2019年高考數(shù)學試題分類匯編 F單元 平面向量（含解析）.doc

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2019年高考數(shù)學試題分類匯編 F單元 平面向量（含解析）目錄F單元平面向量1F1平面向量的概念及其線性運算1F2平面向量基本定理及向量坐標運算1F3平面向量的數(shù)量積及應用1F4 單元綜合1 F1平面向量的概念及其線性運算【文浙江效實中學高二期末xx】18已知，與的夾角為，求（1）在方向上的投影；（2）與的夾角為銳角，求的取值范圍?！局R點】向量的投影，向量的夾角【答案解析】解析：解：（1）在方向上的投影為=；（2）若與的夾角為銳角，則且兩向量不共線，得且，得.【思路點撥】在求一個向量在另一個向量上的投影時，可直接利用定義進行計算，判斷兩個向量的夾角為銳角或鈍角時，可直接利用數(shù)量積的符號進行解答，注意要排除兩向量共線的情況.【文浙江效實中學高二期末xx】5在中，為的重心，在邊上，且，則（A） （B） （C） （D） 【知識點】向量的加減幾何運算【答案解析】B解析：解：因為，則，所以選B【思路點撥】求向量通常觀察該向量所在的三角形，在三角形中利用向量加法或減法的運算求向量即可；本題還需要注意應用三角形重心的性質轉化求解.【文廣東惠州一中高三一調(diào)xx】5若向量則A. B. C. D.【知識點】相反向量；向量的四則運算.【答案解析】B解析 ：解：因為,所以 ，故選B.【思路點撥】由相反向量的定義得，再結合向量的加法運算即可.【理浙江紹興一中高二期末xx】16如圖，在扇形OAB中，C為弧AB上的一個動點若，則的取值范圍是 【知識點】向量在幾何中的應用(第16題)OABC【答案解析】解析 ：解：如圖：過點C作CEOB，交OA于E，再作CFOA，交OB于F，可得四邊形OECF是平行四邊形,，與是共線向量且與是共線向量，=x，=y根據(jù)與同向、與同向，可得x=且y=x、y均為正數(shù)且x+3y中y的系數(shù)較大，當點C沿AB弧由A向B運動的過程中，變短而變長,當C與A重合時，x=1達到最大而y=0達到最小，此時有最小值為1；當C與A重合時，x=0達到最小而y=1達到最大，此時有最大值為4即的取值范圍是故答案為：【思路點撥】過點C作CEOB，交OA于E，再作CFOA，交OB于F平行四邊形OECF中，可得，結合平面向量基本定理得到=x，=y考慮到x、y均為正數(shù)且中y的系數(shù)較大，所以當y越大時的值越大，因此將點C沿AB弧由A向B運動，加以觀察即可得到的取值范圍【理浙江紹興一中高二期末xx】16如圖，在扇形OAB中，C為弧AB上的一個動點若，則的取值范圍是 【知識點】向量在幾何中的應用(第16題)OABC【答案解析】解析 ：解：如圖：過點C作CEOB，交OA于E，再作CFOA，交OB于F，可得四邊形OECF是平行四邊形,，與是共線向量且與是共線向量，=x，=y根據(jù)與同向、與同向，可得x=且y=x、y均為正數(shù)且x+3y中y的系數(shù)較大，當點C沿AB弧由A向B運動的過程中，變短而變長,當C與A重合時，x=1達到最大而y=0達到最小，此時有最小值為1；當C與A重合時，x=0達到最小而y=1達到最大，此時有最大值為4即的取值范圍是故答案為：【思路點撥】過點C作CEOB，交OA于E，再作CFOA，交OB于F平行四邊形OECF中，可得，結合平面向量基本定理得到=x，=y考慮到x、y均為正數(shù)且中y的系數(shù)較大，所以當y越大時的值越大，因此將點C沿AB弧由A向B運動，加以觀察即可得到的取值范圍【理吉林長春十一中高二期末xx】6設點是線段的中點，點在直線外，則（ ） A8B4 C2D1【知識點】向量的線性運算性質及幾何意義【答案解析】C解析 ：解：由，=，而 2,故選C【思路點撥】先由，又=4，可得答案【理廣東惠州一中高三一調(diào)xx】8已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，則（ ） 【知識點】向量加減運算;模的運算;夾角的運算.【答案解析】D 解析 ：解：由題意，則，得，由定義知，故選.【思路點撥】先求，再求，數(shù)形結合求，最后套“向量積”的長度公式即可.【黑龍江哈六中高一期末xx】3設向量滿足，則（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）5【知識點】向量的模的運算.