2015泉州五校高三摸底聯(lián)考數(shù)學理試卷及答案.doc

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2014年秋季南僑中學、永春三中、永春僑中、荷山中學、南安三中高中畢業(yè)班摸底統(tǒng)一考試 第I卷（選擇題 共50分） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出分四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1. 已知集合則為（ ） A． B． 　 C． 　 D． 2．如果復數(shù)為純虛數(shù)，那么實數(shù)的值為（ ） A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2 3. 在中，若,則的面積( ) A 、 B、 C、 D、 4．下列命題中，真命題是（ ） A． B． C． D． 5. 函數(shù)的大致圖像是（ ） A　　　　　　 B　　　　　　 C　　　　 ?。? 1.99 3 4 5.1 6.12 1.5 4.04 7.5 12 18.01 6．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了右邊一組實驗數(shù)據(jù)：現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是 （ ） A. B. 　 C. D. 7．若、、是互不相同的空間直線，、是不重合的平面，則下列結論正確的是（ ） A． B． C． D． 8. 如圖過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為(　　) A． 　B C． 　D． 9. 設為實系數(shù)三次多項式函數(shù)﹒已知五個方程式的相異實根個數(shù)如下表所述﹕ 方程式 相異實根的個數(shù) 1 3 3 1 1 關于的極小值﹐試問下列哪一個選項是正確的（ ） A. B. C. D.﹒ 10. 將一圓的六個等分點分成兩組相間的三點﹐它們所構成的兩個正三角形扣除內部六條線段后可以形成一正六角星﹐如圖所示的正六角星是以原點為中心﹐其中﹐分別為原點到兩個頂點的向量﹒若將原點到正六角星12個頂點的向量﹐都寫成為的形式﹐則的最大值為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非選擇題共100分） 2、 填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置。 11． 某三棱錐的三視圖如圖所示， 該三棱錐的 體積是 . 12. 已知兩個單位向量，的夾角為30，，.若，則正實數(shù)=____________ 13. 若變量x，y滿足約束條件且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b， 則a－b的值是____________ 14、函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線mx+ny+2=0上，其中，則的最小值為 15、2008年高考福建省理科數(shù)學第11題是：“雙曲線（）的兩個焦點為、，若為其上一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍為：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正確選項是B。若將其中的條件“”更換為“，且”，試經(jīng)過合情推理，得出雙曲線離心率的取值范圍是 三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答題寫出必要的文字說明、推演步驟。） 16.（本小題滿分13分）已知向量， ，設函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調增區(qū)間； （2）已知銳角的三個內角分別為若，，邊，求邊． 17.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，，其前項和為，為等比數(shù)列, ，且． (Ⅰ)求與；（Ⅱ）證明. 18. （本小題滿分13分） C 1 B 1 A 1 C B A 如圖，在三棱柱中，是邊長為的正方形，平面平面，. （1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）證明：在線段上存在點，使得， 并求的值。 19.（本小題滿分13分）設橢圓E: （a,b>0），短軸長為4，離心率為，O為坐標原點， （I）求橢圓E的方程； （II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，求出該圓的方程，若不存在說明理由。 20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)． (Ⅰ)討論函數(shù)在定義域內的極值點的個數(shù)； (Ⅱ)若函數(shù)在處取得極值，且對,恒成立， 求實數(shù)的取值范圍； (Ⅲ)當且時，試比較的大?。? 21. 本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，做答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。 （1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換 二階矩陣M對應的變換T將點(2，－2)與(－4,2)分別變換成點(－2，－2)與(0，－4)． ①求矩陣M； ②設直線l在變換T作用下得到了直線m：x－y＝6，求l的方程． （2） （本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸的非負半軸重合．若曲線的方程為，曲線的參數(shù)方程為 （Ⅰ） 將的方程化為直角坐標方程； （Ⅱ）若點為上的動點，為上的動點，求的最小值． （3） （本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝| x+3|－|x－2|. ①求不等式f(x)≥3的解集； ②若f(x) ≥ |a－4|有解，求a的取值范圍． 