x0，當(dāng)0a1時(shí)，定義域是x|x0，值域是0，).2比較下列兩個(gè)數(shù)的大?。?1)30.8,30.7；(2)0.750.1,0.750.1；(3)1.80.6,0.81.6；(4).活動(dòng)：教師提示學(xué)生指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)學(xué)生的解題情況及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生解法一：直接用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算各數(shù)的值，再對(duì)兩個(gè)數(shù)進(jìn)行大小的比較：對(duì)(1)，因?yàn)?0.82.408 225,30.72.157 669，所以30.830.7；對(duì)(2)，因?yàn)?.750.11.029 186,0.750.10.971 642，所以0.750.10.750.1；對(duì)(3)，因?yàn)?.80.61.422 864,0.81.60.699 752，所以1.80.60.81.6；對(duì)(4)，因?yàn)?.080 084,20.659 754，所以2.解法二：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)兩個(gè)數(shù)進(jìn)行大小的比較：對(duì)(1)，因?yàn)楹瘮?shù)y3x在R上是增函數(shù)，0.80.7，所以30.830.7；對(duì)(2)，因?yàn)楹瘮?shù)y0.75x在R上是減函數(shù)，0.10.1，所以0.750.10.750.1；對(duì)(3)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.80.61.8010.800.81.6，所以1.80.60.81.6；對(duì)(4)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知()01202，所以2.解法三：利用圖象法來解，具體解法略點(diǎn)評(píng)：在利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)兩個(gè)數(shù)進(jìn)行大小比較時(shí)，首先把這兩個(gè)數(shù)看作指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較若兩個(gè)數(shù)不是同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，則尋求一個(gè)中間量，兩個(gè)數(shù)都與這個(gè)中間量進(jìn)行比較，這是常用的比較數(shù)的大小的方法，然后得兩個(gè)數(shù)的大小，數(shù)學(xué)上稱這種方法為“中間量法”.變式訓(xùn)練1下列關(guān)系中正確的是()答案：D2函數(shù)yax(a0，a1)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有()Af(xy)f(x)f(y) Bf(xy)f(x)f(y)Cf(xy)f(x)f(y) Df(xy)f(x)f(y)答案：C3函數(shù)yax51(a0，a1)恒過定點(diǎn)_答案：(5,2)探究一：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y2x，y3x，y10x的圖象，比較這三個(gè)函數(shù)增長(zhǎng)的快慢活動(dòng)：學(xué)生深刻回顧作函數(shù)圖象的方法，交流作圖的體會(huì)列表、描點(diǎn)、連線，作出函數(shù)y2x，y3x，y10x的圖象，如下圖x21012310y2x0.250.512481 024y3x0.110.331392759 049y10x0.010.11101001 0001010從表格或圖象可以看出：(1)x0時(shí)，有2x3x10x；(2)x0時(shí)，有2x3x10x；(3)當(dāng)x從0增長(zhǎng)到10，函數(shù)y2x的值從1增加到1 024，而函數(shù)y3x的值從1增加到59 049.這說明x0時(shí)y3x比y2x的函數(shù)值增長(zhǎng)得快同理y10x比y3x的函數(shù)值增長(zhǎng)得快因此得：一般地，ab1時(shí)，(1)x0時(shí)，有axbx1；(2)x0時(shí)，有axbx1；(3)x0時(shí)，有axbx1；(4)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，x0時(shí)其函數(shù)值增長(zhǎng)就越快探究二：分別畫出底數(shù)為0.2、0.3、0.5的指數(shù)函數(shù)的圖象(如下圖所示)，對(duì)照底數(shù)為2、3、10的指數(shù)函數(shù)的圖象，研究指數(shù)函數(shù)yax(0a1)中a對(duì)函數(shù)的圖象變化的影響由此得：一般地，0ab1時(shí)，(1)x0時(shí)，有axbx1；(2)x0時(shí)，有axbx1；(3)x0時(shí)，有axbx1；(4)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越小，x0時(shí)，其函數(shù)值減少就越快1指數(shù)函數(shù)的定義2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)3利用函數(shù)的圖象說出函數(shù)的性質(zhì)，即數(shù)形結(jié)合的思想(方法)，它是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想和研究方法4利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較幾個(gè)數(shù)的大小，特別是中間變量法課本本節(jié)練習(xí)B2、3.