2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量教案 理 新人教A版.DOC

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量教案 理 新人教A版 考綱要求：1.了解向量的實(shí)際背景． 2．理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義． 3．理解向量的幾何表示． 4．掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義． 5．掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義． 6．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義． 1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量共線． (5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量． 2．向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 |λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μ a)＝(λ μ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大?。?　　) (2)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來(lái)表示向量．(　　) (　　) (4)向量a－b與b－a是相反向量．(　　) (5)若a∥b，b∥c，則a∥c.(　　) (6)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．(　　) (7)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．(　　) 答案：(1)√　(2)　(3)√　(4)√　(5)　(6)　(7)√ 2.如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，則圖中與相等的向量有________． 3．化簡(jiǎn)： 4．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. 答案：－ [典題1]　(1)給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正確命題的序號(hào)是(　　) A．②③　　　　　　B．①②　　　　C．③④ 　　　　　 D．①④ (2)給出下列命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量； ②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。? ③λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零； ④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 　　　　　　　　　　D．4 [聽(tīng)前試做]　(1)①不正確．兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同． ②正確． 又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)， ∴四邊形ABCD為平行四邊形； 反之，若四邊形ABCD為平行四邊形， ③正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同， ∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c. ④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． 綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.故選A. (2)①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)． ②正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大?。? ③錯(cuò)誤，當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為何值，λa＝0. ④錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb＝0，此時(shí)，a與b可以是任意向量．故選C. 答案：(1)A　(2)C (1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性． (2)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)． (3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談． (4)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量． (2)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若 (λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_______． 答案：(1)A　(2) 答案： 向量線性運(yùn)算的解題策略 (1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則． (2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解． [典題3]　設(shè)兩個(gè)非零向量a和b不共線． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求證：A、B、D三點(diǎn)共線． (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． (2)因?yàn)閗a＋b與a＋kb共線， 所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即解得k＝1. 即k＝1時(shí)，ka＋b與a＋kb共線． [探究1]　若將本例(1)中“＝2a＋8b”改為“＝a＋mb”，則m為何值時(shí)，A、B、D三點(diǎn)共線？ 即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴解得m＝7. 故當(dāng)m＝7時(shí)，A、B、D三點(diǎn)共線． [探究2]　若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？ 解：因?yàn)閗a＋b與a＋kb反向共線， 所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)， 所以所以k＝1. 又λ<0，k＝λ，所以k＝－1. 故當(dāng)k＝－1時(shí)兩向量反向共線． (1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線． (2)向量a，b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，則向量a，b不共線． 1．已知a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，且a與b起點(diǎn)相同．若a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一直線上，則t＝________. 