2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.1 函數(shù) 2.1.3 函數(shù)的單調(diào)性教案 新人教B版必修1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.1 函數(shù) 2.1.3 函數(shù)的單調(diào)性教案 新人教B版必修1 教學(xué)分析 在研究函數(shù)的性質(zhì)時,單調(diào)性是一個重要內(nèi)容.實際上,在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時,已經(jīng)重點研究了一些函數(shù)的增減性,只是當(dāng)時的研究較為粗略,未明確給出有關(guān)函數(shù)增減性的定義,對于函數(shù)增減性的判斷也主要根據(jù)觀察圖象得出.而本節(jié)內(nèi)容,正是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和提高.給出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的定義,明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個區(qū)間來說的,還說明判斷函數(shù)的增減性既有從圖象上進行觀察的較為粗略的方法,又有根據(jù)定義進行證明的較為嚴(yán)格的方法,最好根據(jù)圖象觀察得出猜想,用推理證明猜想的正確性,這樣就將以上兩種方法統(tǒng)一起來了. 由于函數(shù)圖象是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體,因此,在本節(jié)教學(xué)時可以充分使用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,以利于學(xué)生作函數(shù)圖象,有更多的時間用于思考、探究函數(shù)的單調(diào)性.還要特別重視讓學(xué)生經(jīng)歷這些概念的形成過程,以便加深對單調(diào)性的理解. 三維目標(biāo) 1.函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象,以圖識數(shù)的過程,在這個過程中,讓學(xué)生通過自主探究活動,體驗數(shù)學(xué)概念的形成過程的真諦,學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 2.理解并掌握函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義,掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,提高應(yīng)用知識解決問題的能力. 3.能夠用函數(shù)的性質(zhì)解決日常生活中的簡單的實際問題,使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的必要性與重要性,增強學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的緊迫感,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 重點難點 教學(xué)重點:函數(shù)的單調(diào)性. 教學(xué)難點:增函數(shù)、減函數(shù)形式化定義的形成. 課時安排 1課時 導(dǎo)入新課 思路1.德國有一位著名的心理學(xué)家名叫艾賓浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850~1909),他以自己為實驗對象,共做了163次實驗,每次實驗連續(xù)要做兩次無誤的背誦.經(jīng)過一定時間后再重學(xué)一次,達到與第一次學(xué)會的同樣的標(biāo)準(zhǔn).他經(jīng)過對自己的測試,得到了一些數(shù)據(jù). 時間間隔t 0分鐘 20分鐘 60分鐘 8~9小時 1天 2天 6天 一個月 記憶量y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% 觀察這些數(shù)據(jù),可以看出:記憶量y是時間間隔t的函數(shù).當(dāng)自變量(時間間隔t)逐漸增大時,你能看出對應(yīng)的函數(shù)值(記憶量y)有什么變化趨勢嗎?描出這個函數(shù)圖象的草圖(這就是著名的艾賓浩斯曲線).從左向右看,圖象是上升的還是下降的?你能用數(shù)學(xué)符號來刻畫嗎?通過這個實驗,你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識?(可以借助信息技術(shù)畫圖象) 學(xué)生:先思考或討論,回答:記憶量y隨時間間隔t的增大而增大;以時間間隔t為橫軸,以記憶量y為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系,描點連線得函數(shù)的草圖——艾賓浩斯遺忘曲線如下圖所示. 遺忘曲線是一條衰減曲線,它表明了遺忘的規(guī)律.隨著時間的推移,記憶保持量在遞減,剛開始遺忘速度最快,我們應(yīng)利用這一規(guī)律,在學(xué)習(xí)新知識時一定要及時復(fù)習(xí)鞏固,加深理解和記憶.教師提示、點撥,并引出本節(jié)課題. 思路2.在第23屆奧運會上,中國首次參加就獲15枚金牌;在第24屆奧運會上,中國獲5枚金牌;在第25屆奧運會上,中國獲16枚金牌;在第26屆奧運會上,中國獲16枚金牌;在第27屆奧運會上,中國獲28枚金牌;在第28屆奧運會上,中國獲32枚金牌.按這個變化趨勢,xx年,在北京舉行的第29屆奧運會上,請你預(yù)測一下中國能獲得多少枚金牌? 學(xué)生回答(只要大于32就可以算準(zhǔn)確),教師:提示、點撥,并引出本節(jié)課題. 推進新課 ①如下圖所示的函數(shù)y=x,y=x2,y=-x2的圖象,它們的圖象有什么變化規(guī)律?這反映了相應(yīng)的函數(shù)值的哪些變化規(guī)律? ②函數(shù)圖象上任意點P(x,y)的坐標(biāo)有什么意義? ③如何理解圖象是上升的? ④對于函數(shù)y=x2,列出x,y的對應(yīng)值表(如下表).完成下表并體會圖象在y軸右側(cè)上升. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … f(x)=x2 … … ⑤在數(shù)學(xué)上規(guī)定:函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).誰能給出增函數(shù)的定義? ⑥增函數(shù)的幾何意義是什么? ⑦類比增函數(shù)的定義,請給出減函數(shù)的定義及其幾何意義? ⑧函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性,說明了函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的圖象有什么 變化趨勢? 