本節(jié)課是在前面研究了函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，研究具體的初等函數(shù)，它是重要的初等函數(shù)，它有著豐富的內(nèi)涵，且和我們的實(shí)際生活聯(lián)系密切，也是以后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，在指數(shù)函數(shù)的概念講解過程中，既要向?qū)W生說明定義域是什么，又要向?qū)W生交代，為什么規(guī)定底數(shù)a是大于0而不等于1的，本節(jié)內(nèi)容課堂容量大，要提高課堂的效率和節(jié)奏，多運(yùn)用信息化的教學(xué)手段，順利完成本堂課的任務(wù)備選例題例1 (1)求使不等式4x32成立的x的集合；(2)已知aa，求實(shí)數(shù)a的取值范圍活動(dòng)：學(xué)生先思考，再討論，然后回答(1)由于x在指數(shù)位置上，因此，要利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，特別是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，(2)也是利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷底數(shù)的范圍解：(1)4x32，即22x25.因?yàn)閥2x是R上的增函數(shù)，所以2x5，即x.滿足4x32的x的集合是(，)(2)由于，則yax是減函數(shù)，所以0a1.點(diǎn)評(píng)：正確理解和運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵例2用函數(shù)單調(diào)性的定義證明指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性活動(dòng)：教師點(diǎn)撥提示定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟，單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，要按規(guī)定的格式書寫證法一：設(shè)x1、x2R，且x1x2，則y2y1ax2ax1ax1(ax2x11)因?yàn)閍1，x2x10，所以ax2x11，即ax2x110.又因?yàn)閍x10，所以y2y10，即y1y2.所以當(dāng)a1時(shí)，yax，xR是增函數(shù)同理可證，當(dāng)0a1時(shí)，yax是減函數(shù)證法二：設(shè)x1、x2R，且x1x2，則y2與y1都大于0，則ax2x1.因?yàn)閍1，x2x10，所以ax2x11，即1，y1y2.所以當(dāng)a1時(shí)，yax，xR是增函數(shù)同理可證，當(dāng)0a1時(shí)，yax是減函數(shù)例3截止到xx年底，我國(guó)人口約13億，如果今后能將人口年平均增長(zhǎng)率控制在1%，那么經(jīng)過20年后，我國(guó)人口數(shù)最多為多少？(精確到億)活動(dòng)：師生共同討論，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立目標(biāo)函數(shù)，常采用特殊到一般的方式，教師引導(dǎo)學(xué)生注意題目中自變量的取值范圍，可以先考慮一年一年增長(zhǎng)的情況，再?gòu)闹邪l(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后解決問題：xx年底人口約為13億；經(jīng)過1年人口約為13(11%)億；經(jīng)過2年人口約為13(11%)(11%)13(11%)2億；經(jīng)過3年人口約為13(11%)2(11%)13(11%)3億；經(jīng)過x年人口約為13(11%)x億；經(jīng)過20年人口約為13(11%)20億解：設(shè)今后人口年平均增長(zhǎng)率為1%，經(jīng)過x年后，我國(guó)人口數(shù)為y億，則y13(11%)x，當(dāng)x20時(shí)，y13(11%)2016(億)答：經(jīng)過20年后，我國(guó)人口數(shù)最多為16億點(diǎn)評(píng)：類似此題，設(shè)原值為N，平均增長(zhǎng)率為p，則對(duì)于經(jīng)過時(shí)間x年后總量yN(1p)x，像yN(1p)x等形如ykax(kR，a0且a1)的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù)(設(shè)計(jì)者：韓雙影)第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.我們?cè)趯W(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，利用了指數(shù)函數(shù)的圖象的特點(diǎn)，并且是用類比和歸納的方法得出，在上節(jié)課的探究中我們知道，函數(shù)y3x，y3x1，y3x1的圖象之間的關(guān)系，由其中的一個(gè)可得到另外兩個(gè)的圖象，那么，對(duì)yax與yaxm(a0，mR)有著怎樣的關(guān)系呢？在理論上，含有指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是否具有奇偶性呢？這是我們本堂課研究的內(nèi)容教師點(diǎn)出課題思路2.