【答案解析】A解析 ：解：兩邊平方得，同理，兩邊平方得，兩式相減.故選A.【思路點撥】把，平方相減即可得到結果.【吉林一中高一期末xx】16. 已知點 【知識點】單位向量，向量共線.【答案解析】解析 ：解： 由已知得，故與向量同方向的單位向量為，故答案為【思路點撥】先得到，然后再求同方向的單位向量即可.F2平面向量基本定理及向量坐標運算【文浙江效實中學高二期末xx】11已知向量=(,), =(,)，若，則= . 【知識點】向量共線的坐標表示【答案解析】解析：解：因為，則.【思路點撥】由向量共線的坐標關系，直接得到關于x的方程，解方程即可.【文四川成都高三摸底xx】1已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），則a+b= （A）（1，1） （B）（-1，-1） （C）（1，-1） （D）（-1，1）【知識點】向量的坐標運算【答案解析】D解析：解：由向量的坐標運算得a+b=（5，-3）+（-6，4）=（-1，1），所以選D.【思路點撥】本題主要考查的是向量加法的坐標運算，可直接結合向量加法的運算法則計算.【理四川成都高三摸底xx】1已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），則a+b= （A）（1，1） （B）（-1，-1） （C）（1，-1） （D）（-1，1）【知識點】向量的坐標運算【答案解析】D解析：解：由向量的坐標運算得a+b=（5，-3）+（-6，4）=（-1，1），所以選D.【思路點撥】本題主要考查的是向量加法的坐標運算，可直接結合向量加法的運算法則計算.【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】19(本小題8分)如圖所示，在ABO中，, AD與BC相交于點M，設=，=.試用和表示向量.【知識點】共線向量的基本定理?！敬鸢附馕觥?+.解析 ：解：設=m+n，則=-=m+n-=(m-1) +n.=-=-=-+.又A、M、D三點共線，與共線.存在實數(shù)t,使得=t， .2分(m-1) +n=t(-+). (m-1) +n=-t+t. ，消去t得：m-1=-2n.即m+2n=1. .4分又=-=m+n-=(m-)+n.=-=-=-+.又C、M、B三點共線，與共線. 存在實數(shù)t1,使得=t1,(m-)+n=t1（-+），消去t1得,4m+n=1 .6分由得m=,n=,=+.8分注：本題解法較多，只要正確合理均可酌情給分.【思路點撥】由D，M，A三點共線，可得存在實數(shù)m使得(m-1) +n=t(-+)，同理可得(m-)+n=t1（-+），根據(jù)向量相等的條件可求m，n，的值，從而可用向量和表示向量.【吉林一中高一期末xx】15. 在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點,若,其中,則m + n =_【知識點】向量的運算法; 平面向量的基本定理及其意義【答案解析】 解析 ：解：如圖所示：平行四邊形ABCD，點E、F分別為邊BC、CD上的中點，而兩式相加可得,即，所以.【思路點撥】利用向量的運算法則即可得出結果【吉林一中高一期末xx】14. 設，若，則實數(shù)_【知識點】向量的運算；向量垂直的充要條件.【答案解析】 解析 ：解：，又，即解得.【思路點撥】先由向量的基本運算得到的坐標表示，再利用向量垂直的充要條件即可.F3平面向量的數(shù)量積及應用【文浙江效實中學高二期末xx】17如圖，扇形的弧的中點為，動點分別在線段上，且若，則的取值范圍是_ _【知識點】向量的減法運算，向量的數(shù)量積【答案解析】解析：解：設OC=x，則BD=2x，顯然0x1，=.【思路點撥】在向量的運算中通常把所求的向量利用向量的加法與減法轉化為用已知向量表示，再進行解答.【文浙江效實中學高二期末xx】10如圖,在平面四邊形中,.若,則（A） （B） （C） （D）【知識點】向量的加法與減法的幾何運算，向量垂直的應用、向量的數(shù)量積【答案解析】B解析：解：因為,，所以.，則選B.【思路點撥】在計算向量的數(shù)量積時，可把所求的向量利用向量的加法和減法向已知條件中的向量轉化，再進行計算.