討論結(jié)果:①函數(shù)y=x的圖象,從左向右看是上升的;函數(shù)y=x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的,在y軸右側(cè)是上升的;函數(shù)y=-x2的圖象在y軸左側(cè)是上升的,在y軸右側(cè)是下降的. ②函數(shù)圖象上任意點P的坐標(biāo)(x,y)的意義:橫坐標(biāo)x是自變量的取值,縱坐標(biāo)y是自變量為x時對應(yīng)的函數(shù)值的大?。? ③按從左向右的方向看函數(shù)的圖象,意味著圖象上點的橫坐標(biāo)逐漸增大即函數(shù)的自變量逐漸增大.圖象是上升的意味著圖象上點的縱坐標(biāo)逐漸變大,也就是對應(yīng)的函數(shù)值隨著逐漸增大.也就是說從左向右看圖象上升,反映了函數(shù)值隨著自變量的增大而增大. ④在區(qū)間(0,+∞)上,任取x1、x2,且x1<x2,那么就有y1<y2,也就是有f(x1)<f(x2).這樣可以體會用數(shù)學(xué)符號來刻畫圖象上升. ⑤在函數(shù)y=f(x)的圖象上任取兩點A(x1,y1),B(x2,y2),記Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)=y(tǒng)2-y1. Δx表示自變量x的改變量,Δy表示因變量y的改變量,其中“Δ”為希臘字母,讀作“delta”. 一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A,區(qū)間MA. 如果取區(qū)間M中的任意兩個值x1,x2,改變量Δx=x2-x1>0,則當(dāng)Δy=f(x2)-f(x1)>0時,就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù). 如下圖(1)所示. ⑥從左向右看,圖象是上升的. ⑦在函數(shù)y=f(x)的圖象上任取兩點A(x1,y1),B(x2,y2),記Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)=y(tǒng)2-y1. Δx表示自變量x的改變量,Δy表示因變量y的改變量,其中“Δ”為希臘字母,讀作“delta”. 一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A,區(qū)間MA. 如果取區(qū)間M中的任意兩個值x1,x2,改變量Δx=x2-x1>0,則當(dāng)Δy=f(x2)-f(x1)<0時,就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù),如下圖(2)所示. 幾何意義:從左向右看,圖象是下降的. 如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù),就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調(diào)性.(區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間) ⑧函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上,函數(shù)值的變化趨勢是隨自變量的增大而增大(減小),幾何意義:從左向右看,圖象是上升(下降)的. 思路1 例1說出函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間,并指明在該區(qū)間上的單調(diào)性. 活動:學(xué)生思考函數(shù)單調(diào)性的幾何意義,由圖象得單調(diào)區(qū)間. 解:(-∞,0)和(0,+∞)都是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,在這兩個區(qū)間上函數(shù)f(x)=都是單調(diào)遞減的. 點評:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義,以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性適合于選擇題和填空題.如果解答題中給出了函數(shù)的圖象,通常用圖象法判斷單調(diào)性.函數(shù)的圖象類似于人的照片,我們能根據(jù)人的照片來估計其身高,同樣我們根據(jù)函數(shù)的圖象可以分析出函數(shù)值的變化趨勢即單調(diào)性. 圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是:第一步,畫函數(shù)的圖象;第二步,觀察圖象,利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間. 變式訓(xùn)練 下圖是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)? 活動:教師提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學(xué)生先思考或討論后再回答,教師點撥、提示并及時評價學(xué)生.圖象上升則在此區(qū)間上是增函數(shù),圖象下降則在此區(qū)間上是減函數(shù). 解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù),在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù). 例2證明函數(shù)f(x)=2x+1,在(-∞,+∞)上是增函數(shù). 分析:畫出這個一次函數(shù)的圖象如下圖,直觀上很容易看出函數(shù)值隨著自變量增大而增大.下面根據(jù)定義進行證明.同學(xué)們可以根據(jù)圖象理解每一步證明的幾何意義. 證明:設(shè)x1,x2是任意兩個不相等的實數(shù),且x1<x2,則 Δx=x2-x1>0, Δy=f(x2)-f(x1)=2x2+1-(2x1+1)=2(x2-x1)=2Δx>0, 所以函數(shù)f(x)=2x+1在(-∞,+∞)上是增函數(shù). 點評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性. 定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是:第一步,在所給的區(qū)間上任取兩個自變量x1和x2,通常令x1<x2;第二步,比較f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比較法比較大小,此時比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號;第三步,再歸納結(jié)論.定義法的步驟可以總結(jié)為:一“取(去)”、二“比”、三“再(賽)”,因此簡稱為“去比賽”. 變式訓(xùn)練 證明函數(shù)f(x)=+2在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上分別是減函數(shù). 證明:設(shè)x1,x2是(-∞,0)內(nèi)的任意兩個不相等的負(fù)實數(shù),且x1<x2,則 Δx=x2-x1>0, Δy=f(x2)-f(x1)=+2--2=. 因為x1-x2=-Δx<0,x1x2>0,所以Δy<0. 因此f(x)=+2在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù). 