我們?cè)诘谝徽轮?，已學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì)，特別是單調(diào)性和奇偶性是某些函數(shù)的重要特點(diǎn)，我們剛剛學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)，嚴(yán)格地證明了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，便于我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)用這些性質(zhì)，在實(shí)際生活中，往往遇到的不單單是指數(shù)函數(shù)，還有其他形式的函數(shù)，有的是指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，我們需要研究它的單調(diào)性和奇偶性，這是我們面臨的問題，也是我們本堂課要解決的問題推進(jìn)新課活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶，教師提問，學(xué)生回答，積極交流，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生，學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容討論結(jié)果：(1)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一般地，指數(shù)函數(shù)yax在底數(shù)a1及0a1這兩種情況下的圖象和性質(zhì)如下表所示：a10a1圖象圖象特征圖象分布在一、二象限，與y軸相交，落在x軸的上方都過點(diǎn)(0,1)第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于1；第二象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于0且小于1第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于0且小于1；第二象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于1從左向下圖象逐漸上升從左向下圖象逐漸下降a10a1性質(zhì)(1)定義域：R(2)值域：(0，)(3)過定點(diǎn)(0,1)，即x0時(shí)，y1(4)x0時(shí)，y1；x0時(shí)，0y1(4)x0時(shí)，0y1；x0時(shí)，y1(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)(2)依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是：取值即設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值且x1x2.作差變形即求f(x2)f(x1)，通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形定號(hào)根據(jù)給定的區(qū)間和x2x1的符號(hào)確定f(x2)f(x1)的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以進(jìn)行分類討論判斷根據(jù)單調(diào)性定義作出結(jié)論(3)對(duì)于復(fù)合函數(shù)yfg(x)可以總結(jié)為：當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性相同時(shí)，復(fù)合函數(shù)yfg(x)是增函數(shù)；當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性相異即不同時(shí)，復(fù)合函數(shù)yfg(x)是減函數(shù)；又簡(jiǎn)稱為口訣“同增異減”(4)判斷函數(shù)的奇偶性：一是利用定義法，即首先是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再次是考察式子f(x)與f(x)的關(guān)系，最后確定函數(shù)的奇偶性；二是作出函數(shù)圖象或從已知圖象觀察，若圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱，則函數(shù)具有奇偶性思路1 例 在同一坐標(biāo)系下作出下列函數(shù)的圖象，并指出它們與指數(shù)函數(shù)y2x的圖象的關(guān)系(1)y2x1與y2x2；(2)y2x1與y2x2.活動(dòng)：教師適當(dāng)時(shí)候點(diǎn)撥，學(xué)生回想作圖的方法和步驟，特別是指數(shù)函數(shù)圖象的作法，學(xué)生回答并到黑板上作圖，教師指點(diǎn)學(xué)生，列出對(duì)應(yīng)值表，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，特別是(0,1)點(diǎn)，或用計(jì)算機(jī)作圖解：(1)列出函數(shù)數(shù)據(jù)表作出圖象如下圖x32101232x0.1250.250.512482x10.250.51248162x20.512481632比較可知函數(shù)y2x1、y2x2與y2x的圖象的關(guān)系為：將指數(shù)函數(shù)y2x的圖象向左平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y2x1的圖象；將指數(shù)函數(shù)y2x的圖象向左平行移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y2x2的圖象(2)列出函數(shù)數(shù)據(jù)表作出圖象如下圖x32101232x0.1250.250.512482x10.6250.1250.250.51242x20.312 