2014年秋季南僑中學、永春三中、永春僑中、荷山中學、南安三中高中畢業(yè)班摸底統(tǒng)一考試 答題卡 一、選擇題（本大題共10小題，共50分。） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空題（本大題共5小題，共20分。） 11、 12、 13、 14、 15、 三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答題寫出必要的文字說明、推演步驟。） 16. 17. C 1 B 1 A 1 C B A 18. 19. 20. 21. 2014年秋季南僑中學、永春三中、永春僑中、荷山中學、南安三中高中畢業(yè)班摸底統(tǒng)一考試答案 第I卷（選擇題 共50分） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出分四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1. 已知集合則為（ ） A． B． 　 C． 　 D． 解析：∵∴=,選C. 2．如果復數(shù)為純虛數(shù)，那么實數(shù)的值為（ ） A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2 解析： 即 ，故選擇答案A 3. 在中，若,則的面積( ) A 、 B、 C、 D、 解析：改編自2014福建理科高考12題，考查三角形的解法和面積公式，答案C 4．下列命題中，真命題是（ ） A． B． C． D． 解析：答案為D 5. 函數(shù)的大致圖像是（ ） A　　　　　　 B　　　　　　 C　　　　 ?。? 解析：該函數(shù)為偶函數(shù)，答案為B 1.99 3 4 5.1 6.12 1.5 4.04 7.5 12 18.01 6．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了右邊一組實驗數(shù)據(jù)：現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是 （ ） B. B. 　 C. C. D. 解析：由該表提供的信息知，該模擬函數(shù)在應為增函數(shù)，故排除D,將、4…代入選項A、B、C易得B最接近，故答案應選B. 7．若、、是互不相同的空間直線，、是不重合的平面，則下列結論正確的是（ ） A． B． C． D． 解析：對于A，或 異面，所以錯誤；對于B， 與 可能相交可能平行，所以錯誤；對于C， 與 還可能異面或相交，所以錯誤.故答案應選D 8. 如圖過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為(　　) A． 　B C． 　D． 【答案】B 解析:如圖分別過點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D， 設|BF|=a，則由已知得：|BC|=2a，由定義得：|BD|=a，故∠BCD=30， 在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC| ∴3+3a=6，從而得a=1，∵BD∥FG，∴,求得p=，因此拋物線方程為y2=3x． 9. 設為實系數(shù)三次多項式函數(shù)﹒已知五個方程式的相異實根個數(shù)如下表所述﹕ 方程式 相異實根的個數(shù) 1 3 3 1 1 關于的極小值﹐試問下列哪一個選項是正確的（ ） A. B. C. D.﹒ 解析﹕ 「方程式的相異實根數(shù)」等于「函數(shù)與水平線兩圖形的交點數(shù)﹒」 依題意可得兩圖形的略圖有以下兩種情形﹕ (1) 當?shù)淖罡叽雾椣禂?shù)為正時﹕ (2) 當?shù)淖罡叽雾椣禂?shù)為負時﹕ 因極小值點位于水平線與之間﹐所以其坐標（即極小值）的范圍為 ﹒ 故選(B)﹒ 10. 將一圓的六個等分點分成兩組相間的三點﹐它們所構成的兩個正三角形扣除內部六條線段后可以形成一正六角星﹐如圖所示的正六角星是以原點為中心﹐其中﹐分別為原點到兩個頂點的向量﹒若將原點到正六角星12個頂點的向量﹐都寫成為的形式﹐則的最大值為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析﹕因為想求的最大值﹐所以考慮圖中的6個頂點之向量即可﹒討論如下﹕ (1) 因為﹐所以﹒ (2) 因為﹐所以﹒ (3) 因為﹐所以﹒ (4) 因為﹐ 所以﹒ (5)因為﹐所以﹒ (6)因為﹐所以﹒ 因此﹐的最大值為﹒故選D﹒ 第Ⅱ卷（非選擇題共100分） 3、 填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置。 11．某三棱錐的三視圖如圖所示， 該三棱錐的體積是 . 解析：由俯視圖與側視圖可知三棱錐的底面積為，由側視圖可知棱錐的高為2，所以棱錐的體積為， 13. 已知兩個單位向量，的夾角為30，，.若，則正實數(shù)=____________ 解析：t=1 13. 若變量x，y滿足約束條件且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b， a－b的值是____________ 解析：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，意在考查考生對基礎知識的掌握．約束條件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)為頂點的四邊形區(qū)域，檢驗四個頂點的坐標可知，當x＝4，y＝4時，a＝zmax＝54－4＝16；當x＝8，y＝0時，b＝zmin＝50－8＝－8，∴a－b＝24. 14、函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線mx+ny+2=0上，其中，則的最小值為 2007山東卷改編答案：4 15、2008年高考福建省理科數(shù)學第11題是：“雙曲線（）的兩個焦點為、，若為其上一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍為：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正確選項是B。