2019-2020年高三數學上學期期末復習備考黃金30題 專題04 大題好拿分（提升版20題）蘇教版.doc

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2019-2020年高三數學上學期期末復習備考黃金30題 專題04 大題好拿分（提升版，20題）蘇教版 一、解答題 1．（13分）如圖，橢圓經過點，離心率，直線l的方程為． （1）求橢圓C的方程； （2）是經過右焦點的任一弦（不經過點），設直線與直線相交于點，記、、的斜率分別為、、．問：是否存在常數，使得? 若存在，求的值； 若不存在，請說明理由． 【答案】（1）（2）． 又將代入得 ， ，， 12分 故存在常數符合題意． 13分 考點：1橢圓的簡單幾何性質；2直線與橢圓的位置關系問題． 2．函數. （1）當時，求函數的定義域； （2）若判斷的奇偶性； （3）是否存在實數使函數在[2,3]遞增，并且最大值為1，若存在，求出的值；若不存在，說明理由. 【答案】（1）（2）奇函數(3) （2）易知，∵且，∴關于原點對稱，又∵， ∴，∴為奇函數. （3）令，∵，，∴在上單調遞減，又∵函數在遞增， ∴，又∵函數在的最大值為1，∴，即，∴，∵，∴符合題意.即存在實數，使函數在遞增，并且最大值為 . 點睛：本題主要考查函數的基本性質，考查奇偶性的判斷，考查復合函數的單調性等知識.第一問考查函數的定義域，需要對數的真數大于零.第二問考查函數的奇偶性，判斷的時候先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，然后再判斷和的關系，由此判斷的單調性.復合函數單調性判斷主要是根據同增異減. 3．已知函數， （1）求函數的單調遞減區(qū)間； （2）若關于的方程在區(qū)間上有兩個不等的根，求實數的取值范圍； （3）若存在，當時，恒有，求實數的取值范圍． 【答案】（1）（2）（3） （2）令， 且定義域為 所以,令，， 列表如下： 1 + 0 - 遞增 極大值 遞減 考點：1.運用導數求函數的單調性;2.函數思想及導數的運用和零點判定定理的運用; 3.函數思想及導數的運用. 4．（xx秋?揚州期末）若數列{an}中不超過f（m）的項數恰為bm（m∈N*），則稱數列{bm}是數列{an}的生成數列，稱相應的函數f（m）是數列{an}生成{bm}的控制函數． （1）已知an=n2，且f（m）=m2，寫出b1、b2、b3； （2）已知an=2n，且f（m）=m，求{bm}的前m項和Sm； （3）已知an=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若數列{bm}中，b1，b2，b3是公差為d（d≠0）的等差數列，且b3=10，求d的值及A的值． 【答案】（1）b1=1；b2=2；b3=3．（2）．（3）d=3，A=64或65． 【解析】 試題分析：（1）利用生成數列，與控制函數的意義即可得出． （2）對m分類討論：可得bm．進而得出前n項和． （3）依題意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，設b1=t，即數列{an}中，不超過A的項恰有t項，所以2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d為正整數，得出d=1，2，3，分類討論即可得出． 解：（1）m=1，則a1=1≤1，∴b1=1； m=2，則a1=1＜4，a2=4≤4，∴b2=2； m=3，則a1=1＜9，a2=4＜9，a3=9≤9，∴b3=3． （2）m為偶數時，則2n≤m，則； m為奇數時，則2n≤m﹣1，則； ∴， m為偶數時，則； m為奇數時，則； ∴． ∵b3=10，∴4≤t≤7， ∵t為整數，∴t=4，t=5，t=6或t=7． ∵f（3）=27A，b3=10， ∴210≤27A＜211，∴． 當t=4時，，∴無解． 當t=5時，，∴無解． 當t=6時，，∴． 當t=7時，，∴無解，∴． ∵A∈N*，∴A=64或A=65． 綜上：d=3，A=64或65． 考點：數列的應用． 5．（xx秋?揚州期末）已知函數f（x）=（ax2+x+2）ex（a＞0），其中e是自然對數的底數． （1）當a=2時，求f（x）的極值； （2）若f（x）在[﹣2，2]上是單調增函數，求a的取值范圍； （3）當a=1時，求整數t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解． 【答案】（1），；（2）a的取值范圍是．（3）t=﹣4，0． （2）問題轉化為f′（x）=[ax2+（2a+1）x+3]ex≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立； 又ex＞0即ax2+（2a+1）x+3≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立； 令g（x）=ax2+（2a+1）x+3， ∵a＞0，對稱軸 ①當﹣1﹣≤﹣2，即時，g（x）在[﹣2，2]上單調增， ∴g（x）的最小值g（x）=g（﹣2）=1＞0，∴0＜a≤ ②當﹣2＜﹣1﹣＜0，即時，g（x）在[﹣2，﹣1﹣]上單調減，在[﹣1﹣，2]上單調增， ∴△=（2a+1）2﹣12a≤0，解得：， ∴＜a≤1+， 綜上，a的取值范圍是． 考點：利用導數研究函數的極值；導數的幾何意義． 6．