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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第四章 幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì)
一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=ax(a>0, a1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)0
1時(shí)，y=ax為增函數(shù)，它的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）。
2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：。
3．對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=logax(a>0, a1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)镽，圖象過(guò)定點(diǎn)（1，0）。當(dāng)01時(shí)，y=logax為增函數(shù)。
4．對(duì)數(shù)的性質(zhì)（M>0, N>0）；
1）ax=Mx=log aM(a>0, a1)；
2）log a (MN)= log a M+ log a N；
3）log a（）= log a M- log a N；4）log a Mn=n log a M；，
5）log a =log a M；6）alog a M=M; 7) log a b=(a,b,c>0, a, c1).
5. 函數(shù)y=x+（a>0）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為和。（請(qǐng)讀者自己用定義證明）
6．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若a0.
【證明】 設(shè)f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，則f(x)是關(guān)于x的一次函數(shù)。
所以要證原不等式成立，只需證f(-1)>0且f(1)>0（因?yàn)?10，
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，
所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.
例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全為0的實(shí)數(shù)，b1, b2,…,bn∈R，則（）（）≥()2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在R，使a i=, i=1, 2, …, n時(shí)成立。
【證明】 令f(x)= （）x2-2()x+=,
因?yàn)?0，且對(duì)任意x∈R, f(x)≥0，
所以△=4()-4（）()≤0.
展開(kāi)得（）()≥()2。
等號(hào)成立等價(jià)于f(x)=0有實(shí)根，即存在，使a i=, i=1, 2, …, n。
例3 設(shè)x, y∈R+, x+y=c, c為常數(shù)且c∈(0, 2]，求u=的最小值。
【解】u==xy+≥xy++2
=xy++2.
令xy=t，則00，所以=
例5 對(duì)于正整數(shù)a, b, c(a≤b≤c)和實(shí)數(shù)x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求證：a+b=c.
【證明】 由ax=by=cz=70w取常用對(duì)數(shù)得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，
相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由題設(shè)，
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=257.
若a=1，則因?yàn)閤lga=wlg70，所以w=0與題設(shè)矛盾，所以a>1.
又a≤b≤c，且a, b, c為70的正約數(shù)，所以只有a=2, b=5, c=7.
所以a+b=c.
例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求證c2=(ac)logab.
【證明】 由題設(shè)logax+logcx=2logbx，化為以a為底的對(duì)數(shù)，得
，
因?yàn)閍c>0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指數(shù)與對(duì)數(shù)式互化，取對(duì)數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋梁。
3．指數(shù)與對(duì)數(shù)方程的解法。
解此類(lèi)方程的主要思想是通過(guò)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換元等進(jìn)行化簡(jiǎn)求解。值得注意的是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和未知數(shù)范圍的討論。
例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
【解】 方程可化為=1。設(shè)f(x)= , 則f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)，因?yàn)閒(3)=1，所以方程只有一個(gè)解x=3.
例8 解方程組：（其中x, y∈R+）.
【解】 兩邊取對(duì)數(shù)，則原方程組可化為 ①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6，
代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.
又y>0，所以y=2, x=4.
所以方程組的解為 .
例9 已知a>0, a1，試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍。
【解】由對(duì)數(shù)性質(zhì)知，原方程的解x應(yīng)滿(mǎn)足.①②③
若①、②同時(shí)成立，則③必成立，
故只需解.
由①可得2kx=a(1+k2)， ④
當(dāng)k=0時(shí)，④無(wú)解；當(dāng)k0時(shí)，④的解是x=，代入②得>k.
若k<0，則k2>1，所以k<-1；若k>0，則k2<1，所以00且a1，比較大?。簗loga(1-b)|_________|loga(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)開(kāi)________。
8．若x=，則與x最接近的整數(shù)是_________。
9．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________。
10．函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開(kāi)________。
11．設(shè)f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n xa]，其中n為給定正整數(shù), n≥2, a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]時(shí)有意義，求a的取值范圍。
12．當(dāng)a為何值時(shí)，方程=2有一解，二解，無(wú)解？
四、高考水平訓(xùn)練題
1．函數(shù)f(x)=+lg(x2-1)的定義域是_________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈時(shí)恒成立，則m的取值范圍是_________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，則x2, x, 1從大到小排列是_________.
