2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)列的概念與簡單表示法教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)列的概念與簡單表示法教案 新人教A版自主梳理1數(shù)列的定義按照_著的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中的_都叫這個數(shù)列的項(xiàng)；在函數(shù)意義下，數(shù)列是_的函數(shù)，數(shù)列的一般形式為：_，簡記為an，其中an是數(shù)列的第_項(xiàng)1一定順序排列每一個數(shù)定義域?yàn)镹*(或它的子集)a1，a2，a3，an，n2通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的_與_之間的關(guān)系可以_來表示，那么這個式子叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式但并非每個數(shù)列都有通項(xiàng)公式，也并非都是唯一的2.第n項(xiàng)n用一個公式3數(shù)列有三種表示法：它們分別是_、_、_.解析法(通項(xiàng)公式或遞推公式)列表法圖象法4數(shù)列的分類：數(shù)列按項(xiàng)數(shù)來分，分為_、_；按項(xiàng)的增減規(guī)律分為_、_、_和_遞增數(shù)列an1_an；遞減數(shù)列an1_an；常數(shù)列an1_an.按其他標(biāo)準(zhǔn)分類 有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺動數(shù)列 an的符號正負(fù)相間，如1，1,1，1，4.有窮數(shù)列無窮數(shù)列遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動數(shù)列常數(shù)列 0，在遞推關(guān)系式兩邊取對數(shù).有l(wèi)g an12lg anlg 3，令bnlg an，則bn12bnlg 3，bn1lg 32(bnlg 3)，bnlg 3是等比數(shù)列，bnlg 32n12lg 32nlg 3，bn2nlg 3lg 3(2n1)lg 3lg an，an32n1.(5) 由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，又a111，所以數(shù)列ann是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列，ann(a11)4n1，an4n1n. (6) 將an24an13an0變形為an2an13(an1an)，則數(shù)列an1an是以a2a16為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則an1an63n1，利用累加法可得an113n.題型三由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an例3（1）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23n1，求an的通項(xiàng)公式解當(dāng)n1時，a1S12123110；當(dāng)n2時，anSnSn1(2n23n1)2(n1)23(n1)14n5；又n1時，an4151a1，an（2）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和滿足Sn1，且6Sn(an1)(an2)，nN*.求an的通項(xiàng)公式.解由a1S1(a11)(a12)，解得a11或a12，由已知a1S11，因此a12.又由an1Sn1Sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因?yàn)閍n0，故an1an不成立，舍去.因此an1an30.即an1an3，從而an是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故an的通項(xiàng)為an3n1.探究提高(1)已知an的前n項(xiàng)和Sn，求an時應(yīng)注意以下三點(diǎn)：an與Sn的關(guān)系式anSnSn1的條件是n2，求an時切勿漏掉n1，即a1S1的情況由SnSn1an推得的an，當(dāng)n1時，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫”.由SnSn1an推得的an，當(dāng)n1時，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng) 分段表示(“分寫”)，即an(2)利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)是一個重要內(nèi)容，應(yīng)注意Sn與an間關(guān)系的靈活運(yùn)用.變式訓(xùn)練3(1)已知an的前n項(xiàng)和Sn3nb，求an的通項(xiàng)公式(2)已知在正項(xiàng)數(shù)列an中，Sn表示前n項(xiàng)和且2an1，求an.解(1)a1S13b，當(dāng)n2時，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.當(dāng)b1時，a1適合此等式；當(dāng)b1時，a1不適合此等式當(dāng)b1時，an23n1；當(dāng)b1時，an.(2)由2an1，得Sn2，當(dāng)n1時，a1S12，得a11；當(dāng)n2時，anSnSn122，整理，得(anan1)(anan12)0，數(shù)列an各項(xiàng)為正，anan10.anan120.數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列ana1(n1)22n1.(3) 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an2 (n1) (nN*).求證：數(shù)列an為等差數(shù)列，并分別寫出an和Sn關(guān)于n的表達(dá)式；是否存在自然數(shù)n，使得S1(n1)22 013？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由.解由an2(n1)，得Snnan2n(n1) (nN*).當(dāng)n2時，anSnSn1nan(n1)an14(n1)，即anan14，數(shù)列an是以a11為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.于是，an4n3，Sn2n2n (nN*). 由Snnan2n(n1)，得2n1 (nN*)，S1(n1)21357(2n1)(n1)2n2(n1)22n1.令2n12 013，得n1 007，即存在滿足條件的自然數(shù)n1 007.題型四用函數(shù)的思想方法解決數(shù)列問題數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列.因此，在研究函數(shù)問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性.例4已知數(shù)列an. (1)若ann25n4，數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值.(2)若ann2kn4且對于nN*，都有an1an成立.求實(shí)數(shù)k的取值范圍.