【文浙江效實中學高二期末xx】3設，且，夾角，則 （A） （B） （C） （D）【知識點】向量的模、向量的數(shù)量積【答案解析】A解析：解： ，所以選A. 【思路點撥】一般求向量的模經(jīng)常利用性質：向量的平方等于其模的平方，進行轉化求值.【文浙江紹興一中高二期末xx】3已知向量滿足，則（ ）A0 B1 C2 D. 【知識點】向量的數(shù)量積的運算；模的運算.【答案解析】D解析 ：解：因為向量滿足，所以，故選:D.【思路點撥】把已知條件代入轉化之后的表達式即可.【文浙江寧波高二期末xx】18（本小題滿分14分）已知向量，設函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，分別是角，的對邊，為銳角，若，的面積為，求邊的長【知識點】解三角形；平面向量數(shù)量積的坐標表示;模、夾角；三角函數(shù)中的恒等變換應用【答案解析】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）.解析 ：解：（1）由題意得f(x)3分令5分解得：所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為7分（2）由得：,化簡得：, 9分又因為，解得： 10分由題意知：，解得， 12分又,所以,故所求邊的長為 14分【思路點撥】（1）利用向量的數(shù)量積公式，結合輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，結合函數(shù)的定義域，即可得到結論；（2）由，可得，利用ABC的面積為2，結合余弦定理，即可求邊a的長【典型總結】本題考查向量知識的運用，考查三角函數(shù)的化簡與三角函數(shù)的性質，考查余弦定理的運用，正確化簡函數(shù)是關鍵【文浙江寧波高二期末xx】16.已知正方形的邊長為2，是正方形的外接圓上的動點，則的最大值為_【知識點】向量的坐標運算；數(shù)量積運算；一次函數(shù)的單調(diào)性.【答案解析】解析 ：解：如圖所示，建立直角坐標系 O（0，0），A（-1，-1），B（1，-1）=（1，-1）-（-1，-1）=（2，0）設P（x，y），則=（x，y）-（-1，-1）=（x+1，y+1）=（2，0）（x+1，y+1）=2（x+1），當x=時，的最大值為故答案為：【思路點撥】建立坐標系，利用向量的坐標運算、數(shù)量積運算和一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出【文浙江寧波高二期末xx】3平面向量與的夾角為，且，則( ) A. B. C.2 D. 【知識點】向量的數(shù)量積運算；向量的模的運算.【答案解析】C解析 ：解：因為，故，所以，而.故選：C.【思路點撥】下通過已知條件得到以及，然后代入即可.【文四川成都高三摸底xx】17（本小題滿分12分） 在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，已知向量m=（ab，ca），n=（a+b，c）且mn=0。 （I）求角B的大??； （）求函數(shù)f（A）=sin的值域?！局R點】向量的數(shù)量積的坐標運算，余弦定理、三角函數(shù)的值域【答案解析】（I）；（）解析：解：由mn=0得，由余弦定理得，又因為B為三角形內(nèi)角，所以；（）由（I）得，所以，則所求函數(shù)的值域為.【思路點撥】在求角中注意余弦定理的變式應用，在三角函數(shù)給定區(qū)間求值域問題，通常先由所給角的范圍得輔角范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性確定值域.【理浙江紹興一中高二期末xx】3 已知向量滿足，則A0 B1 C2 D 【知識點】向量的數(shù)量積的運算；模的運算.【答案解析】D解析 ：解：因為向量滿足，所以，故選:D.【思路點撥】把已知條件代入轉化之后的表達式即可.【理浙江寧波高二期末xx】8.如圖所示,為的外接圓圓心,為鈍角,M是邊BC的中點,則= （ ）A21 B29 C25 D40【知識點】向量數(shù)量積的運算;數(shù)形結合;數(shù)量積的定義.【答案解析】B解析 ：解：（如圖）取AB、AC的中點D、E，可知ODAB，OEACM是邊BC的中點，由數(shù)量積的定義可得而，故；同理可得,故.