某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20米，要求通行車輛限高4.5米，隧道口截面的拱線近似地看成拋物線形狀的一部分，如圖所示建立平面直角坐標系. （1）若最大拱高為6米，則隧道設計的拱寬是多少？ （2）為了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面積最小. 現隧道口的最大拱高不小于6米，則應如何設計拱高和拱寬，使得隧道口截面面積最??？（隧道口截面面積公式為） 【答案】（1）40（2）拱高為米，拱寬為米 （2）拋物線最大拱高為h米，，拋物線過點，代入拋物線方程得： 令，則，解得：，則， 即 當時，；當時，，即在上單調減，在上單調增，在時取得最小值，此時， 答：當拱高為米，拱寬為米時，使得隧道口截面面積最?。? 考點：求拋物線方程，利用導數求最值 7．如圖，已知橢圓（）的左、右焦點為、，是橢圓上一點，在上，且滿足（），，為坐標原點. （1）若橢圓方程為，且，求點的橫坐標； （2）若，求橢圓離心率的取值范圍 【答案】（1）（2） 直線的方程為：，直線的方程為： 由解得： 點的橫坐標為 （2）設 ， 即 聯立方程得：，消去得： 解得：或 解得： 綜上，橢圓離心率的取值范圍為． 考點：橢圓離心率 8．在極坐標系中，圓的極坐標方程為，已知，為圓上一點，求面積的最小值． 【答案】 考點：極坐標方程化為直角坐標方程 9．如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點． （1）求橢圓的方程； （2）已知為的中點，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的坐標；若不存在說明理由； （3）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 試題分析：（1）確定橢圓標準方程，只需兩個獨立條件即可：一個是左頂點為，所以，另一個是，所以，（2）實質利用斜率k表示點，P，E，假設存在定點，使得，因此，即恒成立，從而即（3）利用斜率k表示點M，因此 ，本題思路簡單，但運算量較大． 試題解析：（1）因為左頂點為，所以，又，所以 又因為， 所以橢圓C的標準方程為． 由，得 ， 當且僅當即時取等號， 所以當時，的最小值為． 考點：直線與橢圓位置關系 10．（本小題滿分16分）已知為實數，函數，函數． （1）當時，令，求函數的極值； （2）當時，令，是否存在實數，使得對于函數定義域中的任意實數，均存在實數，有成立，若存在，求出實數的取值集合；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）的極小值為，無極大值．（2） 【解析】 試題解析：（1）， ，令，得． 1分 列表： x 0 + ↘ 極小值 ↗ 所以的極小值為，無極大值． 4分 （2）當時，假設存在實數滿足條件，則在上恒成立． 5分 1）當時， 可化為， 令，問題轉化為：對任意恒成立；（*） 則，，． 令，則． ①時，因為， 故，所以函數在時單調遞減，， 2）當時，可化為， 令，問題轉化為：對任意的恒成立；（**） 則，，． 令，則． ①時，， 故，所以函數在時單調遞增，， 即，從而函數在時單調遞增，所以，此時（**）成立；11分 ②當時， ?。┤?，必有，故函數在上單調遞減，所以，即，從而函數在時單調遞減，所以，此時（**）不成立； 13分 ⅱ）若，則，所以當時， ， 故函數在上單調遞減，，即，所以函數在時單調遞減，所以，此時（**）不成立； 所以當，恒成立時，； 15分 綜上所述，當，恒成立時， ，從而實數的取值集合為． 16分 考點：利用導數求極值，利用導數研究函數單調性 11．在數列中，已知，，，，數列的前項和為，數列的前項和為，且滿足，，其中為正整數. (1)求數列的通項公式； (2)問是否存在正整數，，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序實數對，若不存在，請說明理由. 【答案】(1) ， (2) 當時，，兩式相減得， 4分 所以數列的奇數項成公差為2的等差，偶數項也成公差為2的等差 又，可解得 6分 因為，所以 又，所以數列成公比為的等比數列 所以 8分 考點：由數列和項求通項，數列綜合應用 12．已知橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，設直線的斜率分別為. (1)若時，求的值； (2)若時，證明直線過定點. 【答案】(1) (2)詳見解析 試題解析：(1)將直線方程代入橢圓方程得： 2分 解得4分 所以 6分 所以8分 (2) 設將直線方程代入橢圓方程得： 10分 考點：直線與橢圓位置關系 13．如圖，過四棱柱形木塊上底面內的一點和下底面的對角線將木塊鋸開，得到截面. (1)請在木塊的上表面作出過的鋸線，并說明理由； (2)若該四棱柱的底面為菱形，四邊形時矩形，試證明：平面平面. 【答案】(1)如圖 (2)詳見解析 【解析】試題分析：（1）在上底面內過點作的平行線分別交、于、兩點，即即為所作的鋸線. 在四棱柱中，易知四邊形是平行四邊形即∥，再由（2）證明：由于四邊形是矩形，所以，又∥，所以.又因為四棱柱的底面是菱形，所以.因為，平面，平面，所以平面，因為平面是，所以平面平面. 考點：1.平面與平面平行的性質及其判定定理；2.平面與平面垂直的判定定理；3.線面垂直的判定定理； 14．已知函數f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y＝4x＋2． (1)求a，b，c，d的值； (2)若x≥－2時，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍． 