(1)求使an0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值.(2)數(shù)列是一類特殊函數(shù)，通項(xiàng)公式可以看作相應(yīng)的解析式f(n)n2kn4.f(n)在N*上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù). 解(1)由n25n40，解得1nan知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式ann2kn4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到nN*，所以3. (1)本題給出的數(shù)列通項(xiàng)公式可以看做是一個定義在正整數(shù)集N*上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對稱軸來研究其單調(diào)性，得到實(shí)數(shù)k的取值范圍，使問題得到解決.(2)在利用二次函數(shù)的觀點(diǎn)解決該題時，一定要注意二次函數(shù)對稱軸位置的選取.(3)易錯分析：本題易錯答案為k2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù).(3)已知數(shù)列an的通項(xiàng)an(n1)n (nN*)，試問該數(shù)列an有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由解方法一令，n9或n10時，an最大，即數(shù)列an有最大項(xiàng)，此時n9或n10.方法二an1an(n2)n1(n1)nn，當(dāng)n0，即an1an；當(dāng)n9時，an1an0，即an1an；當(dāng)n9時，an1an0，即an1an.故a1a2a3a11a12，數(shù)列an中有最大項(xiàng)，為第9、10項(xiàng)有關(guān)數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)，數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性常用作差法，作商法，圖象法求最大項(xiàng)時也可用an滿足；若求最小項(xiàng)，則用an滿足.數(shù)列實(shí)質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)，所以本題就是用函數(shù)的思想求最值方法與技巧1.求數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng).通常用觀察法(對于交錯數(shù)列一般用(1)n或(1)n1來區(qū)分奇偶項(xiàng)的符號)；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，若求通項(xiàng)可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法.2.強(qiáng)調(diào)an與Sn的關(guān)系：an.3.已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)：對這類問題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有三種常見思路：(1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想；(2)“an1panq”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an1p(an)，由待定系數(shù)法求出，再化為等比數(shù)列；(3)逐差累加或累乘法.數(shù)列的概念與簡單表示法一、選擇題1.下列說法正確的是 ()A.數(shù)列1,3,5,7可表示為1,3,5,7B.數(shù)列1,0，1，2與數(shù)列2，1,0,1是相同的數(shù)列C.數(shù)列的第k項(xiàng)為1 D.數(shù)列0,2,4,6，可記為2n2.數(shù)列an中，a1a21，an2an1an對所有正整數(shù)n都成立，則a10等于()A.34 B.55 C.89 D.1003.如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan3，那么這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是()A.an2(n2n1) B.an32nC.an3n1D.an23n二、填空題4.已知數(shù)列an對于任意p，qN*，有apaqapq，若a1，a36_4_.5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對任意nN*都有Snan，且1Sk0，解得n6或na1a2a3a4； a5a6a7an1 (nN*).數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a52，最小項(xiàng)為a40.(2)an11.對任意的nN*，都有ana6成立，并結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，56，10a8.9寫出下列各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式(1)1，2，3，4，； (2)1，.9解(1)a11，a22，a33，ann(nN*)(2)a1，a2，a3， a4，an(1)n(nN*)10由下列數(shù)列an遞推公式求數(shù)列an的通項(xiàng)公式：(1)a11，anan1n (n2)； (2)a11， (n2)；(3)a11，an2an11 (n2)10解(1)由題意得，anan1n，an1an2n1，a3a23，a2a12.將上述各式等號兩邊累加得， ana1n(n1)32，即ann(n1)321，故an. (2)由題意得，.將上述各式累乘得，故an (3)由an2an11，得an12(an11)，又a1120，所以2，即數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列所以an12n，即an2n111已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n22n，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn2bn.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cnabn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n3時，cn1cn.11(1)解a1S14對于n2有anSnSn12n(n1)2(n1)n4n.a1也適合，an的通項(xiàng)公式an4n將n1代入Tn2bn，得b12b1，故T1b11(求bn方法一)對于n2，由Tn12bn1，Tn2bn，得bnTnTn1(bnbn1)，bnbn1，bn21n (求bn方法二)對于n2，由Tn2bn得Tn2(TnTn1)，2Tn2Tn1，Tn2(Tn12)，Tn221n(T12)21n， Tn221n，bnTnTn1(221n)(222n)21n.b11也適合綜上，bn的通項(xiàng)公式bn21n. (2)證明方法一由cnabnn225n，得2當(dāng)且僅當(dāng)n3時，1，0，即cn1cn方法二由cnabnn225n，得cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22當(dāng)且僅當(dāng)n3時，cn1cn 0，即cn1 cn.