故選:B.【思路點撥】取AB、AC的中點D、E，可知ODAB，OEAC，所求，由數(shù)量積的定義結合圖象可得,，代值即可【理四川成都高三摸底xx】17（本小題滿分12分） 在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，已知向量m=（ab，ca），n=（a+b，c）且mn=0。 （I）求角B的大小；（）求函數(shù)f（A）=sin的值域。【知識點】向量的數(shù)量積的坐標運算，余弦定理、三角函數(shù)的值域【答案解析】（I）；（）解析：解：由mn=0得，由余弦定理得，又因為B為三角形內(nèi)角，所以；（）由（I）得，所以，則所求函數(shù)的值域為.【思路點撥】在求角中注意余弦定理的變式應用，在三角函數(shù)給定區(qū)間求值域問題，通常先由所給角的范圍得輔角范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性確定值域.【江蘇鹽城中學高二期末xx】16（文科學生做）在中，設.（1）當時，求 的值；（2）若，求的值.【知識點】向量的數(shù)量積；向量的數(shù)量積運算.【答案解析】（1）-36（2）解析 ：解：（1）當時，所以， 3分. 7分（2）因為 ， 12分，解得. 14分【思路點撥】（1）當時，利用向量的數(shù)量積公式計算即可；（2）先計算出，然后解方程即可.【江蘇鹽城中學高二期末xx】（文科學生做）已知平面向量滿足，則向量夾角的余弦值為 【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角【答案解析】解析 ：解：設向量的夾角為；因為，平方變形得：，解得：，所以.故答案為：.【思路點撥】先設出其夾角，根據(jù)已知條件整理出關于夾角的等式，解方程即可.【黑龍江哈六中高一期末xx】11已知向量，向量，向量，則向量與向量的夾角的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角【答案解析】D解析 ：解：，A點在以C為圓心，為半徑的圓上，當OA與圓相切時對應的位置是OA 與OB所成的角最大和最小的位置OC與x軸所成的角為；與切線所成的為所以兩個向量所成的最小值為；最大值為.故選D【思路點撥】利用CA是常數(shù)，判斷出A的軌跡為圓，作出A的軌跡；數(shù)形結合求出兩個向量的夾角范圍【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】18. (本小題8分)已知： 、是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 （1，2）若|，且，求的坐標；若|=且與垂直，求與的夾角.【知識點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系；平面向量共線的坐標表示；數(shù)量積表示兩個向量的夾角【答案解析】 解析 ：解：設 由 或 .4分 （）代入（）中, .8分【思路點撥】（1）設出的坐標，利用它與平行以及它的模等于，待定系數(shù)法求出的坐標（2）由與垂直，數(shù)量積等于0，求出夾角的余弦值，再利用夾角的范圍，求出此角的大小【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】15.在邊長為1的正中，設,則= _；【知識點】向量的加法；向量數(shù)量積的運算.【答案解析】解析 ：解：D為BC的中點，,故答案為【思路點撥】根據(jù)，確定點D，E在正三角形ABC中的位置，根據(jù)向量加法滿足三角形法則，把表示出來，利用向量的數(shù)量積的運算法則和定義式即可求得結果【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】13已知向量的夾角為， ；【知識點】向量加減法的應用；數(shù)量積表示兩個向量的夾角【答案解析】解析 ：解：因為向量的夾角為，所以，則，同理，故.故答案為.【思路點撥】由條件求得利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得的值，再求得以及的值，即可得到的值【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】11. 