解析：∵a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與b起點(diǎn)相同．∴a－tb與a－(a＋b)共線，即a－tb與a－b共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使a－tb＝λ， ∴解得λ＝，t＝， 即t＝時(shí)，a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上． 答案： 答案：3 —————————————[課堂歸納——感悟提升]—————————————— [方法技巧] 1．向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”． [易錯(cuò)防范] 1．解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件．要特別注意零向量的特殊性． 2．在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤． 一、選擇題 1．給出下列命題：①零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量與相等；④若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線．則所有正確命題的序號(hào)是(　　) A．① 　　　 B．③ 　　　　 C．①③ 　　　　 D．①④ 解析：選A　根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；向量與互為相反向量，故③錯(cuò)誤；由于方向相同或相反的向量為共線向量，故與也可能平行，即A，B，C，D四點(diǎn)不一定共線，故④錯(cuò)誤． 2．已知A、B、C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足則下列結(jié)論正確的是(　　) 3．如圖，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C、D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，＝a，＝b，則＝(　　) A．a(chǎn)－b　　　　　　 B.a－b C．a(chǎn)＋b 　　　　　　 D.a＋b 4．(xx天水模擬)A、B、O是平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn)，且點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為R，則＝(　　) A．a(chǎn)－b 　　　　　　　 B．2(b－a) C．2(a－b) 　　　　　　D．b－a 5．(xx日照模擬)在△ABC中，P是BC邊的中點(diǎn)，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若則△ABC的形狀為(　　) A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形但不是等邊三角形 二、填空題 6．(xx包頭模擬)如圖，在△ABC中，AH⊥BC交BC于H，M為AH的中點(diǎn)，若則λ＋μ＝________. 答案： 7．△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足則△PBC與△ABC的面積之比是________． 答案： 答案：2 三、解答題 A．反向平行　　　　　　　 B．同向平行 C．互相垂直 　　　　　　　D．既不平行也不垂直 2．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若EF―→＝mAB―→＋nAD―→ (m，n∈R)，則的值為(　　) A．－2 　　　 B．－ 　　　　 C．2 　　　D. 3. 如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且則的值為(　　) A．3 　　　　　　 B. 　　　　　C．2 　　　　　 D. 解析：選B　利用三角形的性質(zhì)，過(guò)重心作平行于底邊BC的直線，易得x＝y(tǒng)＝，則＝. 4.如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)S，R，Q，P分別為AP，SD，RC，QB的中點(diǎn)，若＝ma＋nb，則m＋n＝________. 答案： 第二節(jié)　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 考綱要求：1.了解平面向量基本定理及其意義． 2．掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示． 3．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算． 4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件． 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)． ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 3．平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底．(　　) (2)在△ABC中，向量，的夾角為∠ABC.(　　) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　) (4)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (5)若兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同．(　　) (6)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．(　　) (7)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成＝.(　　) 答案：(1)　(2)　(3)　(4)√　(5)　(6)√　(7)　 答案：4 3．已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，則3a＋4b＝________，3a－4b＝________. 答案：(－6,19)　(18，－13) 4．O是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)k＝________時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線． 答案：－2或11 [典題1]　在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________. 于是得即故λ＋μ＝. 答案： 解得 即＝(2d－c)＝d－c， ＝(2c－d)＝c－d. (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算． (2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決． [典題2]　(1)(xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　　　B．(7,4) C．(－1,4) 　　　　　　　　　D．(1,4) (2)若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)則c＝(　　) A．－a＋b 　　　　　B.a－b C.a－b 　　　　　　　D．