50.6250.1250.250.512比較可知函數(shù)y2x1、y2x2與y2x的圖象的關(guān)系為：將指數(shù)函數(shù)y2x的圖象向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y2x1的圖象；將指數(shù)函數(shù)y2x的圖象向右平行移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y2x2的圖象點(diǎn)評(píng)：類似地，我們得到y(tǒng)ax與yaxm(a0，a1，mR)之間的關(guān)系：yaxm(a0，mR)的圖象可以由yax的圖象變化而來當(dāng)m0時(shí)，yax的圖象向左移動(dòng)m個(gè)單位得到y(tǒng)axm的圖象；當(dāng)m0時(shí)，yax的圖象向右移動(dòng)|m|個(gè)單位得到y(tǒng)axm的圖象上述規(guī)律也簡(jiǎn)稱為“左加右減”變式訓(xùn)練為了得到函數(shù)y2x31的圖象，只需把函數(shù)y2x的圖象()A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度答案：B點(diǎn)評(píng)：對(duì)于有些復(fù)合函數(shù)的圖象，常用變換方法作出.思路2例1設(shè)a0，f(x)在R上滿足f(x)f(x)(1)求a的值；(2)證明f(x)在(0，)上是增函數(shù)活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，如果有困難，教師提示，引導(dǎo)(1)求單獨(dú)一個(gè)字母的值，一般是轉(zhuǎn)化為方程，利用f(x)f(x)可建立方程(2)證明增減性一般用定義法，回憶定義法證明增減性的步驟，規(guī)范書寫的格式(1)解：依題意，對(duì)一切xR有f(x)f(x)成立，即aex.所以(a)(ex)0對(duì)一切xR成立由此可得a0，即a21.又因?yàn)閍0，所以a1.(2)證明：設(shè)0x1x2，f(x1)f(x2)ex1ex2(ex1ex2)(1)ex1(ex2x11)()由x10，x20，x2x10，得x2x10，ex2x110,1ex2x10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x)在(0，)上是增函數(shù)點(diǎn)評(píng)：在已知等式f(x)f(x)成立的條件下，對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，求出a，也可用特殊值求解證明函數(shù)的單調(diào)性，嚴(yán)格按定義寫出步驟，判斷過程盡量明顯直觀例2已知函數(shù)f(x)3x，且xa2時(shí)，f(x)18，g(x)3ax4x的定義域?yàn)?,1(1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間，確定其增減性并用定義證明；(3)求g(x)的值域解：(1)因?yàn)閒(x)3x，且xa2時(shí)f(x)18，所以f(a2)3a218.所以3a2.所以g(x)3ax4x(3a)x4x.所以g(x)2x4x.(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)?,1，令t2x，因?yàn)閤0,1時(shí)，函數(shù)t2x在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，所以t1,2，則g(t)tt2(t2t)(t)2，t1,2因?yàn)楹瘮?shù)t2x在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，函數(shù)g(t)tt2在t1,2上單調(diào)遞減，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減證明：設(shè)x1和x2是區(qū)間0,1上任意兩個(gè)值，且x1x2，g(x2)g(x1)2x24x22x14x1(2x22x1)(2x22x1)(2x22x1)(2x22x1)(12x12x2)，因?yàn)?x1x21， 所以2x22x1，且12x12,12x22.所以22x12x24.所以312x12x21，可知(2x22x1)(12x12x2)0.所以g(x2)g(x1)所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減(3)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，所以x0,1時(shí)，有g(shù)(1)g(x)g(0)因?yàn)間(1)21412，g(0)20400，所以2g(x)0.故函數(shù)g(x)的值域?yàn)?,0點(diǎn)評(píng)：此題是一道有關(guān)函數(shù)的概念、函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用、推理、證明綜合題，要通盤考慮求函數(shù)y()|12x|x2|的單調(diào)區(qū)間活動(dòng)：教師提示，因?yàn)橹笖?shù)含有兩個(gè)絕對(duì)值，要去絕對(duì)值，要分段討論，同時(shí)注意底數(shù)的大小，分析出指數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性學(xué)生思考討論，然后解答解：由題意可知2與是區(qū)間的分界點(diǎn)當(dāng)x時(shí)，因?yàn)閥()12xx2()13x23x18x，所以此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)x2時(shí)，因?yàn)閥()12xx2()3x23x()x，所以此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)當(dāng)x2時(shí)，因?yàn)閥()12xx2()3x1213x2()x，所以此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)當(dāng)x1，2)，x22，)時(shí)，因?yàn)?