同理,對區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的任意兩個不相等的正實數(shù)x1,x2,且x1<x2,同樣有Δy=f(x2)-f(x1)<0. 所以f(x)=+2在區(qū)間(0,+∞)上也是減函數(shù). 思路2 例1 (1)畫出函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象; (2)證明函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-∞,1]上是增函數(shù); (3)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,m]上是增函數(shù)時,求實數(shù)m的取值范圍. 解:(1)函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象如下圖所示. (2)設(shè)x1、x2∈(-∞,1],且x1<x2,則有 f(x1)-f(x2)=(-x+2x1+3)-(-x+2x2+3) =(x-x)+2(x1-x2) =(x1-x2)(2-x1-x2). ∵x1、x2∈(-∞,1],且x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2<2. ∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2). ∴函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-∞,1]上是增函數(shù). (3)函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的對稱軸是直線x=1,在對稱軸的左側(cè)是增函數(shù),那么當(dāng)區(qū)間(-∞,m]位于對稱軸的左側(cè)時滿足題意,則有m≤1,即實數(shù)m的取值范圍是(-∞,1]. 點評:本題主要考查二次函數(shù)的圖象、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用.討論有關(guān)二次函數(shù)的單調(diào)性問題時,常用數(shù)形結(jié)合的方法,結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點來分析;二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反;二次函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù),那么二次函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間D內(nèi). 判斷函數(shù)單調(diào)性時,通常先畫出其圖象,由圖象觀察出單調(diào)區(qū)間,最后用單調(diào)性的定義證明. 判斷函數(shù)單調(diào)性的三部曲: 第一步,畫出函數(shù)的圖象,觀察圖象,描述函數(shù)值的變化趨勢; 第二步,結(jié)合圖象來發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; 第三步,用數(shù)學(xué)符號即函數(shù)單調(diào)性的定義來證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論. 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),是高考的必考內(nèi)容之一.因此應(yīng)理解單調(diào)函數(shù)及其幾何意義,會根據(jù)定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,能綜合運用單調(diào)性解決一些問題,會判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式等知識聯(lián)系極為密切,是高考命題的熱點題型. 變式訓(xùn)練 已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x). (1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù); (2)證明函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(,0)成中心對稱圖形. 分析:(1)本題中的函數(shù)解析式不明確即為抽象函數(shù),用定義法證明;(2)證明函數(shù)y=F(x)的圖象上的任意點關(guān)于點(,0)的對稱點還是在函數(shù)y=F(x)的圖象上即可. 證明:(1)設(shè)x1、x2∈R,且x1<x2.則 F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)] =[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]. 又∵函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),x1<x2,∴a-x2<a-x1. ∴f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1). ∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0. ∴F(x1)<F(x2).∴F(x)是R上的增函數(shù). (2)設(shè)點M(x0,F(xiàn)(x0))是函數(shù)F(x)圖象上任意一點,則點M(x0,F(xiàn)(x0))關(guān)于點(,0)的對稱點M′(a-x0,-F(x0)). 又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)) =f(a-x0)-f(x0)=-[f(x0)-f(a-x0)]=-F(x0), ∴點M′(a-x0,-F(x0))也在函數(shù)F(x)圖象上. 又∵點M(x0,F(xiàn)(x0))是函數(shù)F(x)圖象上任意一點, ∴函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(,0)成中心對稱圖形. 例2 (1)寫出函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察:在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點? (2)寫出函數(shù)y=|x|的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察:在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點? (3)定義在[-4,8]上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,y=f(x)的部分圖象如下圖所示,請補全函數(shù)y=f(x)的圖象,并寫出其單調(diào)區(qū)間,觀察:在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點? (4)由以上你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?