2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第36講 空間幾何體的表面積與體積練習(xí) 新人教A版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第36講 空間幾何體的表面積與體積練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.與三視圖相結(jié)合考查柱、錐、臺(tái)、球的體積和表面積.2.以選擇題與填空題形式考查． 一、旋轉(zhuǎn)體的表(側(cè))面積 名稱 側(cè)面積 表面積 圓柱(底面半徑r，母線長(zhǎng)l) 2πrl 2πr(l＋r) 圓錐(底面半徑r，母線長(zhǎng)l) πrl πr(l＋r) 圓臺(tái)(上、下底面 半徑r，母線長(zhǎng)l) π(r1＋r2)l π(r1＋r2)l＋π(r＋r) 球(半徑為R) 4πR2 二、空間幾何體的體積(h為高，S為下底面積，S′為上底面積) 1．V柱體＝Sh. 2．V錐體＝Sh. 3．V臺(tái)體＝h(S＋＋S′)． 4．V球＝πR3(球半徑是R)． 求幾何體體積的兩種重要方法 1．割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決． 2．等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了具體通過(guò)作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值． 1．正六棱柱的高為6，底面邊長(zhǎng)為4，則它的全面積為(　　) A．48(3＋)　　　　　　　　 B．48(3＋2) C．24(＋) D．144 【解析】　正六棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝664＝144，底面面積S底＝2642＝48， ∴S表＝144＋48＝48(3＋)． 【答案】　A 2．若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖7－2－1所示，則其側(cè)面積等于(　　) 圖7－2－1 A. B．2 C．2 D．6 【解析】　由三棱柱的正視圖可知此三棱柱為底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為1的正三棱柱， ∴S側(cè)＝213＝6. 【答案】　D 3．圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是(　　) A．4πS B．2πS C．πS D.πS 【解析】　設(shè)圓柱的底面半徑為r， 則S＝πr2， ∴r＝. 由題意得圓柱的高h(yuǎn)＝2πr， ∴S側(cè)＝2πrh＝4π2＝4πS. 【答案】　A 4．母線長(zhǎng)為1的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是π，則該圓錐的體積為(　　) A.π B.π C.π D.π 【解析】　設(shè)圓錐的底面半徑為r，依題意得 πr1＝π，∴r＝. ∴圓錐的高h(yuǎn)＝ ＝. ∴圓錐的體積V＝πr2h＝π. 【答案】　C 5．(xx陜西高考)某幾何體的三視圖如圖7－2－2所示，則其表面積為_(kāi)_______． 圖7－2－2 【解析】　由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)半徑為1的半球，其表面積為半個(gè)球面面積與截面面積的和，即4π＋π＝3π. 【答案】　3π 6．(xx遼寧高考)某幾何體的三視圖如圖7－2－3所示，則該幾何體的體積是________． 圖7－2－3 【解析】　由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為 16π；正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2，高為4，故體積為16，故題中幾何體的體積為 16π－16. 【答案】　16π－16 考向一 [118]　空間幾何體的表面積 　如圖7－2－4是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是(　　) 圖7－2－4 A．9π　　　B．10π　　　C．11π　　　D．12π 【思路點(diǎn)撥】　先由三視圖判斷幾何體的形狀，然后根據(jù)相應(yīng)幾何體的表面積公式求解． 【嘗試解答】　從題中三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱體組合而成的，其表面積為S＝4π12＋π122＋2π13＝12π.故選D. 【答案】　D 規(guī)律方法1　1.解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，弄清幾何體的組成. 2.在求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一側(cè)面分別求解后再相加，對(duì)于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理. 3.以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(xx重慶高考)某幾何體的三視圖如圖7－2－5所示，則該幾何體的表面積為(　　) 圖7－2－5 A．180　　　B．200　　　C．220　　　D．240 【解析】　由三視圖知識(shí)知該幾何體是底面為等腰梯形的直四棱柱． 等腰梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為8，高為4，腰長(zhǎng)為5，直四棱柱的高為10，所以S底＝(8＋2)42＝40，S側(cè)＝108＋102＋2105＝200，S表＝40＋200＝240，故選D. 【答案】　D 考向二 [119]　空間幾何體的體積 　(1)(xx課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)某幾何體的三視圖如圖7－2－6所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖7－2－6 A．16＋8π　　　　　　 B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 圖7－2－7 (2)(xx山東高考)如圖7－2－7，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1－EDF的體積為_(kāi)_______． 