－a＋b (3)(xx海淀模擬)已知向量a＝(1,1)，點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)B為直線y＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若∥a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______． [聽(tīng)前試做]　(1)法一：設(shè)C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． (2)設(shè)c＝λ1a＋λ2b，則(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝，λ2＝－，所以c＝a－b. (3)設(shè)B(x,2x)，＝(x－3,2x)． ∵∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3， ∴B(－3，－6)． 答案：(1)A　(2)B　(3)(－3，－6) 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則． 平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬容易題，且主要有以下幾個(gè)命題角度： 角度一：利用向量共線求參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo) [典題3]　(1)(xx四川高考)設(shè)向量a＝(2,4)與向量b＝(x,6)共線，則實(shí)數(shù)x＝(　　) A．2 　　　　B．3 　　　　C．4 　　　　 D．6 (2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______． [聽(tīng)前試做]　(1)∵a∥b，∴26－4x＝0，解得x＝3. (2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴＝2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)． 答案：(1)B　(2)(2,4) (1)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便． (2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． 角度二：利用向量共線解決三點(diǎn)共線問(wèn)題 (2)由題設(shè)，知＝d－c＝2b－3a， ＝e－c＝(t－3)a＋tb. C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. ①若a，b共線，則t可為任意實(shí)數(shù)； ②若a，b不共線，則有解得t＝. 綜上，可知a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)； a，b不共線時(shí)，t＝. 答案：(1)1 A、B、C三點(diǎn)共線?AB―→與AC―→共線． [典題5]　 (1)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. (2)給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量 它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)．若其中x，y∈R，求x＋y的最大值． [聽(tīng)前試做]　(1)設(shè)i，j分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根據(jù)平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－，所以＝4. (2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則A(1，0)，B－，，設(shè)∠AOC＝αα∈0，，則C(cos α，sin α)， 由得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α， 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以當(dāng)α＝時(shí)，x＋y取得最大值2. 答案：(1)4 本題(2)的難點(diǎn)是選擇合適的變量表示x＋y，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解，而破解這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)為C(cos α，sin α)，然后借助求出x，y，從而利用三角函數(shù)的知識(shí)求出x＋y的最大值． —————————————[課堂歸納——感悟提升]—————————————— [方法技巧] 1．兩向量平行的充要條件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是a＝λb，這與x1y2－x2y1＝0在本質(zhì)上是沒(méi)有差異的，只是形式上不同． 2．三點(diǎn)共線的判斷方法 判斷三點(diǎn)是否共線，先求由三點(diǎn)組成的任兩個(gè)向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定． 3．若a與b不共線且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0. [易錯(cuò)防范] 1．若a，b為非零向量，當(dāng)a∥b時(shí)，a，b的夾角為0或180，求解時(shí)容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯(cuò)； 2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. 一、選擇題 A．(－4,10)　　　　B．(－2,5) 　　C．(4,5) 　　　 D．(8,10) 2．下列各組向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是(　　) A．① 　　 B．①③ 　　 C．②③ 　　D．①②③ 解析：選B?、谥校琫1＝e2，即e1與e2共線，所以不能作為基底． 3．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，則銳角θ＝(　　) A. 　　　　　B. 　　　 C. 　　　　　 D. 解析：選B　因?yàn)閍∥b，所以(1－sin θ)(1＋sin θ)－1＝0，得sin2θ＝，所以sin θ＝，故銳角θ＝. 4．設(shè)向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，則x的值是(　　) A．2 　　　B．－2 　　　　C．2 　　　　 D．0 解析：選B　因?yàn)閍與b方向相反，所以b＝ma，m<0，則有(4，x)＝m(x,1)，∴解得m＝2.又m<0，∴m＝－2，x＝m＝－2. 5．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ為實(shí)數(shù))，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，2) 　　　　　　　　　　　 B．(2，＋∞) C．(－∞，＋∞) 　　　　　　　　　　D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：選D　由題意知向量a，b不共線，故2m≠3m－2，即m≠2. 二、填空題 6．(xx雅安模擬)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b與c共線，則k＝________. 解析：∵a－2b＝(，3)，且a－2b∥c，∴－3k＝0，解得k＝1. 