試加以證明. 分析:(1)畫出二次函數(shù)y=x2-2x的圖象,借助于圖象解決;(2)類似于(1);(3)根據(jù)軸對稱的含義補全函數(shù)的圖象,也是借助于圖象寫出單調(diào)區(qū)間;(4)歸納函數(shù)對稱軸兩側(cè)對稱區(qū)間上的單調(diào)性的異同來發(fā)現(xiàn)結(jié)論,利用軸對稱的定義證明. 解:(1)函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞);對稱軸是直線x=1;區(qū)間(-∞,1)和區(qū)間(1,+∞)關(guān)于直線x=1對稱,而單調(diào)性相反. (2)函數(shù)y=|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞);對稱軸是y軸即直線x=0;區(qū)間(-∞,0)和區(qū)間(0,+∞)關(guān)于直線x=0對稱,而單調(diào)性相反. (3)函數(shù)y=f(x),x∈[-4,8]的圖象如下圖. 函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-4,-1],[2,5];單調(diào)遞減區(qū)間是[5,8],[-1,2];區(qū)間[-4,-1]和區(qū)間[5,8]關(guān)于直線x=2對稱,而單調(diào)性相反,區(qū)間[-1,2]和區(qū)間[2,5]關(guān)于直線x=2對稱,而單調(diào)性相反. (4)可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在直線x=m兩側(cè)對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.證明如下: 不妨設(shè)函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),區(qū)間[a,b]關(guān)于直線x=m的對稱區(qū)間是[2m-b,2m-a]. 由于函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,則f(x)=f(2m-x). 設(shè)2m-b≤x1<x2≤2m-a,則b≥2m-x1>2m-x2≥a, f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2). 又∵函數(shù)y=f(x)在[a,b]上是增函數(shù),∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0. ∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2). ∴函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2m-b,2m-a]上是減函數(shù). ∴當(dāng)函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)時,其在[a,b]關(guān)于直線x=m的對稱區(qū)間[2m-b,2m-a]上是減函數(shù),即單調(diào)性相反. 因此有結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在對稱軸兩側(cè)的對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性. 點評:本題通過歸納——猜想——證明得到了正確的結(jié)論,這是我們認(rèn)識世界發(fā)現(xiàn)問題的主要方法,這種方法的難點是猜想,突破路徑是尋找共同的特征.本題作為結(jié)論記住,可以提高解題速度.圖象類似于人的照片,看見人的照片就能估計這個人的身高、五官等特點,同樣根據(jù)函數(shù)的圖象也能觀察出函數(shù)的性質(zhì)特征.這需要有細(xì)致的觀察能力. 變式訓(xùn)練 函數(shù)y=f(x)滿足以下條件: ①定義域是R;②圖象關(guān)于直線x=1對稱;③在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù).試寫出函數(shù)y=f(x)的一個解析式f(x)=__________(只需寫出一個即可,不必考慮所有情況). 分析:根據(jù)這三個條件,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象簡圖(只要能體現(xiàn)這三個條件即可),再根據(jù)圖象簡圖,聯(lián)系猜想基本初等函數(shù)及其圖象和已有的解題經(jīng)驗寫出. 解:定義域是R的函數(shù)解析式通常不含分式或根式,常是整式;圖象關(guān)于直線x=1對稱的函數(shù)解析式滿足:f(x)=f(2-x),基本初等函數(shù)中有對稱軸的僅有二次函數(shù),則由①②想到了二次函數(shù);結(jié)合二次函數(shù)的圖象,在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù)說明開口必定向上,且正好滿足二次函數(shù)的對稱軸直線x=1不在區(qū)間[2,+∞)內(nèi),故函數(shù)的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0). 結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可知這三條都可滿足開口向上的拋物線,故有:形如y=a(x-1)2+b(a>0),或為y=a|x-1|+b(a>0)等都可以,答案不唯一. 1.利用圖象法寫出基本初等函數(shù)的單調(diào)性. 解:①正比例函數(shù):y=kx(k≠0) 當(dāng)k>0時,函數(shù)y=kx在定義域R上是增函數(shù);當(dāng)k<0時,函數(shù)y=kx在定義域R上是減函數(shù). ②反比例函數(shù):y=(k≠0) 當(dāng)k>0時,函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0),(0,+∞),不存在單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng)k<0時,函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0),(0,+∞),不存在單調(diào)遞減區(qū)間. ③一次函數(shù):y=kx+b(k≠0) 當(dāng)k>0時,函數(shù)y=kx+b在定義域R上是增函數(shù);當(dāng)k<0時,函數(shù)y=kx+b在定義域R上是減函數(shù). ④二次函數(shù):y=ax2+bx+c(a≠0) 當(dāng)a>0時,函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-],單調(diào)遞增區(qū)間是[-,+∞); 當(dāng)a<0時,函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是[-,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-]. 點評:以上基本初等函數(shù)的單調(diào)性作為結(jié)論記住,可以提高解題速度. 