【思路點(diǎn)撥】　(1)根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，明確邊長(zhǎng)的大?。俑鶕?jù)相應(yīng)公式求解． (2)原三棱錐的底面面積和高都不易求，轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)使三棱錐的高與底面面積易求． 【嘗試解答】　(1) 原幾何體為組合體：上面是長(zhǎng)方體，下面是圓柱的一半(如圖所示)，其體積為V＝422＋π224＝16＋8π. (2)VD1－EDF＝VF－DD1E＝S△D1DEAB＝111＝. 【答案】　(1)A　(2) 規(guī)律方法2　1.解答本題(2)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)的原則是使底面面積和高易求．一般做法是把底面放在已知幾何體的某一個(gè)面上． 2．注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的方法． 3．等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面．①求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來(lái)計(jì)算；②利用“等積法”可求“點(diǎn)到面的距離”． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(xx廣東高考)某三棱錐的三視圖如圖7－2－8所示，則該三棱錐的體積是(　　) 圖7－2－8 A.　　　B.　　　C.　　　D．1 (2)(xx江西高考)一幾何體的三視圖如圖7－2－9所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖7－2－9 A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π 【解析】　(1)如圖，三棱錐的底面是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，有一條側(cè)棱和底面垂直，且其長(zhǎng)度為2，故三棱錐的高為2，故其體積V＝112＝，故選B. (2)由三視圖可知該幾何體的下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，上面是半個(gè)圓柱組成的組合體．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為10、4、5，半圓柱底面圓半徑為3，高為2，故組合體體積V＝1045＋9π＝200＋9π. 【答案】　(1)B　(2)A 考向三 [120]　球與多面體 　已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上．若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_(kāi)_______． 【思路點(diǎn)撥】　由球、圓錐的對(duì)稱性知，兩圓錐的頂點(diǎn)連線過(guò)球心及圓錐底面的圓心，先求圓錐底面的半徑，再求球心與圓錐底面的圓心間的距離，問(wèn)題可解． 【嘗試解答】　如圖，設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r. 由題意得πr2＝4πR2. ∴r2＝R2， 根據(jù)球的截面的性質(zhì)可知兩圓錐的高必過(guò)球心O，且兩圓錐的頂點(diǎn)以及圓錐與球的交點(diǎn)是球的大圓上的點(diǎn)，且AB⊥O1C. ∴OO1＝＝R， 因此體積較小的圓錐的高AO1＝R－R＝， 體積較大的圓錐的高BO1＝R＋＝R. 且這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比為. 【答案】　 規(guī)律方法3　1.解答本題的關(guān)鍵是確定球心、圓錐底面圓心與兩圓錐頂點(diǎn)之間的關(guān)系，這需要根據(jù)球的對(duì)稱性及幾何體的形狀來(lái)確定. 2.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(xx課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)如圖7－2－10，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋 圖7－2－10 的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為(　　) A. cm3　　　　　 B. cm3 C. cm3 D. cm3 【解析】　如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝8＝4(cm)．設(shè)球的半徑為R cm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5， ∴V球＝π53＝π(cm3)． 【答案】　A 思想方法之十七　補(bǔ)形法破譯體積問(wèn)題 某些空間幾何體是某一個(gè)幾何體的一部分，在解題時(shí)，把這個(gè)幾何體通過(guò)“補(bǔ)形”補(bǔ)成完整的幾何體或置于一個(gè)更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的幾何問(wèn)題，這是一種重要的解題策略——補(bǔ)形法．常見(jiàn)的補(bǔ)形法有對(duì)稱補(bǔ)形、聯(lián)系補(bǔ)形與還原補(bǔ)形．對(duì)于還原補(bǔ)形，主要涉及臺(tái)體中“還臺(tái)為錐”問(wèn)題． ———　[1個(gè)示范例]　———　[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]　——— 　　　(xx湖北高考)已知某幾何體的三視圖如圖7－2－11所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖7－2－11 A.　　　B．3π　　　C.　　　D．6π 【解析】　由三視圖可知，此幾何體(如圖所示)是底面半徑為1，高為4的圓柱被從母線的中點(diǎn)處截去了圓柱的，所以V＝π124＝3π. (xx遼寧高考)已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形．若PA＝2，則△OAB的面積為_(kāi)_______． 【解析】　如圖所示，線段PC就是球的直徑，設(shè)球的半徑為R，因?yàn)锳B＝BC＝2，所以AC＝2.又PA＝2，所以PC2＝PA2＋AC2＝24＋24＝48，所以PC＝4，所以O(shè)A＝OB＝2， 所以△AOB是正三角形， 所以S＝22＝3. 【答案】　3