2019-2020年高三數(shù)學 專題5 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習.doc
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2019-2020年高三數(shù)學 專題5 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習 一、前測訓練 1.(1)若tanα=,α∈(π,π),則sinα= ,cosα= . 答案:-;- (2)已知tana =2,則= ,sin2a-2sinacosa+2= . 答案:;2 (3)已知sinα+cosα=,α∈(0,π),則cosα-sinα= ,tanα= . 答案:;- 2. (1) 函數(shù)的定義域為 . 答案:[kπ+ ,kπ+] (2) 函數(shù)的值域為 . 答案:[- ,1] (3) 函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為 . 答案:[+,+] (4)函數(shù) 的對稱軸為 ;中心對稱點為 . 答案:x=+;(-,0) 3.(1)函數(shù)y=2sin2x+sinxcosx +3 cos2x的值域為 . 答案:[,] (2)函數(shù)y=4sin2x-12cosx-1 x [- , ]的值域為 . 答案:[-13,8] (3)函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx+2(x∈[0,π])的值域為 . 答案:[,3+] (4)函數(shù)y=的值域為 . 答案:[0,+∞) 提示:方法一:看作斜率,數(shù)形結(jié)合處理; 方法二:導數(shù)法處理. 4.(1)已知函數(shù)y=Asin(2x+φ)的對稱軸為x=,則φ的值為 . 答案:kπ+ (2)已知函數(shù)y=cos(2x+φ)為奇函數(shù),求φ的值為 . 答案:kπ+ 5.已知函數(shù)(其中)的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為,且圖象上一個最低點為,則的解析式 . 答案:f(x)=2sin(2x+) 二、方法聯(lián)想 1.三角函數(shù)求值 (1) 知一求其余三角函數(shù)值; (2)關于sinα與cosα的齊次式,同除cosa或cos2a,如果不是齊次,借助1=sin2α+cos2α構(gòu)造齊次. (3)sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα間關系式 sinα+cosα sinα-cosα sinαcosα sinα和cosα tanα sin2α 注意 根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值正負.無法確定正負時可根據(jù)三角函數(shù)值的正負(或與特殊角的三角函數(shù)值)縮小角的范圍. 2.y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì) 對于y=Asin(ωx+φ),將ωx+φ看成整體,轉(zhuǎn)化為由y=sinx,解決其定義域、值域、對稱軸、中心對稱點問題. 形如y=asin2ωx+bsinωxcosωx+ccos2ωx的形式 方法 先利用降冪公式化為一次形式,將用輔助角公式化為y=Asin(2ωx+φ)形式求值域. 形如①含有sin2x,cosx(或sinx)和cos2x,sinx(或cosx)形式;②含有sinxcosx,sinxcosx 方法 利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題. 形如分子、分母含有sinx,cosx的一次形式 方法1 化為sin(ωx+φ)=M形式,再得用三角函數(shù)的有界性(|sinx|≤1,|cosx|≤1)求值域. 方法2 導數(shù)法 3.求f(x)=Asin(wx+j)+B(A>0)的解析式 方法 (1)由周期T=得w; (2)由得 (3)將點代入求j(盡量代入最高點或最低點). 4.三角函數(shù)對稱問題 方法 對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ) ①若x=x0為對稱軸f(x0)=A. ②若(x0,0)為中心對稱點f(x0)=0. 推論:對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ) ①若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)f(0)=A. ②若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)f(0)=0. 三、例題分析 [第一層次] 例1、已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關于點M對稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù). (1)求φ的值; (2)求ω的值. 解:(1)φ=. (2)ω=或2. 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 三角函數(shù)圖象軸對稱問題 函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),說明f(x)的圖象關于y軸對稱. 方法選擇與優(yōu)化建議: 從f(x)為偶函數(shù)很容易得到f(0)=sinφ =1,從而有φ=kπ+,這個結(jié)論要讓學生理解并推理,不需要記憶. (2)主要問題歸類與方法: 三角函數(shù)圖象中心對稱問題 函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)圖象關于點M對稱. 方法選擇與優(yōu)化建議: 從f=0,可以得到cos=0,于是=kπ+,ω=k+(k∈Z).再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導出ω的值. 例2、設函數(shù). (1)求的最小正周期. (2)若函數(shù)與的圖像關于直線對稱,求當時的最大值. 解:(1)的最小正周期為8. (2)最大值為. 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問題 化為y=Asin(ωx+φ)形式,使得函數(shù)式中只含有一個一次的三角函數(shù). 方法選擇與優(yōu)化建議: 采用展開、降冪等方法“化一”. (2)主要問題歸類與方法: 求三角函數(shù)的最值問題 常用的方法有①化為只含有一個一次的三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)形式;②通過換元等辦法將函數(shù)化為二次函數(shù)處理. 方法選擇與優(yōu)化建議: 由第一問知道,本題可以化為只含有一個一次的三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)形式,所以選擇①方便. 例3、某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD 的頂點A,B 及CD的中點P 處,已知AB=20km,CB =10km ,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上(含邊界),且A,B 與等距離的一點O 處建造一個污水處理廠,并鋪設排污管道AO,BO,OP ,設排污管道的總長為km. (1)設∠BAO=(rad),將表示成的函數(shù)關系式; (2)請你選用(1)中的函數(shù)關系式,確定污水處理廠的位置,使三條排污管道總長度最短. 