2019-2020年高考數(shù)學回歸課本 解三角形教案 舊人教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學回歸課本 解三角形教案 舊人教版 一、基礎知識 在本章中約定用A,B,C分別表示△ABC的三個內角,a, b, c分別表示它們所對的各邊長,為半周長。 1.正弦定理:=2R(R為△ABC外接圓半徑)。 推論1:△ABC的面積為S△ABC= 推論2:在△ABC中,有bcosC+ccosB=a. 推論3:在△ABC中,A+B=,解a滿足,則a=A. 正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到,這里不再給出,下證推論。先證推論1,由正弦函數(shù)定義,BC邊上的高為bsinC,所以S△ABC=;再證推論2,因為B+C=-A,所以sin(B+C)=sinA,即sinBcosC+cosBsinC=sinA,兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a;再證推論3,由正弦定理,所以,即sinasin(-A)=sin(-a)sinA,等價于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)],等價于cos(-A+a)=cos(-a+A),因為0<-A+a,-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A,所以a=A,得證。 2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,下面用余弦定理證明幾個常用的結論。 (1)斯特瓦特定理:在△ABC中,D是BC邊上任意一點,BD=p,DC=q,則AD2= (1) 【證明】 因為c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos, 所以c2=AD2+p2-2ADpcos ① 同理b2=AD2+q2-2ADqcos, ② 因為ADB+ADC=, 所以cosADB+cosADC=0, 所以q①+p②得 qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即AD2= 注:在(1)式中,若p=q,則為中線長公式 (2)海倫公式:因為b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 這里 所以S△ABC= 二、方法與例題 1.面積法。 例1 (共線關系的張角公式)如圖所示,從O點發(fā)出的三條射線滿足,另外OP,OQ,OR的長分別為u, w, v,這里α,β,α+β∈(0, ),則P,Q,R的共線的充要條件是 【證明】P,Q,R共線 (α+β)=uwsinα+vwsinβ ,得證。 2.正弦定理的應用。 例2 如圖所示,△ABC內有一點P,使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。 求證:APBC=BPCA=CPAB。 【證明】 過點P作PDBC,PEAC,PFAB,垂足分別為D,E,F(xiàn),則P,D,C,E;P,E,A,F(xiàn);P,D,B,F(xiàn)三組四點共圓,所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由題設及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。 所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。 所以EDF=600,同理DEF=600,所以△DEF是正三角形。 所以DE=EF=DF,由正弦定理,CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC,兩邊同時乘以△ABC的外接圓直徑2R,得CPBA=APBC=BPAC,得證: 例3 如圖所示,△ABC的各邊分別與兩圓⊙O1,⊙O2相切,直線GF與DE交于P,求證:PABC。 【證明】 延長PA交GD于M, 因為O1GBC,O2DBC,所以只需證 由正弦定理, 所以 另一方面,, 所以, 所以,所以PA//O1G, 即PABC,得證。 3.一個常用的代換:在△ABC中,記點A,B,C到內切圓的切線長分別為x, y, z,則a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例4 在△ABC中,求證:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【證明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y,則 abc=(x+y)(y+z)(z+x) =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4.三角換元。 例5 設a, b, c∈R+,且abc+a+c=b,試求的最大值。 【解】 由題設,令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 則tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤, 當且僅當α+β=,sinγ=,即a=時,Pmax= 例6 在△ABC中,若a+b+c=1,求證: a2+b2+c2+4abc< 【證明】 設a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β. 因為a, b, c為三邊長,所以c<, c>|a-b|, 從而,所以sin2β>|cos2αcos2β|. 因為1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2αcos4βcos2β =[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β] =+cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β) >+cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=. 