2019-2020年高中數學 2.1.1 數列教案 新人教B版必修5.doc

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2019-2020年高中數學 2.1.1 數列教案 新人教B版必修5 教學分析　　　　　 本節(jié)教材通過舉例引出數列概念，教材上列舉了7個例子，這7列數的排列都具有一定的規(guī)律，教學時也可舉幾個各項數是隨機的、沒有什么規(guī)律的例子．注意函數定義域的表述．符號N＋與N*表示正整數或非0自然數．教材中的例1可由學生自己完成．例2中的3個小題都要通過觀察并分析數的性質，有一定難度．例3是為了加強數列與函數的聯系，教學時要重視． 對數列概念的引入可作適當拓展．一方面從研究數的角度提出數列概念，使學生感受數列是刻畫自然規(guī)律的基本數學模型；另一方面可從生活實際引入，如銀行存款利息、購房貸款等，使學生對這些現象的數學背景有更直觀認識，感受數列研究的現實意義，以激發(fā)學生學習數列的興趣． (1)教學中要注意留給學生回味、思考的空間和余地． (2)數列是一種特殊函數，其定義域是正整數集N*(或它的有限子集)，值域是當自變量順次從小到大依次取值時的對應值．教科書通過數列的定義域與值域之間這種一一對應關系的列表，讓學生加深對數列是一種特殊函數的認識． (3)對于函數y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意義，這些函數值也可以組成一個數列，教學中要注意數列與函數的這種關系的把握． 教材上對數列進行了兩種分類：有窮數列，無窮數列；遞增數列，遞減數列，常數列，擺動數列．這些分類的嚴格定義不要求學生記憶，只要學生知道上述分類是依據不同分類標準得出的并能對所給數列的類別作出準確判斷就可以了． 三維目標　　　　　 1．通過本節(jié)學習，讓學生理解數列的概念，理解數列是一種特殊函數，把數列融于函數之中；了解數列的通項公式，并會用通項公式寫出數列的任意一項，對于比較簡單的數列，會根據其前幾項寫出它的通項公式． 2．通過探究、思考、交流、實驗、觀察、分析等教學方式，充分發(fā)揮學生的主體作用，并通過日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手試驗，大膽猜想．培養(yǎng)學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度． 3．通過本節(jié)章頭圖的學習，體會數學來源于生活，理解大自然的豐富多彩，感受“大自然是懂數學的”，從而提高學生學習數學的興趣． 重點難點　　　　　 教學重點：理解數列及其有關的概念，了解數列通項公式的意義；了解數列和函數之間的關系． 教學難點：根據數列的前幾項，歸納出數列的通項公式． 課時安排　　　　　 1課時 教學過程 導入新課　　　　　 思路1.(章頭圖引入)斐波那契(Fibonacci Leonardo，約1170～1250)，意大利著名數學家，保存至今的斐波那契著作有5部，其中影響最大的是1202年在意大利出版的《算盤全書》，《算盤全書》中許多有趣的問題中最富成功的問題是著名的兔子繁殖問題：如果每對兔子每月繁殖一對子兔(一雌一雄)，而子兔在出生后第三個月里就又能生1對子兔．試問一對兔子50個月會有多少對兔子？由此展開新課的探究． 思路2.(直接引入)利用多媒體打出教材前言中的幾列數．這是與集合中的元素不同的一列數，有一定的次序，告訴學生這就是我們要研究的數列，由此直接進入新課． 推進新課　　　　　 (1)閱讀課本章頭圖，列出前5個月中每個月兔子的總對數. (2)每個同學取一張紙對折，假設紙的原來厚度為1個長度單位，面積為1個面積單位，那么隨著依次對折的次數增加，它的厚度和每層紙的面積分別是多少？ (3)怎樣理解數列？與集合有什么不同？什么是數列的項？怎樣表示數列a1，a2，a3，…，an，…？ (4)你能舉出身邊的哪些數列？ (5)怎樣對數列分類？什么是有窮數列？什么是遞增數列？ (6)怎樣理解數列與函數的關系？ (7)什么是數列的通項公式？ (8)數列有哪些簡單的表示方法？ 活動：教師引導學生閱讀課本章頭的插圖，直觀感知大自然是懂數學的，激起進一步探究的欲望．