4. 若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=_________.
5. 命題p: 函數(shù)y=log 2在[2，+∞）上是增函數(shù)；命題q：函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)镽，則p是q的_________條件.
6．若00且a1，比較大小：|log a(1-b)| _________|log a(1+b)|.
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)開(kāi)________.
8．若x=，則與x最接近的整數(shù)是_________.
9．函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.
10．函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開(kāi)________.
11．設(shè)f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n xa]，其中n為給定正整數(shù)，n≥2,a∈R。若f(x) 在x∈(-∞,1]時(shí)有意義，求a的取值范圍。
12．當(dāng)a為何值時(shí)，方程=2有一解，二解，無(wú)解？
四、高考水平訓(xùn)練題
1．函數(shù)f(x)=+lg(x2-1)的定義域是__________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈時(shí)恒成立，則m的取值范圍是 ________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，則x2, x, 1從大到小排列是________.
4．若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=成立的a, b的取值范圍是________.
5．已知an=logn(n+1)，設(shè)，其中p, q為整數(shù)，且(p ,q)=1，則pq的值為_(kāi)________.
6．已知x>10, y>10, xy=1000，則(lgx)(lgy)的取值范圍是________.
7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
8．函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽，若關(guān)于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則b, c應(yīng)滿(mǎn)足的充要條件是________.
（1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。
9．已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，則F(x)是________函數(shù)（填奇偶性）.
10．已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|<1, |b|<1，則f(a)+f(b)=________.
11．設(shè)a∈R，試討論關(guān)于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。
12．設(shè)f(x)=|lgx|，實(shí)數(shù)a, b滿(mǎn)足00且a1, f(x)=loga(x+)(x≥1)，（1）求f(x)的反函數(shù)f-1(x)；（2）若f-1(n)<(n∈N+)，求a的取值范圍。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．如果log2[log(log2x)]= log3[log(log3x)]= log5[log(log5z)]=0，那么將x, y, z從小到大排列為_(kāi)__________.
2．設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)x0> x1> x2> x3>0，都有l(wèi)og1993+ log1993+ log1993> klog1993恒成立，則k的最大值為_(kāi)__________.
3．實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2，則的值為_(kāi)__________.
4．已知00的解集為_(kāi)__________.
9．已知a>1, b>1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).
10．（1）試畫(huà)出由方程所確定的函數(shù)y=f(x)圖象。
（2）若函數(shù)y=ax+與y=f(x)的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍。
11．對(duì)于任意n∈N+(n>1)，試證明：[]+[]+…+[]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)x, y, z∈R+且x+y+z=1，求u=的最小值。
2．當(dāng)a為何值時(shí)，不等式loglog5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一個(gè)解（a>1且a1）。
3．f(x)是定義在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函數(shù)，滿(mǎn)足條件；對(duì)于任何x, y>1及u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)][f(y)]①都成立，試確定所有這樣的函數(shù)f(x).
4. 求所有函數(shù)f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5．設(shè)m≥14是一個(gè)整數(shù)，函數(shù)f：N→N定義如下：
f(n)=,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6．求定義在有理數(shù)集上且滿(mǎn)足下列條件的所有函數(shù)f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), x, y∈Q.
7．是否存在函數(shù)f(n)，將自然數(shù)集N映為自身，且對(duì)每個(gè)n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8．設(shè)p, q是任意自然數(shù)，求證：存在這樣的f(x) ∈Z(x)（表示整系數(shù)多項(xiàng)式集合），使對(duì)x軸上的某個(gè)長(zhǎng)為的開(kāi)區(qū)間中的每一個(gè)數(shù)x, 有
9．設(shè)α，β為實(shí)數(shù)，求所有f: R+→R，使得對(duì)任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2f成立。
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