()x2()x1223x2232x1213x223x1，又因?yàn)?3x2(3x1)43x2x14x13x20，所以13x23x1，即2()x2()x1.所以此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)綜上所述，函數(shù)f(x)在(，上單調(diào)遞增，在，)上單調(diào)遞減設(shè)m1，f(x)，若0a1，試求：(1)f(a)f(1a)的值；(2)f()f()f()f()的值活動(dòng)：學(xué)生思考，觀察，教師提示學(xué)生注意式子的特點(diǎn)，做這種題目，一定要有預(yù)見性，即第(2)問要用到第(1)問的結(jié)果，聯(lián)系函數(shù)的知識(shí)解決解：(1)f(a)f(1a)1.(2)f()f()f()f()f()f()f()f()f()f()5001500.點(diǎn)評(píng)：第(2)問是第(1)問的繼續(xù)，第(1)問是第(2)問的基礎(chǔ)，兩個(gè)問號(hào)是銜接的，利用前一個(gè)問號(hào)解決后一個(gè)問號(hào)是我們經(jīng)常遇到的情形，要注意問號(hào)與問號(hào)之間的聯(lián)系本節(jié)課復(fù)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，我們對(duì)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也進(jìn)行了復(fù)習(xí)鞏固，利用單調(diào)性和奇偶性解決了一些問題，對(duì)常考的函數(shù)圖象的變換進(jìn)行了學(xué)習(xí)，要高度重視，在不斷學(xué)習(xí)中升華提高課本習(xí)題31 B3、5、6.指數(shù)函數(shù)作為一類基本的初等函數(shù)，它雖然不具有函數(shù)通性中的奇偶性，但是它與其他函數(shù)復(fù)合構(gòu)成具有比較復(fù)雜的單調(diào)性的函數(shù)，同時(shí)也可以復(fù)合出比較特殊的奇函數(shù)和偶函數(shù)，判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性要十分小心，嚴(yán)格按規(guī)定的要求，有時(shí)借助數(shù)形結(jié)合可幫我們找到解題思路，本堂課是在以前基礎(chǔ)上的提高與深化，同時(shí)又兼顧了高考?？嫉膬?nèi)容，因此涉及面廣，容量大，要集中精力，加快速度，高質(zhì)量完成教學(xué)任務(wù)富蘭克林的遺囑與拿破侖的諾言富蘭克林利用放風(fēng)箏而感受到電擊，從而發(fā)明了避雷針這位美國(guó)著名的科學(xué)家死后留下了一份有趣的遺囑：“一千英鎊贈(zèng)給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊，那么這筆錢應(yīng)該托付給一些挑選出來的公民，他們得把這些錢按每年5%的利率借給一些年輕的手工業(yè)者去生息這些款過了100年增加到131 000英鎊我希望那時(shí)候用100 000英鎊來建立一所公共建筑物，剩下的31 000英鎊拿去繼續(xù)生息100年在第二個(gè)100年末了，這筆款增加到4 061 000英鎊，其中1 061 000英鎊還是由波士頓的居民來支配，而其余的3 000 000英鎊讓馬薩諸塞州的公眾來管理過此之后，我可不敢主張了！”你可曾想過：區(qū)區(qū)的1 000英鎊遺產(chǎn)，竟立下幾百萬(wàn)英鎊財(cái)產(chǎn)分配的遺囑，是“信口開河”，還是“言而有據(jù)”呢？事實(shí)上，只要借助于復(fù)利公式，同學(xué)們完全可以通過計(jì)算而作出自己的判斷ynm(1a)n就是復(fù)利公式，其中m為本金，a為年利率，yn為n年后本金與利息的總和在第一個(gè)100年末富蘭克林的財(cái)產(chǎn)應(yīng)增加到：y1001 000(15%)100131 501(英鎊)，比遺囑中寫的還多出501英鎊在第二個(gè)100年末，遺產(chǎn)就更多了：y100131 501(15%)1004 142 421(英鎊)可見富蘭克林的遺囑是有科學(xué)根據(jù)的遺囑故事啟示我們：在指數(shù)效應(yīng)下，微薄的財(cái)產(chǎn)，低廉的利率，可以變得令人瞠目結(jié)舌威名顯赫的拿破侖，由于陷進(jìn)了指數(shù)效應(yīng)的漩渦而使法國(guó)政府十分難堪！1797年，拿破侖參觀國(guó)立盧森堡小學(xué)，贈(zèng)上了一束價(jià)值三個(gè)金路易的玫瑰花，并許諾只要法蘭西共和國(guó)存在一天，他將每年送一束價(jià)值相等的玫瑰花，以作兩國(guó)友誼的象征由于連年征戰(zhàn)，拿破侖忘卻了這一諾言！1894年，盧森堡王國(guó)鄭重地向法蘭西共和國(guó)提出了“玫瑰花懸案”，要求法國(guó)政府在拿破侖的聲譽(yù)和1 375 596法郎的債款中，兩者選取其一這筆巨款就是三個(gè)金路易的本金，以5%的年利率，在97年的指數(shù)效應(yīng)下的產(chǎn)物