答案：1 解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xAy，則＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)，由題意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即解得所以λμ＝－3. 答案：－3 8．(xx江蘇高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______． 解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 三、解答題 (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M，N的坐標(biāo)及向量MN―→的坐標(biāo)． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 即所求實(shí)數(shù)m的值為－1，n的值為－1. (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 10．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及求： (1)t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？ (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 若P在x軸上，則2＋3t＝0，∴t＝－；若P在y軸上，則1＋3t＝0，∴t＝－； 若P在第二象限，則∴－0，n>0)，求mn的最大值． 解：以A為原點(diǎn)，線段AC、AB所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)△ABC的腰長(zhǎng)為2，則B(0,2)，C(2，0)，O(1,1)． ∵ ∴M，N，∴直線MN的方程為＋＝1， ∵直線MN過(guò)點(diǎn)O(1,1)，∴＋＝1，即m＋n＝2， ∴mn≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)取等號(hào)， ∴mn的最大值為1. 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積 考綱要求：1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系． 1．平面向量的數(shù)量積 (1)向量的夾角 ①定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作則∠AOB就是向量a與b的夾角． ②范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0≤θ≤180. ③共線與垂直：若θ＝0，則a與b同向；若θ＝180，則a與b反向；若θ＝90，則a與b垂直． (2)平面向量的數(shù)量積 ①定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab＝|a||b|cos θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a＝0. ②幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角． ①數(shù)量積：ab＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夾角：cos θ＝＝. ④兩非零向量a⊥b的充要條件：ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. ⑤|ab|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤ . 3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab＝ba(交換律)． (2)λab＝λ(ab)＝a(λb)(結(jié)合律)． (3)(a＋b)c＝ac＋bc(分配律)． 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量．(　　) (2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量．(　　) (3)由ab＝0，可得a＝0或b＝0.(　　) (4)兩向量a⊥b的充要條件：ab＝0?x1x2＋y1y2＝0.(　　) (5)若ab＞0，則a和b的夾角為銳角；若ab＜0，則a和b的夾角為鈍角．(　　) (6)(ab)c＝a(bc)．(　　) (7)ab＝ac(a≠0)，則b＝c.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)　(4)　(5)　(6)　(7) 2．已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120，則ab＝________. 答案：－10 3．已知|a|＝，|b|＝2，a與b的夾角為30，則|a－b|＝________. 答案：1 4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，則實(shí)數(shù)x等于________． 答案：9 5．已知單位向量e1，e2的夾角為60，則向量a＝2e1＋e2與b＝2e2－3e1的夾角為_(kāi)_______． 答案：120 [典題1]　(1)(xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)a＝(　　) A．－1　　　　　　　　　　B．0 C．1 　　　　　　　　　　 D．2 (2)(xx天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60.動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且則的最小值為_(kāi)_______． [聽(tīng)前試做]　(1)法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴a2＝2，ab＝－3， 從而(2a＋b)a＝2a2＋ab＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 從而(2a＋b)a＝(1,0)(1，－1)＝1，故選C. (2)在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60， 可得AD＝DC＝1. 建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0)，B(2,0)，C，D， ∴＝ ＝＋λ＝＋＋λ ≥＋2＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝λ，即λ＝時(shí)取等號(hào)，符合題意． ∴的最小值為. 答案：(1)C　(2) 求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義． 1．(xx成都模擬)△ABC中，點(diǎn)M在線段AC上，點(diǎn)P在線段BM上，且滿足＝＝2，若＝2，＝3，∠BAC＝90，則的值為(　　) A．1 　　　　　　　　　 B．－ C. 　　　　　　　　　　D．－ 2．(xx合肥聯(lián)考)已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60，則a＋b在a上的投影為_(kāi)_______． 解析：∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2ab＝1＋4＋212＝7，∴|a＋b|＝，cos〈a＋b，a〉＝＝＝.∴a＋b在a上的投影為|a＋b|cos〈a＋b，a〉＝＝2. 答案：2 [典題2]　(1)(xx重慶高考)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為(　　) 　A. 　　　　　　B.　　　　　 C.　　　　　　 