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2019-2020年高中數(shù)學競賽教材講義 第八章 平面向量
一、基礎知識
定義1 既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號用兩個大寫字母上面加箭頭，或一個小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a. |a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。
定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個非零向量平行和結合律。
定理1 向量的運算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結合律。
定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實數(shù)0，使得a=f
定理3 平面向量的基本定理，若平面內的向量a, b不共線，則對同一平面內任意向是c，存在唯一一對實數(shù)x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。
定義3 向量的坐標，在直角坐標系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i, j作為基底，任取一個向量c，由定理3可知存在唯一一組實數(shù)x, y，使得c=xi+yi，則（x, y）叫做c坐標。
定義4 向量的數(shù)量積，若非零向量a, b的夾角為，則a, b的數(shù)量積記作ab=|a||b|cos=|a||b|cos
，也稱內積，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能為負值）。
定理4 平面向量的坐標運算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，
1．a(chǎn)+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，
2．λa=(λx1, λy1), a(b+c)=ab+ac，
3．a(chǎn)b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),
4. a//bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.
定義5 若點P是直線P1P2上異于p1，p2的一點，則存在唯一實數(shù)λ，使，λ叫P分所成的比，若O為平面內任意一點，則。由此可得若P1，P，P2的坐標分別為(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，則
定義6 設F是坐標平面內的一個圖形，將F上所有的點按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=個單位得到圖形，這一過程叫做平移。設p(x, y)是F上任意一點，平移到上對應的點為，則稱為平移公式。
定理5 對于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |ab|≤|a||b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.
【證明】 因為|a|2|b|2-|ab|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|ab|≥0, |a||b|≥0，
所以|a||b|≥|ab|.
由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的兩個結論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|ab|≤|a||b|，化簡即為柯西不等式： (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|ab|≥0, |a||b|≥0，
所以|a||b|≥|ab|.
由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的兩個結論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|ab|≤|a||b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）對于任意n個向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向與例題
1．向量定義和運算法則的運用。
例1 設O是正n邊形A1A2…An的中心，求證：
【證明】 記，若，則將正n邊形繞中心O旋轉后與原正n邊形重合，所以不變，這不可能，所以
例2 給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是
【證明】必要性。如圖所示，設各邊中點分別為D，E，F(xiàn)，延長AD至P，使DP=GD，則
又因為BC與GP互相平分，
所以BPCG為平行四邊形，所以BGPC，所以
所以
充分性。若，延長AG交BC于D，使GP=AG，連結CP，則因為，則，所以GBCP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G為重心。
例3 在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對角線BD和AC的中點，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【證明】 如圖所示，結結BQ，QD。
因為，
所以
=
= ①
又因為
同理 ， ②
， ③
由①，②，③可得
。得證。
2．證利用定理2證明共線。
例4 △ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。
【證明】 首先
=
其次設BO交外接圓于另一點E，則連結CE后得CE
又AHBC，所以AH//CE。
又EAAB，CHAB，所以AHCE為平行四邊形。
所以
所以，
所以，
所以與共線，所以O，G，H共線。
所以OG：GH=1：2。
3．利用數(shù)量積證明垂直。
例5 給定非零向量a, b. 求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是ab.
【證明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.
例6 已知△ABC內接于⊙O，AB=AC，D為AB中點，E為△ACD重心。求證：OECD。
【證明】 設，
則，
又，
所以
a(b-c). （因為|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）
又因為AB=AC，OB=OC，所以OA為BC的中垂線。
所以a(b-c)=0. 所以OECD。
4．向量的坐標運算。
例7 已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點F，求證：AF=AE。
【證明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點建立直角坐標系，設正方形邊長為1，則A，B坐標分別為（-1，1）和（0，1），設E點的坐標為（x, y），則=(x, y-1), ，因為，所以-x-(y-1)=0.
又因為，所以x2+y2=2.
由①，②解得
所以
設，則。由和共線得
所以，即F，
所以=4+，所以AF=AE。
三、基礎訓練題
1．以下命題中正確的是__________. ①a=b的充要條件是|a|=|b|，且a//b；②(ab)c=(ac)b；③若ab=ac，則b=c；④若a, b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n；⑤若，且a, b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影為-4。
2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達式中：①；②；③ ；④與，相等的有__________.
3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, ab=0，則|x|+|y|=__________.
4．設s, t為非零實數(shù)，a, b為單位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，則a和b的夾角為__________.
