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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 壓軸題目突破練 函數(shù)與導數(shù)教案 理 新人教A版
A組 專項基礎訓練
(時間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 與直線2x－6y＋1＝0垂直，且與曲線f(x)＝x3＋3x2－1相切的直線方程是( )
A．3x＋y＋2＝0 B．3x－y＋2＝0
C．x＋3y＋2＝0 D．x－3y－2＝0
答案 A
解析 設切點的坐標為(x0，x＋3x－1)，
則由切線與直線2x－6y＋1＝0垂直，
可得切線的斜率為－3，
又f′(x)＝3x2＋6x，故3x＋6x0＝－3，
解得x0＝－1，于是切點坐標為(－1,1)，
從而得切線的方程為3x＋y＋2＝0.
2． 設f(x)，g(x)在[a，b]上可導，且f′(x)>g′(x)，則當a
g(x)
B．f(x)g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)
答案 C
解析 ∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，
∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函數(shù)，
∴當af(a)－g(a)，
∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．
3． 三次函數(shù)f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則m的取值范圍是( )
A．m<0 B．m<1 C．m≤0 D．m≤1
答案 A
解析 f′(x)＝3mx2－1，依題可得m<0.
4． 點P是曲線x2－y－2ln＝0上任意一點，則點P到直線4x＋4y＋1＝0的最短距離是( )
A.(1－ln 2) B.(1＋ln 2)
C. D.(1＋ln 2)
答案 B
解析 將直線4x＋4y＋1＝0平移后得直線l：4x＋4y＋b＝0，使直線l與曲線切于點P(x0，y0)，
由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－，
∴直線l的斜率k＝2x0－＝－1
?x0＝或x0＝－1(舍去)，
∴P，
所求的最短距離即為點P到直線4x＋4y＋1＝0的距離d＝＝(1＋ln 2)．
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． 設函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，則導數(shù)f′(1)的取值范圍是________．
答案 [，2]
解析 ∵f′(x)＝sin θx2＋cos θx，
∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin.
∵θ∈，∴θ＋∈，
∴sin∈.∴f′(1)∈[，2]．
6． 已知f(x)＝(2x－x2)ex，給出以下四個結(jié)論：
①f(x)>0的解集是{x|00?2x－x2>0?00，f(x)單調(diào)遞增，
∴f(－)是極小值，f()是極大值，故②正確．
由題意知，f()為最大值，且無最小值，故③錯誤，④正確．
7． 把一個周長為12 cm的長方形圍成一個圓柱，當圓柱的體積最大時，該圓柱的底面周長與高的比為________．
答案 2∶1
解析 設圓柱高為x，底面半徑為r，則r＝，圓柱體積V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0時，g′(x)<0，
從而g(x)在區(qū)間(－∞，－ )，(，＋∞)上是減函數(shù)；
當－0，
從而g(x)在區(qū)間(－，)上是增函數(shù)．
由上述討論知，g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值只能在x＝1，，2時取得，
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，
因此g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為g()＝，
最小值g(2)＝.
9． (12分)已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在區(qū)間[－1,4]上的最大值是12.
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在自然數(shù)m，使得方程f(x)＋＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由．
解 (1)∵f(x)是二次函數(shù)，且f(x)<0的解集是(0,5)，
∴可設f(x)＝ax(x－5)(a>0)．
∴f(x)在區(qū)間[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知，得6a＝12，∴a＝2，
∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．
(2)方程f(x)＋＝0等價于方程2x3－10x2＋37＝0
設h(x)＝2x3－10x2＋37，
則h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．
當x∈時，h′(x)<0，h(x)是減函數(shù)；
當x∈時，h′(x)>0，h(x)是增函數(shù)．
∵h(3)＝1>0，h＝－<0，h(4)＝5>0，
∴方程h(x)＝0在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實數(shù)根，而在區(qū)間(0,3)，(4，＋∞)內(nèi)沒有實數(shù)根，
∴存在唯一的自然數(shù)m＝3，使得方程f(x)＋＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根．
B組 專項能力提升
(時間：25分鐘，滿分：43分)
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． 函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的圖象如圖所示，記f(x)的導函數(shù)為f′(x)，則不等式f′(x)≤0的解集為 ( )
A.∪[1,2)
B.∪
C.∪[2,3)
D.∪∪
答案 C
解析 不等式f′(x)≤0的解集即為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，從圖象中可以看出函數(shù)f(x)在和[2,3)上是單調(diào)遞減的，所以不等式f′(x)≤0的解集為∪[2,3)，答案選C.
2． 已知函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象上任一點(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是 ( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)，(1,2) D．[2，＋∞)
答案 C
解析 根據(jù)函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象上任一點(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，可知其導數(shù)f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0得x<－1或10在上恒成立，故此函數(shù)不是凸函數(shù)．
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 已知函數(shù)f(x)＝f′cos x＋sin x，則f的值為________．
答案 1
解析 因為f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
所以f′＝－f′sin ＋cos
?f′＝－1，
故f＝f′cos ＋sin ?f＝1.
5． 函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________．
答案 21
解析 因為y′＝2x，所以過點(ak，a)處的切線方程為y－a＝2ak(x－ak)．又該切線與x軸的交點為(ak＋1,0)，
所以ak＋1＝ak，即數(shù)列{ak}是等比數(shù)列，
首項a1＝16，其公比q＝，
所以a3＝4，a5＝1.所以a1＋a3＋a5＝21.
6． 設函數(shù)f(x)＝，g(x)＝，對任意x1、x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是________．
答案 [1，＋∞)
解析 因為對任意x1、x2∈(0，＋∞)，
不等式≤恒成立，所以≥max.
因為g(x)＝，
所以g′(x)＝(xe2－x)′＝e2－x＋xe2－x(－1)＝e2－x(1－x)．
當00；當x>1時，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，在[1，＋∞)上單調(diào)遞減．
所以當x＝1時，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e；
因為f(x)＝，當x∈(0，＋∞)時，
f(x)＝e2x＋≥2e，當且僅當e2x＝，
即x＝時取等號，故f(x)min＝2e.
所以max＝＝.
所以≥.又因為k為正數(shù)，所以k≥1.
三、解答題
7． (13分)(xx遼寧)設f(x)＝ln x＋－1，證明：
(1)當x>1時，f(x)<(x－1)；
(2)當11時，g′(x)＝＋－<0.
又g(1)＝0，所以有g(x)<0，即f(x)<(x－1)．
方法二 當x>1時，21時，f(x)<(x－1)．
(2)證明 方法一 記h(x)＝f(x)－，
由(1)得h′(x)＝＋－
＝－<－
＝.
令G(x)＝(x＋5)3－216x，則當1
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