通過閱讀課本，知道三角形數是1,3,6,10，….由于這些數都能夠表示成三角形，就將其稱為三角形數，知道正方形數是1,4,9,16，….由于這些數都能夠表示成正方形，所以被稱為正方形數．教師將兩列數用課本演示出來，引導學生觀察它們的共同特征．接下來讓學生折紙可得到兩列數，隨著對折數的增加，厚度依次為2,4,8,16，…，256，…；隨著對折數的增加，面積依次為，，，，…，，…. 教師引導學生閱讀課本并弄清有窮數列、無窮數列的概念，之后提出問題：相同的一組數按不同順序排列時，是否為同一個數列？一個數列中的數可以重復嗎？0,0,0，…，0，…是數列嗎？讓學生結合數列的概念進行辨析．顯然，根據數列的概念1,2,3；2,3,1是兩個不同的數列.0,0,0，…，0，…也是數列．這點與集合不同．集合講究無序性、互異性、確定性，而數列強調有順序，且同一數字可重復．也就是說數列具有確定性、有序性、可重復性，這樣根據數列的每一項隨序號變化的情況可以對數列進行分類，按項數多少可分為有窮數列、無窮數列；按各項的變化規(guī)律可分為遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列． 根據以上探究，數列中的數與它的序號是一種怎樣的關系呢？序號可看作是自變量，數列中的項可看作是隨之變動的量．這就讓我們聯想到了函數，認識到數列也是函數，是一種特殊的函數，特殊到自變量只能取非零自然數．如數列2,4,8,16，…，256，…中，項與序號之間的對應關系如下： 項　　　2　 4　 8　 16　 32 　　 ↓ ↓　 ↓　 ↓　 ↓ 序號　　1　 2　 3　 4　 5 一般形式則為 項　　　a1　 a2　 a3　 …　 an　 … 　　　 ↓　 ↓　 ↓　 ↓　 ↓　 ↓ 序號　　1　 2　 3　 …　 n　 … 由此得出，數列可以看作是一個定義域為正整數集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函數an＝f(n)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值．反過來，對于函數y＝f(x)，如果f(i)(i＝1、2、3、4、…)有意義，那么我們可以得到一個數列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…. 因此，如果數列{an}的第n項an與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式． 函數與數列的比較(由學生完成此表)： 函數 數列(特殊的函數) 定義域 R或R的子集 N*或它的有限子集{1,2，…，n} 解析式 y＝f(x) an＝f(n) 圖象 點的集合 一些離散的點的集合 關于數列的表示方法，與函數一樣，數列也可以用圖象法、列表法等方法來表示．由于數列中的自變量只能取正整數，所以其圖象應是一系列孤立的點．例如上面問題中提出的函數y＝2x，當x依次取1,2,3，…時，我們可以得到函數值構成的數列2,4,6，…，2n，…，這個數列還可用列表法與圖象法表示如下： n 1 2 3 … k … an 2 4 6 … 2k … 對于數列的圖象法表示，我們可仿照函數圖象的畫法畫數列的圖形．具體方法是以項數n為橫坐標，相應的項an為縱坐標，即以(n，an)為坐標在平面直角坐標系中作出點(以前面提到的數列1，，，，…為例，作出一個數列的圖象)，所得的數列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數，所以這些點都在y軸的右側，而點的個數取決于數列的項數．從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢． 討論結果： (1)1,1,2,3,5 (3)按照一定次序排列起來的一列數叫做數列．數列中的每一個數叫做這個數列的項．數列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，又可簡記為{an}． (7)數列的通項公式也就是相應的函數的解析式． (8)數列的幾種簡單表示方法有通項公式法(解析式法)、列表法和圖象法． (2)(4)(5)(6)略． 