若將其中的條件“”更換為“，且”，試經(jīng)過合情推理，得出雙曲線離心率的取值范圍是 答案： 三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答題寫出必要的文字說明、推演步驟。） 16.（本小題滿分13分）已知向量， ，設函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調增區(qū)間； （2）已知銳角的三個內角分別為若，，邊，求邊． 解：（1） ． …………………………4分 ∵R，由 得 ……… 6分 ∴函數(shù)的單調增區(qū)間為． ……………………7分 （2）∵，即，∵角為銳角，得， ……… 9分 又，∴，∴ ∵，由正弦定理得 ……… 13分 本題由練習改編，考查向量的坐標運算，三角恒等變換，及正弦定理的應用。 17.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，，其前項和為，為等比數(shù)列, ，且． (Ⅰ)求與； （Ⅱ）證明. 解：（1）設的公差為，且的公比為 …………………7分 （2） ，………9分 ∴ …………………13分 19. （本小題滿分13分） 如圖，在三棱柱中，是邊長為的正方形，平面平面，. C 1 B 1 A 1 C B A （1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）證明：在線段上存在點，使得，并求的值。 解：（I）因為AA1C1C為正方形，所以AA1 ⊥AC. 因為平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個平面的交線AC, 所以AA1⊥平面ABC.……… 3分 (II)由（I）知AA1 ⊥AC，AA1 ⊥AB. 由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC. 如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A－,則B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)， 設平面A1BC1的法向量為，則,即， 令，則，，所以.……… 6分 同理可得，平面BB1C1的法向量為,所以. 由題知二面角A1－BC1－B1為銳角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值為.……… 8分 (III)設D是直線BC1上一點，且. 所以.解得，，. 所以. 由，即.解得.……… 11分 因為，所以在線段BC1上存在點D， 使得AD⊥A1B. 此時，.……… 13分 19.（本小題滿分13分）設橢圓E: （a,b>0），短軸長為4，離心率為，O為坐標原點， （I）求橢圓E的方程； （II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，求出該圓的方程，若不存在說明理由。 解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）,b=2, e= 所以解得所以橢圓E的方程為……… 5分 （2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即, ……… 7分 則△=,即 ② ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,……… 11分 此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.……… 13分 20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)． (Ⅰ)討論函數(shù)在定義域內的極值點的個數(shù)； (Ⅱ)若函數(shù)在處取得極值，且對,恒成立， 求實數(shù)的取值范圍； (Ⅲ)當且時，試比較的大?。? 解：(Ⅰ)， 當時，在上恒成立，函數(shù) 在單調遞減， ∴在上沒有極值點； 當時，得，得， ∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值． ∴當時在上沒有極值點， 當時，在上有一個極值點．……… 4分 (Ⅱ)∵函數(shù)在處取得極值， ∴， ∴， 令，可得在上遞減，在上遞增， ∴，即．……… 9分 (Ⅲ)解：令， 由(Ⅱ)可知在上單調遞減，則在上單調遞減 ∴當時，>，即． 當時， ∴， 當時， ∴……… 14分 21. 本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，做答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。 （1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換 二階矩陣M對應的變換T將點(2，－2)與(－4,2)分別變換成點(－2，－2)與(0，－4)． ①求矩陣M； ②設直線l在變換T作用下得到了直線m：x－y＝6，求l的方程． 解　(1)設M＝，所以，且， 解得，所以M＝.……… 4分 (2)因為＝＝ 且m：x′－y′＝6，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝6， 即x＋y＋3＝0，∴直線l的方程是x＋y＋3＝0……… 7分 （3） （本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸的非負半軸重合．若曲線的方程為，曲線的參數(shù)方程為 （Ⅰ） 將的方程化為直角坐標方程； （Ⅱ）若點為上的動點，為上的動點，求的最小值． 解：（Ⅰ）由已知得，即………3分 （Ⅱ）由得，所以圓心為，半徑為1． 又圓心到直線的距離為,…………………5分 所以的最大值為．…………………………7分 （4） （本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝| x+3|－|x－2|. ①求不等式f(x)≥3的解集； ②若f(x) ≥ |a－4|有解，求a的取值范圍． 解：(1) [1, + ) ……… 3分 (2) |a－4|≤5 ∴-1≤a≤9……… 7分