5．已知a, b不共線，=a+kb, =la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的__________條件.
6．在△ABC中，M是AC中點，N是AB的三等分點，且，BM與CN交于D，若，則λ=__________.
7．已知不共線，點C分所成的比為2，，則__________.
8．已知=b, ab=|a-b|=2，當△AOB面積最大時，a與b的夾角為__________.
9．把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1, -1), 若，cb=4，則b的坐標為__________.
10．將向量a=(2, 1)繞原點按逆時針方向旋轉得到向量b，則b的坐標為__________.
11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，試問與的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值。
12．在四邊形ABCD中，，如果ab=bc=cd=da，試判斷四邊形ABCD的形狀。
四、高考水平訓練題
1．點O是平面上一定點，A，B，C是此平面上不共線的三個點，動點P滿足 則點P的軌跡一定通過△ABC的________心。
2．在△ABC中，，且ab<0，則△ABC的形狀是__________.
3．非零向量，若點B關于所在直線對稱的點為B1，則=__________.
4．若O為△ABC 的內心，且，則△ABC 的形狀為__________.
5．設O點在△ABC 內部，且，則△AOB與△AOC的面積比為__________.
6．P是△ABC所在平面上一點，若，則P是△ABC 的__________心.
7．已知，則||的取值范圍是__________.
8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________.
9．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM=2，則的最小值為__________.
10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.
11．設G為△ABO的重心，過G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知，△OAB與△OPQ的面積分別為S和T，
（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求的取值范圍。
12．已知兩點M（-1，0），N（1，0），有一點P使得成公差小于零的等差數(shù)列。
（1）試問點P的軌跡是什么？（2）若點P坐標為(x0, y0), 為與的夾角，求tan.
五、聯(lián)賽一試水平訓練題
1．在直角坐標系內，O為原點，點A，B坐標分別為（1，0），（0，2），當實數(shù)p, q滿足時，若點C，D分別在x軸，y軸上，且，則直線CD恒過一個定點，這個定點的坐標為___________.
2．p為△ABC內心，角A，B，C所對邊長分別為a, b, c. O為平面內任意一點，則=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.
3．已知平面上三個向量a, b, c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，則k的取值范圍是___________.
4．平面內四點A，B，C，D滿足，則的取值有___________個.
5．已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內接正五邊形，P為⊙O上任意一點，則取值的集合是___________.
6．O為△ABC所在平面內一點，A，B，C為△ABC 的角，若sinA+sinB+sinC，則點O為△ABC 的___________心.
7．對于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的___________條件.
8．在△ABC 中，，又(cb)：(ba)：(ac)=1：2：3，則△ABC 三邊長之比|a|：|b|：|c|=____________.
9．已知P為△ABC內一點，且，CP交AB于D，求證：
10．已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令，求證：（1）2p=b+c-a；（2）H為△O1O2O3的外心。
11．設坐標平面上全部向量的集合為V，a=(a1, a2)為V中的一個單位向量，已知從V到的變換T，由T(x)=-x+2(xa)a(x∈V)確定，
（1）對于V的任意兩個向量x, y, 求證：T(x)T(y)=xy；
（2）對于V的任意向量x，計算T[T(x)]-x；
（3）設u=(1, 0)；，若，求a.
六、聯(lián)賽二試水平訓練題
1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點，P和R為射線AX上兩點，Q和S為射線BY上的兩點，為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點，為另一定比，試問M，N，T三點的位置關系如何？證明你的結論。
2．已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點M，N分別內分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點共線，求r.
3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個不同于頂點A，B的點M，點P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。
4．在△ABC內，設D及E是BC的三等分點，D在B和F之間，F(xiàn)是AC的中點，G是AB的中點，又設H是線段EG和DF的交點，求比值EH：HG。
5．是否存在四個平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個向量之和均與其余兩個向量之和垂直？
6．已知點O在凸多邊形A1A2…An內，考慮所有的AiOAj，這里的i, j為1至n中不同的自然數(shù)，求證：其中至少有n-1個不是銳角。
7．如圖，在△ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點H，直線ED和AB交于點M，F(xiàn)D和AC交于點N，求證：（1）OBDF，OCDE，（2）OHMN。
8．平面上兩個正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列順序一致，過平面上一點O作，求證△ABC為正三角形。
9．在平面上給出和為的向量a, b, c, d，任何兩個不共線，求證：
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.
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