例1(教材本節(jié)例2) 活動：本例3個小題，都要通過觀察，并分析數的性質，有一定難度．教師可引領學生一起分析，然后由學生完成．同時要讓學生領悟題目中為什么要求寫出“一個”通項公式．如第2小題奇數項為0，偶數項為2，顯然具備這種特點的數學式子不是唯一的． 點評：解完本例后要讓學生領悟，這種由數寫出數列前幾項的題目，解決的關鍵是找出這列數與序號之間呈現的規(guī)律性的東西．然后通過歸納寫出這個數列的通項公式．但要注意，根據數列的若干項寫出通項公式的形式可能不是唯一的．如本例中的2學生可能就有以下幾種寫法：an＝或an＝2|sinπ|或an＝2|cos|，等等． 因此教師可就此點撥學生：由函數的觀點可知，數列的通項公式實質上就是函數的對應法則的解析式表示，而我們知道函數的對應法則并不是都能用解析式表示出來的，因此也不是所有的數列都能寫出通項公式來，即使存在通項公式也不一定唯一． 變式訓練 　根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式： (1)3,5,7,9,11，…；(2)0,1,0,1,0,1，…；(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…；(4)2，－6,12，－20,30，－42，…. 解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝； (3)將數列變形為1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1，…， ∴an＝n＋； (4)將數列變形為12，－23,34，－45,56，…， ∴an＝(－1)n＋1n(n＋1)． 例2(教材本節(jié)例3) 活動：教材設計本例的目的是為了加強數列與函數的聯系，用研究函數性質的方法研究數列的性質．這一點非常重要，應引起學生的極大重視．本例中的第1問實際上就是函數的有界性，第2問的遞增遞減數列就是函數的單調性．教師與學生一起分析后，可由學生自己完成． 點評：解完本例后，可讓學生結合思考與討論，總結本例的思想方法．因為這一點學通了，后面的內容就好學了． 變式訓練 　寫出數列1，，，，，…的通項公式，并判斷它的增減性． 解：數列的通項公式為an＝， ∵an＋1－an＝－＝＜0，即an＋1＜an， 這說明每相鄰的兩項中，后項小于前項，由此可知數列為遞減數列． 例3寫出下面數列的一個通項公式： (1)，，，，…；(2)，2，，8，，…；(3)1,0，－，0，，0，－，0，…. 解：(1)an＝. (2)an＝. 原數列可寫成，，，，，…，這樣數列中各項數的規(guī)律就一目了然了． (3)an＝sin. 原數列可寫成，，－，，，，－，，…，這樣分母依次為1,2,3，…，而分子依次為1,0，－1,0，由此想到三角函數． 變式訓練 　以下通項公式中，不是數列3,5,9，…的通項公式的是(　　) A．an＝2n＋1　　　　　　　　　　　　　　B．an＝n2－n＋3 C．an＝－n3＋5n2－n＋7 D．an＝2n＋1 答案：D 例4求數列{－2n2＋9n＋3}中的最大項． 活動：教師首先引導學生熟悉這個數列，即是10,13,12，…，－2n2＋9n＋3，…，其通項公式為an＝－2n2＋9n＋3，可以看出an與n構成二次函數，可完全類比二次函數求最值的方法，但要注意這里n∈N*這一隱含條件． 解：由題意，知an＝－2n2＋9n＋3＝－2(n－)2＋. ∵n為正整數，由二次函數的圖象和性質，知 當n＝2時，an取到最大值13. ∴數列{－2n2＋9n＋3}中的最大項為a2＝13. 點評：數列的項與項數之間構成特殊的函數關系．在用函數的有關知識解決數列問題時，要注意到函數的定義域為正整數集這一約束條件． 變式訓練 　已知數列{an}的通項公式為an＝log2(n2＋3)－2，那么log23是這個數列的第__________項． 答案：3 例5圖中的三角形稱為謝賓斯基(Sierpinski)三角形．在下圖四個三角形中，著色三角形的個數依次構成一個數列的前4項，請寫出這個數列的一個通項公式，并在直角坐標系中畫出它的圖象． 