解 (1) (2)點P 位于線段AB 的中垂線上,且距離AB 邊km處. 〖教學建議〗 (2)主要問題歸類與方法: 求三角函數(shù)的最值問題 化為只含有一個一次的三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)形式,或者通過換元等辦法將函數(shù)化為二次函數(shù)等方法都無法解決函數(shù)的最值問題. 方法選擇與優(yōu)化建議: 選擇利用導數(shù)法求最值. [第二層次] 例1 已知函數(shù). (1)若,求的最大值和最小值; (2)若,求的值. 解 (1) . (2)2-. 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問題 化為y=Asin(ωx+φ)形式,使得函數(shù)式中只含有一個一次的三角函數(shù). 方法選擇與優(yōu)化建議: 采用輔助角的方法“化一”,在求最值得時候特別要注意角的范圍,要防止學生只是將兩個端點代入計算. (2)主要問題歸類與方法: 三角函數(shù)求值 ①知一求其余三角函數(shù)值; ②關于sinα與cosα的齊次式,同除cosa或cos2a,如果不是齊次,借助1=sin2α+cos2α構(gòu)造齊次. 方法選擇與優(yōu)化建議: 對于方法①,從已知的tanx值可以求得sinx、cosx的值,但是由于題目沒有給定角x的范圍,所以采用這個方法的話,就需要分類討論,解決起來比較麻煩,不宜采用. 由于可以化為sinα與cosα的齊次式,所以選擇②方便. 例2 已知向量a=(3sinα,cosα),b=(2sinα, 5sinα-4cosα),α∈(),且a⊥b. (1)求tanα的值; (2)求cos()的值. 解 (1) tanα=-. (2) . 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 三角函數(shù)求值 ①知一求其余三角函數(shù)值; ②關于sinα與cosα的齊次式,同除cosa或cos2a,如果不是齊次,借助1=sin2α+cos2α構(gòu)造齊次. 方法選擇與優(yōu)化建議: a⊥b化簡后得到sinα與cosα的齊次式,同除以cos2a求得tanα值,所以選擇方法②方便. (2)主要問題歸類與方法: 三角變換問題 方法選擇與優(yōu)化建議: 注意條件已知角與未知角之間的聯(lián)系,從α化到 例3 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關于點M對稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù). (1)求φ的值; (2)求ω的值. 解 (1)φ=. (2)ω=或2. 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 三角函數(shù)圖象軸對稱問題 函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),說明f(x)的圖象關于y軸對稱. 方法選擇與優(yōu)化建議: 從f(x)為偶函數(shù)很容易得到f(0)=sinφ =1,從而有φ=kπ+,這個結(jié)論要讓學生理解并推理,不需要記憶. (2)主要問題歸類與方法: 三角函數(shù)圖象中心對稱問題 函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)圖象關于點M對稱. 方法選擇與優(yōu)化建議: 從f=0,可以得到cos=0,于是=kπ+,ω=k+(k∈Z).再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導出ω的值. [第三層次] 例1 已知函數(shù). (1)若,求的最大值和最小值; (2)若,求的值. 解 (1) . (2)2-. 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問題 化為y=Asin(ωx+φ)形式,使得函數(shù)式中只含有一個一次的三角函數(shù). 方法選擇與優(yōu)化建議: 采用輔助角的方法“化一”,在求最值得時候特別要注意角的范圍,要防止學生只是將兩個端點代入計算. (2)主要問題歸類與方法: 三角函數(shù)求值 ①知一求其余三角函數(shù)值; ②關于sinα與cosα的齊次式,同除cosa或cos2a,如果不是齊次,借助1=sin2α+cos2α構(gòu)造齊次. 方法選擇與優(yōu)化建議: 對于方法①,從已知的tanx值可以求得sinx、cosx的值,但是由于題目沒有給定角x的范圍,所以采用這個方法的話,就需要分類討論,解決起來比較麻煩,不宜采用. 由于可以化為sinα與cosα的齊次式,所以選擇②方便. 例2 設函數(shù). (1)求的最小正周期. (2)若函數(shù)與的圖像關于直線對稱,求當時的最大值. 解 (1)的最小正周期為8. (2)最大值為. 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問題 化為y=Asin(ωx+φ)形式,使得函數(shù)式中只含有一個一次的三角函數(shù). 方法選擇與優(yōu)化建議: 采用展開、降冪等方法“化一”. (2)主要問題歸類與方法: 求三角函數(shù)的最值問題 常用的方法有①化為只含有一個一次的三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)形式;②通過換元等辦法將函數(shù)化為二次函數(shù)處理. 方法選擇與優(yōu)化建議: 由第一問知道,本題可以化為只含有一個一次的三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)形式,所以選擇①方便. 例3 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關于點M對稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù). (1)求φ的值; (2)求ω的值. 解(1)φ=; (2)ω=或2. 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 三角函數(shù)圖象軸對稱問題 函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),說明f(x)的圖象關于y軸對稱. 方法選擇與優(yōu)化建議: 從f(x)為偶函數(shù)很容易得到f(0)=sinφ =1,從而有φ=kπ+,這個結(jié)論要讓學生理解并推理,不需要記憶. (2)主要問題歸類與方法: 三角函數(shù)圖象中心對稱問題 函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)圖象關于點M對稱. 方法選擇與優(yōu)化建議: 從f=0,可以得到cos=0,于是=kπ+,ω=k+(k∈Z).再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導出ω的值. 四、反饋練習- 配套講稿:
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