D．π (2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實(shí)數(shù)k＝(　　) A．－　　　　 B．0　　　　 C．3　　　　 　D. [聽(tīng)前試做]　(1)由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)(3a＋2b)＝0，即3a2－ab－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，設(shè)〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2cos θ－2|b|2＝0.∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝. (2)因?yàn)?a－3b＝(2k,6)－(3,12)＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，選C. 答案：(1)A　(2)C [探究1]　在本例(2)的條件下，若a與c的夾角的余弦值為，求k的值． 解：∵cos〈a，c〉＝＝＝， ∴2k＋3＝，即4k2＋9＋12k＝k2＋9， ∴k2＋4k＝0，解得k＝0或k＝－4， 又2k＋3>0，∴k＝0. [探究2]　在本例(2)的條件下，若2a－3b與c的夾角為鈍角，求k的取值范圍． 解：∵2a－3b與c的夾角為鈍角，∴(2a－3b)c<0， 即(2k－3，－6)(2,1)<0， ∴4k－6－6<0，即k<3. 又若(2a－3b)∥c，則2k－3＝－12，即k＝－.當(dāng)k＝－時(shí)，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b與c反向． 綜上，k的取值范圍為∪. (1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若a，b為非零向量，cos θ＝(夾角公式)，a⊥b?ab＝0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度、垂直問(wèn)題． (2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角． [典題3]　(1)(xx衡水模擬)已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為，那么|4a－b|＝(　　) A．2 　　　　B．6 　　　　C．2 　　　　 D．12 (2)在平面直角坐標(biāo)系中，O 為原點(diǎn)，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)D 滿足的取值范圍是________． [聽(tīng)前試做]　(1)|4a－b|2＝16a2＋b2－8ab＝161＋4－812cos＝12.∴|4a－b|＝2. (1，－)距離的最大值，其最大值為圓(x－3)2＋y2＝1的圓心到點(diǎn)(1，－)的距離加上圓的半徑，即＋1＝＋1，最小值為－1＝－1，故取值范圍為[－1，＋1]． 答案：(1)C　(2)[－1，＋1] 求向量模的常用方法 (1)若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永脇a|＝. (2)若向量a，b是非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2＝a2＝aa，或|ab|2＝(ab)2＝a22ab＋b2，先求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解． 已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中， D為BC中點(diǎn)，則等于(　　) A．2　　　　　　　B．4 　　　　C．6 　　　　D．8 —————————————[課堂歸納——感悟提升]—————————————— [方法技巧] 1．計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義．要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用． 2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算． 3．利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧． [易錯(cuò)防范] 1．?dāng)?shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，ab＝ac(a≠0)不能得出b＝c，兩邊不能約去一個(gè)向量． 2．兩個(gè)向量的夾角為銳角，則有ab>0，反之不成立；兩個(gè)向量夾角為鈍角，則有ab<0，反之不成立． 一、選擇題 1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，則ab為(　　) A．12 　　　　　　 B．8 　　　　　 C．－8 　　　　　　　　 D．2 解析：選A　∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴ab＝|a||b|cos〈a，b〉＝34＝12. 2．已知p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，則|p＋q|的值為(　　) A. 　　　　　　　 B. 　　　　　C．5 　　　　　　　　D．13 解析：選B　由題意得26＋3x＝0?x＝－4?|p＋q|＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝. A．－2 　　　　　　B．2 　　　　　　　　C．4 　　　　　　 D．2 解析：選D　S△ABC＝|AB||AC|sin∠BAC＝41sin∠BAC＝.∴sin∠BAC＝，cos∠BAC＝， 4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝(　　) A. 　　　　　　　 B. C. 　　　　　　　 D. 解析：選D　設(shè)c＝(x，y)，則c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)，又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)(3，－1)＝3x－y＝0，② 聯(lián)立①②，解得x＝－，y＝－. 5.如圖，已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則 (　　) A．最大值為8　　　　　　　B．為定值6 C．最小值為2　　　　　　　D．與P的位置有關(guān) 二、填空題 6．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則等于________． 答案：－ 7．(xx浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1e2＝.若平面向量b滿足be1＝be2＝1，則|b|＝________. 解析：∵e1e2＝， ∴|e1||e2|cose1，e2＝，∴e1，e2＝60. 又∵be1＝be2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30. 由be1＝1，得|b||e1|cos 30＝1，∴|b|＝＝. 答案： 8．設(shè)a，b，c是單位向量，且ab＝0，則(a＋c)(b＋c)的最大值為_(kāi)_______． 解析：法一：設(shè)向量c與a＋b的夾角為θ，則有|a＋b|＝＝＝，(a＋c)(b＋c)＝(a＋b)c＋c2＝1＋cos θ，故最大值是1＋. 法二：∵a，b是單位向量，且ab＝0， 故可設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)． 