圖3 解：如題圖，這四個三角形中著色三角形的個數依次為1,3,9,27，則所求數列的前4項都是3的指數冪，指數為序號減1，所以這個數列的一個通項公式是an＝3n－1. 該數列在直角坐標系中的圖象如下圖． 點評：本例是用通項公式和圖象兩種方法表示謝賓斯基三角形中著色三角形個數構成的數列．解完此題后，讓學生總結數列的表示方法． 變式訓練 　根據下圖中5個圖形及相應點的個數的變化規(guī)律，試猜測第n個圖中有__________個點． 答案：n2－n＋1 解析：經觀察，第n個圖中間1個點向n個方向發(fā)散，每個方向上另有(n－1)個點，所以第n個圖中點的總個數為n(n－1)＋1＝n2－n＋1. 1．寫出數列的一個通項公式，使它的前4項分別是： (1)1,8,27,64，…； (2)，3，，，…. 2．已知數列{an}的通項公式為an＝n(n＋1)，則380是這個數列的第__________項． 答案： 1．(1)an＝n3；(2)an＝. 2．由380＝n(n＋1)，n∈N*，可解得n＝19. 1．由學生總結本節(jié)課所學習的主要內容：數列的有關概念；根據數列的前幾項寫出數列的通項公式，反過來，根據數列的通項公式求其任意一項；數列與函數的關系． 2．通過知識性的小結，盡快地把課堂探究的知識轉化為學生的素質能力；通過特殊到一般、類比等思想方法的運用，更深刻地理解數學思想方法在解題中的地位和作用．并通過章頭插圖的閱讀與理解，更加熱愛大自然、保護大自然． 課本本節(jié)習題2—1 A組1～6；習題2—1 B組1～3. 設計感想 本教案設計遵循學生的認知規(guī)律，體現新課標理念．設計的教學方法是讓學生自主探究，呈現“現實情境——數學模型——應用于現實問題”的特點．讓學生通過觀察、分析、歸納、猜想，培養(yǎng)學生主動探究的精神．感受到大自然的神奇與奧妙，激發(fā)熱愛大自然的熱情，并自發(fā)保護大自然，真切領悟到大自然才是我們人類智慧的源泉． 本教案設計體現對學生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，本節(jié)的難點之一就是由數列的前幾項寫出它的一個通項公式，這個通項公式不是唯一的．設計中鼓勵學生根據所學知識，充分施展種種奇思妙想，最大限度地開挖學生的潛能． 本教案的設計加強了數學思想方法的運用，這也是本章的特色，可以說本章簡直就是數學思想方法的王國．如不把握好這一點，正如入寶山而空手回．如類比思想、歸納思想及特殊到一般的思想方法等． 備課資料 備用習題 1．數列3,7,13,21,31，…的通項公式是(　　) A．an＝4n－1　　　　　　　 B．an＝n3－n2＋n＋2 C．an＝n2＋n＋1 D．不存在 2．根據下面數列{an}的通項公式，寫出前5項： (1)an＝；(2)an＝(－1)nn. 3．寫出下面數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數： (1)1，－，，－； (2)2,0,2,0. 4．數列{an}中，a1＝1，對所有的n≥2都有a1a2a3…an＝n2，則a3＋a5的值是__________． 5．已知數列{}： (1)求這個數列的第10項； (2)是不是該數列中的項，為什么？ (3)求證：數列中的各項都在區(qū)間(0,1)內； (4)在區(qū)間(，)內有無數列中的項？若有，有幾項？若沒有，說明理由． 參考答案： 1．C　解析：代入選擇支驗證即可． 2．解：(1)a1＝；a2＝；a3＝；a4＝；a5＝. (2)a1＝－1；a2＝2；a3＝－3；a4＝4；a5＝－5. 3．解：(1)an＝；(2)an＝(－1)n＋1＋1. 4.　解析：∵a1a2＝22，a1a2a3＝32，a1a2a3a4＝42，a1a2a3a4a5＝52， ∴a3＋a5＝＋＝. 5．解：(1)設f(n)＝＝， 令n＝10，得a10＝f(10)＝. (2)令＝，得9n＝300， 此方程在自然數集內無解，所以不是該數列中的項． (3)證明：∵an＝＝1－， 又∵n∈N*， ∴0＜＜1. ∴0＜an＜1. (4)令＜an＝＜. ∴ 即 ∴＜n＜. ∴當且僅當n＝2時上式成立． 故區(qū)間(，)上有數列中的項，且只有一項為a2＝.