廣東省廉江市2018屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)歸納法總復(fù)習(xí)課件 理 新人教A版.ppt

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數(shù)學(xué)歸納法要點(diǎn)梳理1.歸納法由一系列有限的特殊事例得出的推理方法叫歸納法.根據(jù)推理過程中考查的對(duì)象是涉及事物的全體或部分可分為歸納法和歸納法.,一般結(jié)論,完全,,不完,全,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),2.數(shù)學(xué)歸納法(1)數(shù)學(xué)歸納法：設(shè){Pn}是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果①證明起始命題P1（或P0)成立；②在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk+1也成立，那么可以斷定{Pn}對(duì)一切正整數(shù)成立.(2)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟①(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí),命題成立.②(歸納遞推）假設(shè)(k≥n0,k∈N+)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.,n=n0,n=k,n=k+1,基礎(chǔ)自測(cè)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a2+…+an+1(a≠1)”在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3,C,2.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于()A.1B.2C.3D.0解析邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形.,C,3.如果命題p(n)對(duì)n=k成立，則它對(duì)n=k+2也成立.若p(n)對(duì)n=2成立，則下列結(jié)論正確的是()A.p(n)對(duì)所有正整數(shù)n都成立B.p(n)對(duì)所有正偶數(shù)n都成立C.p(n)對(duì)所有正奇數(shù)n都成立D.p(n)對(duì)所有自然數(shù)n都成立解析歸納奠基是：n=2成立.歸納遞推是：n=k成立，則對(duì)n=k+2成立.∴p（n）對(duì)所有正偶數(shù)n都成立.,B,4.某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n=k(k∈N+)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知n=5時(shí),該命題不成立,那么可以推得()A.n=6時(shí)該命題不成立B.n=6時(shí)該命題成立C.n=4時(shí)該命題不成立D.n=4時(shí)該命題成立解析方法一由n=k(k∈N+)成立,可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立.因而若n=4成立，必有n=5成立.現(xiàn)知n=5不成立，所以n=4一定不成立.方法二其逆否命題“若當(dāng)n=k+1時(shí)該命題不成立，則當(dāng)n=k時(shí)也不成立”為真，故“n=5時(shí)不成立”“n=4時(shí)不成立”.,C,5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上()A.k2+1B.（k+1）2C.D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2解析∵當(dāng)n=k時(shí)，左邊=1+2+3+…+k2，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1+2+3+…+k2+（k2+1）+…+（k+1）2，∴當(dāng)n=k+1時(shí)，左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2.,C,題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)任意的n∈N+,用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟為：①歸納奠基：驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立；②歸納遞推：假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N+）時(shí)成立，推出當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.,題型分類深度剖析,證明所以等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)等式成立,即有,所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由（1）（2）可知,對(duì)一切n∈N+等式都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式時(shí)，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由n=k到n=k+1時(shí)等式的兩邊變化的項(xiàng)，然后正確寫出歸納證明的步驟，使問題得以證明.,知能遷移1用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊等式右邊所以等式成立.（2）假設(shè)n=k（k∈N+）時(shí)等式成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，,即n=k+1時(shí)等式成立.由（1）（2）可知，對(duì)任意n∈N+等式均成立.,題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題用數(shù)學(xué)歸納法證明an+1+(a+1)2n-1(n∈N+）能被a2+a+1整除.解（1）當(dāng)n=1時(shí)，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.（2）假設(shè)n=k(k∈N+)時(shí)，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，,驗(yàn)證n=1時(shí)命題是否成立,假設(shè)n=k時(shí)命題成立,推證n=k+1時(shí)命題成立,,得結(jié)論,,,則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1=a［ak+1+(a+1)2k-1］+(a2+a+1)(a+1)2k-1,由假設(shè)可知a［ak+1+(a+1)2k-1］能被a2+a+1整除，(a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除，∴ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除，即n=k+1時(shí)命題也成立，∴對(duì)任意n∈N+原命題成立.證明整除問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，湊出n=k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證.,知能遷移2求證：（3n+1）7n-1(n∈N+)能被9整除.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),(3n+1)7n-1=27能被9整除.(2)假設(shè)n=k(k∈N+)時(shí)命題成立，即(3k+1)7k-1能被9整除，那么n=k+1時(shí)：［3(k+1)+1］7k+1-1=［(3k+1)+3］(1+6)7k-1=(3k+1)7k-1+(3k+1)67k+217k=［(3k+1)7k-1］+3k67k+(6+21)7k.以上三項(xiàng)均能被9整除.則由（1）（2）可知，命題對(duì)任意n∈N+都成立.,題型三用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式均成立.應(yīng)注意到題目條件，第一步應(yīng)驗(yàn)證n=2時(shí)不等式成立.證明（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊∵左邊>右邊，∴不等式成立.（2）假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N+)時(shí)不等式成立，,則當(dāng)n=k+1時(shí)，∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（1）（2）知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.,在由n=k到n=k+1的推證過程中，應(yīng)用放縮技巧，使問題得以簡(jiǎn)化.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)，從n=k到n=k+1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等.,知能遷移3已知函數(shù)f(x)=x-sinx,數(shù)列{an}滿足:00,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在［0，1］上連續(xù)，從而f(0)a2,∴a2=3,a5=9.,5分,,6分,,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=4時(shí)，已證.,9分,=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>［(k+1)+1］2=S(k+1)+1,,11分,12分,（1）歸納——猜想——證明是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問題需要從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律.（2）數(shù)列是定義在N+上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實(shí)質(zhì)上是一致的，數(shù)列中有不少問題常用數(shù)學(xué)歸納法解決.,知能遷移4如圖所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（01)不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析增加的項(xiàng)數(shù)為（2k+1-1）-(2k-1)=2k+1-2k=2k.,C,3.對(duì)于不等式(n∈N+)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)，不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A.過程全部正確B.n=1驗(yàn)得不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確解析在n=k+1時(shí)，沒有應(yīng)用n=k時(shí)的假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法.,D,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n=k+1時(shí)的情況,只需展開()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k+3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可.,A,5.證明當(dāng)n=2時(shí)，左邊式子等于()A.1B.C.D.解析當(dāng)n=2時(shí)，左邊的式子為,D,6.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(n≥2,n∈N+)的過程中，由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式左邊()A.增加了一項(xiàng)B.增加了兩項(xiàng)C.增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)D.以上各種情況均不對(duì),解析答案C,二、填空題7.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,則f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系式是.解析∵f(k)=12+22+…+(2k)2，f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.,f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,8.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n∈N,且n>1),第一步要證的不等式是.解析n=2時(shí)，左邊,9.已知整數(shù)對(duì)的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4)，…，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是.解析本題規(guī)律：2=1+1；3=1+2=2+1；4=1+3=2+2=3+1；5=1+4=2+3=3+2=4+1；…；一個(gè)整數(shù)n所擁有數(shù)對(duì)為(n-1)對(duì).設(shè)1+2+3+…+(n-1)=60,∴n=11時(shí)還多5對(duì)數(shù)，且這5對(duì)數(shù)和都為12，12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，∴第60個(gè)數(shù)對(duì)為（5，7）.,(5,7),三、解答題10.已知數(shù)列{an}中，(n∈N+).證明：0

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