又c是單位向量，故可設(shè)c＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π)． ∴(a＋c)(b＋c) ＝(1＋cos θ，sin θ)(cos θ，1＋sin θ) ＝(1＋cos θ)cos θ＋sin θ(1＋sin θ) ＝cos θ＋cos2θ＋sin θ＋sin2θ ＝1＋cos θ＋sin θ ＝1＋sin. ∴(a＋c)(b＋c)的最大值為1＋. 答案：1＋ 三、解答題 10．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120. (1)計(jì)算：①|(zhì)a＋b|，②|4a－2b|； (2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，ab＝48＝－16. (1)①∵|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2＝16＋2(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4. ②∵|4a－2b|2＝16a2－16ab＋4b2＝1616－16(－16)＋464＝768， ∴|4a－2b|＝16. (2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)(ka－b)＝0， ∴ka2＋(2k－1)ab－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－264＝0.∴k＝－7. 即k＝－7時(shí)，a＋2b與ka－b垂直． A．6 　　　　 B．5　　　　C．4 　　　　 D．3 3．在△ABC中，P0是AB的中點(diǎn)，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有則有(　　) A．AB＝BC　　　　 　　　　　 B．AC＝BC C．∠ABC＝90 　　　　　　　 D．∠BAC＝90 4．單位圓上三點(diǎn)A，B，C滿足則向量的夾角為_(kāi)_______． 答案：120 第四節(jié)　平面向量應(yīng)用舉例 考綱要求：1.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題． 2．會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題. 1．向量在幾何中的應(yīng)用 (1)證明線線平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，常用共線向量定理：a∥b?a＝λb?a1b2－a2b1＝0(b≠0)． (2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)： a⊥b?ab＝0?a1b1＋a2b2＝0. (3)平面幾何中夾角與線段長(zhǎng)度計(jì)算： ①cosa，b＝＝， ②|AB|＝＝. 2．向量在解析幾何中的應(yīng)用 (1)向量a＝(a1，a2)平行于直線l，則直線l的斜率k＝(a1≠0)． (2)若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行． 3．平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)向量的加法、減法在力的分解與合成中的應(yīng)用． (2)向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用． (3)向量的數(shù)量積在合力做功問(wèn)題中的應(yīng)用：W＝Fs. 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) 答案：(1)√　(2)　(3)√　(4) A．鈍角三角形 　　　　　　　　B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 　　　　　　 D．直角三角形 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點(diǎn)A(1,2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足＝4，則點(diǎn)P的軌跡方程是______________________________． 解析：由＝4，得(x，y)(1,2)＝4，即x＋2y＝4. 答案：x＋2y－4＝0 4．河水的流速為2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為_(kāi)_______． 解析：如圖所示，v1表示河水的速度，v2表示小船在靜水中的速度，v表示小船的實(shí)際速度，則|v2|＝＝2(m/s)． 答案：2 m/s (　　) A．內(nèi)心　　　B．外心　　　C．重心　　　D．垂心 [聽(tīng)前試做]　由原等式，得即根據(jù)平行四邊形法則，知是△ABC的中線AD(D為BC的中點(diǎn))所對(duì)應(yīng)向量的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)△ABC的重心． 答案：C 向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法 (1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決． (2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解． 　已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______． 解析： 以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝b，則D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，b)，＝(2，－b)，＝(1，a－b)， 則＝25＋(3a－4b)2.由點(diǎn)P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，知0≤b≤a， 因此當(dāng)b＝a時(shí)，的最小值為25. ∴的最小值為5. 答案：5 [典題2]　已知點(diǎn)P(0，－3)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，點(diǎn)M滿足當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程． ，∴∴ 把a(bǔ)＝－代入①，得－＋3y＝0，整理得 y＝x2(x≠0)． 所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y＝x2(x≠0)． 向量在解析幾何中的作用 (1)載體作用：向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題． (2)工具作用：利用a⊥b?ab＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問(wèn)題．特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題是一種比較可行的方法． 如圖所示，直線x＝2與雙曲線C：－y2＝1的漸近線交于E1，E2兩點(diǎn)．記＝e1，＝e2，任取雙曲線C上的點(diǎn)P，若＝ae1＋be2(a，b∈R)，則ab的值為(　　) A.　　　　　　B．1　　　　　　C.　　　　　　D. 解析：選A　由題意易知E1(2,1)，E2(2，－1)，∴e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，故＝ae1＋be2＝(2a＋2b，a－b)，又點(diǎn)P在雙曲線上，∴－(a－b)2＝1，整理可得4ab＝1，∴ab＝. 