2.已知函數(shù)y=kx+2在R上是增函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍. 答案:k∈(0,+∞). 3.二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是減函數(shù),在(2,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的值. 答案:a=2. 4.已知f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù),若f(a+1)<f(-4a+1)成立,則a的取值范圍是__________. 解析:∵f(x)的定義域是(0,+∞),∴ 解得-1<a<. ∵f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),∴a+1>-4a+1.∴a>0. ∴0<a<,即a的取值范圍是(0,). 答案:(0,) 點評:本題實質(zhì)是解不等式,但是這是一個不具體的不等式,是抽象不等式.解與函數(shù)有關(guān)的抽象不等式時,常用的技巧是利用函數(shù)的單調(diào)性“剝掉外衣”,轉(zhuǎn)化為整式不等式. 問題:1.畫出函數(shù)y=的圖象,結(jié)合圖象探討下列說法是否正確? (1)函數(shù)y=是減函數(shù);(2)函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.對函數(shù)y=,取x1=-1<x2=2,則f(x1)=-1<f(x2)=,滿足當(dāng)x1<x2時f(x1)<f(x2),說函數(shù)y=在定義域上是增函數(shù)對嗎?為什么? 3.通過上面兩道題,你對函數(shù)的單調(diào)性定義有什么新的理解? 解答:1.(1)是錯誤的,從左向右看,函數(shù)y=的圖象不是下降的. (2)是錯誤的,函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0),(0,+∞).在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上函數(shù)y=的圖象,從左向右看不是下降的,因此這是錯誤的. 2.不對.這個過程看似是定義法,實質(zhì)上不是.定義中x1、x2是在某區(qū)間內(nèi)任意取的兩個值,不能用特殊值來代替. 3.函數(shù)單調(diào)性定義中的x1、x2必須是任意的,應(yīng)用單調(diào)性定義解決問題時,要注意保持其任意性. 點評:函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在其定義域的子集上的性質(zhì),是函數(shù)的“局部性質(zhì)”;函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)和(b,c)上均是增(減)函數(shù),那么在區(qū)間(a,b)∪(b,c)上的單調(diào)性不能確定. 本節(jié)學(xué)習(xí)了:①函數(shù)的單調(diào)性;②判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:定義法和圖象法. 課本本節(jié)練習(xí)B 1、2. “函數(shù)單調(diào)性”是一個重要的數(shù)學(xué)概念,以往的教學(xué)方法一般是由教師講解為主,在單調(diào)性的定義教學(xué)中,往往缺少從定性的描述到定量表示的思維過程,即缺少“意義建構(gòu)”.本設(shè)計致力于展示概念是如何生成的.在概念的發(fā)生、發(fā)展中,通過層層設(shè)問,調(diào)動學(xué)生的思維,突出培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力,體現(xiàn)了教師是用教材教,而不是教教材. 本節(jié)課采用教師啟發(fā)引導(dǎo),學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法,通過創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)探究,師生交流,最終形成概念,獲得方法.本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學(xué),為學(xué)生提供直觀感性的材料,有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識.考慮到部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點,對判斷方法進行適當(dāng)?shù)难诱梗由顚Χx的理解,同時也為用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆. 判斷下列說法是否正確: ①已知f(x)=,因為f(-1)<f(2),所以函數(shù)f(x)是增函數(shù). ②若函數(shù)f(x)滿足f(2)<f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù). ③若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù). ④因為函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù),所以f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數(shù). 活動:教師強調(diào)以下三點后,讓學(xué)生判斷. ①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性. ②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù)),有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù)),有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù)). ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A、B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函數(shù)在A∪B上是增(或減)函數(shù). 答案:這四個判斷都是錯誤的. 思考:如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 解答:證明一個命題成立時,需要有嚴(yán)格的邏輯推理過程,而否定一個命題只需舉一個反例即可.也就是說,只要找到兩個特殊的自變量不符合定義就行.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.1 2.1.3 函數(shù)的單調(diào)性教案 新人教B版必修1 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 第二 調(diào)性 教案 新人 必修
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