所以a2+b2+c2+4abc< 三、基礎訓練題 1.在△ABC中,邊AB為最長邊,且sinAsinB=,則cosAcosB的最大值為__________. 2.在△ABC中,若AB=1,BC=2,則的取值范圍是__________. 3.在△ABC中,a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB,則△ABC的面積為__________. 4.在△ABC中,3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1,則=__________. 5.在△ABC中,“a>b”是“sinA>sinB”的__________條件. 6.在△ABC中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,則角A的取值范圍是__________. 7.在△ABC中,sinA=,cosB=,則cosC=__________. 8.在△ABC中,“三邊a, b, c成等差數(shù)列”是“tan”的__________條件. 9.在△ABC中,若sinC=2cosAsinB,則三角形形狀是__________. 10.在△ABC中,tanAtanB>1,則△ABC為__________角三角形. 11.三角形有一個角是600,夾這個角的兩邊之比是8:5,內切圓的面積是12,求這個三角形的面積。 12.已知銳角△ABC的外心為D,過A,B,D三點作圓,分別與AC,BC相交于M,N兩點。求證:△MNC的外接圓半徑等于△ABD的外接圓半徑。 13.已知△ABC中,sinC=,試判斷其形狀。 四、高考水平訓練題 1.在△ABC中,若tanA=, tanB=,且最長邊長為1,則最短邊長為__________. 2.已知n∈N+,則以3,5,n為三邊長的鈍角三角形有________個. 3.已知p, q∈R+, p+q=1,比較大?。簆sin2A+qsin2B__________pqsin2C. 4.在△ABC中,若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,則△ABC 為__________角三角形. 5.若A為△ABC 的內角,比較大小:__________3. 6.若△ABC滿足acosA=bcosB,則△ABC的形狀為__________. 7.滿足A=600,a=, b=4的三角形有__________個. 8.設為三角形最小內角,且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1,則a的取值范圍是__________. 9.A,B,C是一段筆直公路上的三點,分別在塔D的西南方向,正西方向,西偏北300方向,且AB=BC=1km,求塔與公路AC段的最近距離。 10.求方程的實數(shù)解。 11.求證: 五、聯(lián)賽一試水平訓練題 1.在△ABC中,b2=ac,則sinB+cosB的取值范圍是____________. 2.在△ABC中,若,則△ABC 的形狀為____________. 3.對任意的△ABC,-(cotA+cotB+cotC),則T的最大值為____________. 4.在△ABC中,的最大值為____________. 5.平面上有四個點A,B,C,D,其中A,B為定點,|AB|=,C,D為動點,且|AD|=|DC|=|BC|=1。記S△ABD=S,S△BCD=T,則S2+T2的取值范圍是____________. 6.在△ABC中,AC=BC,,O為△ABC的一點,,ABO=300,則ACO=____________. 7.在△ABC中,A≥B≥C≥,則乘積的最大值為____________,最小值為__________. 8.在△ABC中,若c-a等于AC邊上的高h,則=____________. 9.如圖所示,M,N分別是△ABC外接圓的弧,AC中點,P為BC上的動點,PM交AB于Q,PN交AC于R,△ABC的內心為I,求證:Q,I,R三點共線。 10.如圖所示,P,Q,R分別是△ABC的邊BC,CA,AB上一點,且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求證:AB+BC+CA≤2(PQ+QR+RP)。 11.在△ABC外作三個等腰三角形△BFC,△ADC,△AEB,使BF=FC,CD=DA,AE=EB,ADC=2BAC,AEB=2ABC,BFC=2ACB,并且AF,BD,CE交于一點,試判斷△ABC的形狀。 六、聯(lián)賽二試水平訓練題 1.已知等腰△ABC,AB=AC,一半圓以BC的中點為圓心,且與兩腰AB和AC分別相切于點D和G,EF與半圓相切,交AB于點E,交AC于點F,過E作AB的垂線,過F作AC的垂線,兩垂線相交于P,作PQBC,Q為垂足。求證:,此處=B。 2.設四邊形ABCD的對角線交于點O,點M和N分別是AD和BC的中點,點H1,H2(不重合)分別是△AOB與△COD的垂心,求證:H1H2MN。 3.已知△ABC,其中BC上有一點M,且△ABM與△ACM的內切圓大小相等,求證:,此處(a+b+c), a, b, c分別為△ABC對應三邊之長。 4.已知凸五邊形ABCDE,其中ABC=AED=900,BAC=EAD,BD與CE交于點O,求證:AOBE。 5.已知等腰梯形ABCD,G是對角線BD與AC的交點,過點G作EF與上、下底平行,點E和F分別在AB和CD上,求證:AFB=900的充要條件是AD+BC=CD。 6.AP,AQ,AR,AS是同一個圓中的四條弦,已知PAQ=QAR=RAS,求證:AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS)。 7.已知一凸四邊形的邊長依次為a, b, c, d,外接圓半徑為R,如果a2+b2+c2+d2=8R2,試問對此四邊形有何要求? 8.設四邊形ABCD內接于圓,BA和CD延長后交于點R,AD和BC延長后交于點P,A,B,C指的都是△ABC的內角,求證:若AC與BD交于點Q,則 9.設P是△ABC內一點,點P至BC,CA,AB的垂線分別為PD,PE,PF(D,E,F(xiàn)是垂足),求證:PAPBPC≥(PD+PE)(PE+PF)(PF+PD),并討論等號成立之條件。- 配套講稿:
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