向量的共線與垂直和向量的數(shù)量積之間的關(guān)系以其獨(dú)特的表現(xiàn)形式成為高考命題的亮點(diǎn)，它常與三角函數(shù)相結(jié)合，在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，且主要有以下幾個(gè)命題角度： 角度一：向量與三角恒等變換的結(jié)合 [典題3]　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.且a＋b＝(0,1)，則α＝________，β＝________. [聽(tīng)前試做]　因?yàn)閍＋b＝(0,1)，所以 由此得，cos α＝cos(π－β)．由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β. 代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝. 又α>β，所以α＝，β＝. 答案：　 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)向量間的關(guān)系把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的條件求值，然后利用三角函數(shù)的相關(guān)公式求解． 角度二：向量與三角函數(shù)的結(jié)合 [典題4]　設(shè)向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種運(yùn)算：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝.點(diǎn)P在y＝cos x的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在y＝f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足 (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則y＝f(x)在區(qū)間上的最大值是(　　) A．4　　　　B．2　　　　C．2　　　　D．2 (x0，y0)＋＝＋＝x0＋，4y0，即x＝x0＋，y＝4y0，即x0＝2x－，y0＝y(tǒng)，所以y＝cos，即y＝4cos.因?yàn)辄c(diǎn)Q在y＝f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，所以f(x)＝4cos，當(dāng)≤x≤時(shí)，0≤2x－≤，所以當(dāng)2x－＝0時(shí)，f(x)取得最大值4. 答案：A 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，化簡(jiǎn)三角函數(shù)關(guān)系式，然后研究三角函數(shù)的性質(zhì)． 角度三：向量與解三角形的結(jié)合 [典題5]　已知函數(shù)f(x)＝ab，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R. (1)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)與n＝(2，sin C)共線，求邊長(zhǎng)b和c的值． [聽(tīng)前試做]　(1)f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ－，kπ＋(k∈Z)． (2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1， ∴cos＝－1，又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝. ∵a＝，∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.① ∵向量m＝(3，sin B)與n＝(2，sin C)共線，∴2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c，② 由①②得b＝3，c＝2. 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問(wèn)題． ————————————[課堂歸納——感悟提升]——————————————— [方法技巧] 1．用向量解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．一般是先畫(huà)出向量示意圖，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題解決． 2．牢記以下4個(gè)結(jié)論 [易錯(cuò)防范] 1．注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系，兩者并不等價(jià)． 2．注意向量共線和兩直線平行的關(guān)系． 3．利用向量解決解析幾何中的平行與垂直，可有效解決因斜率不存在使問(wèn)題漏解的情況． 一、選擇題 1．在△ABC中，“△ABC為直角三角形”是“＝0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 解析：選B　若△ABC為直角三角形，角B不一定為直角，即不一定等于0；若＝0，則AB⊥BC，故角B為直角，即△ABC為直角三角形，故“△ABC為直角三角形”是“＝0”的必要不充分條件． 2．已知點(diǎn)M(－3,0)，N(3,0)．動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足＝0，則點(diǎn)P的軌跡的曲線類型為(　　) A．雙曲線　　　　　　　　B．拋物線 C．圓 　　　　　　　　　D．橢圓 3．已知非零向量a，b，滿足a⊥b，則函數(shù)f(x)＝(ax＋b)2(x∈R)是(　　) A．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) B．非奇非偶函數(shù) C．偶函數(shù) D．奇函數(shù) 解析：選C　因?yàn)閍⊥b，所以ab＝0，所以f(x)＝(ax＋b)2＝|a|2x2＋2abx＋|b|2＝|a|2x2＋|b|2，所以函數(shù)f(x)＝(ax＋b)2為偶函數(shù)． A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰非等邊三角形 解析：選C　由知，角A的平分線與BC垂直，知，cos A＝，∴A＝60.∴△ABC為等邊三角形． 5．在△ABC中，滿足則角C的大小為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 二、填空題 6．在△ABC中，若則邊AB的長(zhǎng)等于________． 答案：2 7．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x－ab＝0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是________． 解析：由已知可得Δ＝|a|2＋4ab＝0，即4|b|2＋42|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－，又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 答案： 8．設(shè)向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若以向量a＋b與a－2b為鄰邊所作的平行四邊形是菱形，則cos(β－α)＝________. 解析：由題意知，|a＋b|＝|a－2b|，所以a2＋2ab＋b2＝a2－4ab＋4b2，所以2ab＝b2，即4cos (β－α)＝1，所以cos(β－α)＝. 答案： 三、解答題 9．已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2S△ABC＝. (1)求角B的大??；