【答案】（1）因為曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0，2)，所以b=d=2；因為，故； ，故，故；所以， ； （2）令，則，由題設可得，故，令得， （1）若，則，從而當時， ，當時，即在上最小值為，此時f(x)≤kg(x)恒成立； （2）若， ，故在上單調遞增，因為所以f(x)≤kg(x)恒成立 （3）若，則，故f(x)≤kg(x)不恒成立； 綜上所述k的取值范圍為. 考點：用導數研究函數的性質． 視頻 15．（xx秋?揚州期末）某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20米，要求通行車輛限高4.5米，隧道口截面的拱線近似地看成拋物線形狀的一部分，如圖所示建立平面直角坐標系xOy． （1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少？ （2）為了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面積最?。F隧道口的最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l，使得隧道口截面面積最小？（隧道口截面面積公式為S=lh） 【答案】（1）40米；（2）當拱高為米，拱寬為米時，使得隧道口截面面積最小． （2）拋物線最大拱高為h米，h≥6，拋物線過點（10，﹣（h﹣））， 代入拋物線方程得： 令y=﹣h，則，解得：， 則，， ∵h≥6，∴≥6，即20＜l≤40， ∴， ∴， 當時，S＜0；當時，S＞0， 即S在上單調減，在（20，40]上單調增， ∴S在時取得最小值，此時， 答：當拱高為米，拱寬為米時，使得隧道口截面面積最?。? 考點：直線與圓錐曲線的關系． 16．設函數。 （1）當時，函數與在處的切線互相垂直，求的值； （2）若函數在定義域內不單調，求的取值范圍； （3）是否存在實數，使得對任意正實數恒成立？若存在，求出滿足條件的實數；若不存在，請說明理由。 【答案】（1）5；（2）；（3）存在， ，理由見解析． （2）易知函數的定義域為， 又， 由題意，得的最小值為負， （注：結合函數圖象同樣可以得到）， ， ， （以下解法供參考，請酌情給分） 解法2： ，其中 根據條件對任意正數恒成立 即對任意正數恒成立 且，解得且， 即時上述條件成立此時． 解法3： ，其中 設 ， 函數單調遞增， 函數單調遞減， 要使得對任意正數恒成立， 只能是函數， 的與軸的交點重合，即，所以． 考點：1．導函數的應用；2．不等式恒成立問題． 17．已知函數，設數列滿足：，. （1）求證：，都有； （2）求證： 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 （2）由（1）可得 兩邊同時取為底的對數，可得 化簡為 所以數列是以為首項，為公比的等比數列 ，化簡求得：， 時，， 時， 時，， ． 考點：數學歸納法，數列綜合應用 18．已知函數，其中，為自然對數的底數 （1）若函數的圖像在處的切線與直線垂直，求的值． （2）關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍． （3）討論極值點的個數． 【答案】（1）（2）（3）當時，有且僅有一個極值點，當時，有三個極值點． 試題解析：（1）由題意，， 因為的圖象在處的切線與直線垂直， 所以，解得． （2）法一：由，得， 即對任意恒成立， 即對任意恒成立， 因為，所以， （3）因為由題意，可得， 所以只有一個極值點或有三個極值點． 令， ①若有且只有一個極值點，所以函數的圖象必穿過x軸且只穿過一次， 即為單調遞增函數或者極值同號． ?。┊敒閱握{遞增函數時，在上恒成立，得…12分 ⅱ）當極值同號時，設為極值點，則， 由有解，得，且， 考點：利用導數求函數最值，利用導數研究函數極值 19．對于定義域為的函數，若同時滿足下列條件： ①在內單調遞增或單調遞減； ②存在區(qū)間，使在上的值域為；那么把（）叫閉函數. （1）求閉函數符合條件②的區(qū)間； （2）判斷函數是否為閉函數？并說明理由； （3）判斷函數是否為閉函數？若是閉函數，求實數的取值范圍． 【答案】（1）；（2）不是閉函數，理由見解析；（3）． （2）取，則，即不是上的減函數， 取，即不是上的增函數， 所以函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數. （3）若是閉函數，則存在區(qū)間，在區(qū)間上，函數的值域為， 即，∴為方程的兩個實根， 即方程有兩個不等的實根， 當時，有，解得，當時，有，無解． 綜上所述，. 考點：1、新定義；2、函數的單調性；3、不等式的解法． 20．（本題滿分16分）已知函數， ． （1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍； （2）若直線是函數圖象的切線，求的最小值； （3）當時，若與的圖象有兩個交點，求證： ．（取為，取為，取為） 【答案】（1）（2）．（3）詳見解析 ∴，即，為研究等式右邊范圍構造函數，易得在上單調遞增，因此當時，有即，所以，再利用基本不等式進行放縮： ， 即，再一次構造函數，易得其在上單調遞增，而，因此，即． （3）由題意知， ， 兩式相加得，兩式相減得， 考點：導數幾何意義，導數綜合應用