設向量、滿足：，的夾角是，若與的夾角為鈍角，則的范圍是 （ ） 【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角【答案解析】B解析 ：解：，設得：，則，當時，與的夾角為的取值范圍是故選B.【思路點撥】欲求實數(shù)的取值范圍，先根據(jù)條件，利用向量積的運算求出的值，由于夾角為鈍角，所以計算得到的值是負值，最后解出此不等式即可得到實數(shù)的取值范圍【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】5在ABC中，已知的值為 （ ）A2B2C4D2【知識點】向量的數(shù)量積公式；向量的模的運算；三角形面積公式.【答案解析】D解析 ：解：因為設與的夾角為，所以即，故，則.【思路點撥】先利用三角形面積公式計算出，再用平方關系得到，最后利用向量的數(shù)量積公式可得結果.【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】3. 已知 則向量在方向上的投影為 （ ）A. B. C. D. 【知識點】向量的投影; 平面向量數(shù)量積的含義【答案解析】A解析 ：解：根據(jù)投影的定義，可得向量在方向上的投影是：,故選A【思路點撥】根據(jù)投影的定義應用變形公式求解【福建南安一中高一期末xx】15. ABC滿足，BAC=30，設M是ABC內(nèi)的一點(不在邊界上)，定義f(M)=(x,y,z)，其中分別表示MBC，MCA,MAB的面積，若，則的最小值為_【知識點】向量的數(shù)量積計算公式，三角形面積公式，基本不等式求最值【答案解析】18解析：解：由向量的數(shù)量積公式得，得，所以，則x+y=1=，所以，當且僅當，即時等號成立，所以最小值為18.【思路點撥】利用向量的數(shù)量積和三角形面積計算公式得出x+y為定值，即出現(xiàn)了利用“1”的代換湊出基本不等式的題型特征，再求最值.【文吉林一中高二期末xx】13. 已知兩個非零向量a與b，定義a b|a|b|sin，其中為a與b的夾角若ab(3，6)，ab(3，2)，則a b_【知識點】新定義；數(shù)量積表示兩個向量的夾角【答案解析】6 解析 ：解：a(3，4)，b(0，2)，ab|a|b|cos52cos8，cos，所以sin，a b526.【思路點撥】由條件求得a(3，4)，b(0，2)，可得| a|和| b|的值，從而求得cos的值，可得 sin的值，再由a b|a|b|sin，運算求得結果【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】8若的外接圓的圓心為，半徑為，若，且，則 等于（ ） A B C D【知識點】向量在幾何中的應用；向量的數(shù)量積；向量垂直的充要條件.【答案解析】C解析 ：解：，O，B，C共線，BC為圓的直徑，如圖ABAC故ACB=則故選C【思路點撥】利用向量的運算法則將已知等式化簡得到，得到BC為直徑，故ABC為直角三角形，求出三邊長可得ACB 的值，利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出的值【吉林一中高一期末xx】19. 設向量滿足及，（）求夾角的大?。唬ǎ┣蟮闹怠局R點】向量的數(shù)量積公式；向量的模的運算.【答案解析】（）（）解析 ：解： ()設與夾角為，而，即又，所成與夾角為.()所以.【思路點撥】（1）借助于已知條件，把平方可得，再利用向量的數(shù)量積公式即可；（2）利用已知條件求的算術平均數(shù)即可.【吉林一中高一期末xx】17. 已知（1）若，求的值；（2）若，且，求的值【知識點】平面向量數(shù)量積的運算兩角和的正切公式.【答案解析】（1）（2）7解析 ：解：（1）（2），=7【思路點撥】（1）直接利用向量數(shù)量積的公式即可；（2）由已知條件把轉化，再利用兩角和的正切公式得到結果.【吉林一中高一期末xx】13. 在長江南岸渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h.渡船要垂直地渡過長江，則航向為_【知識點】向量在幾何中的應用【答案解析】北偏西30 解析 ：解：如圖，設渡船速度為，水流速度為，則船實際垂直過江的速度為，由題意知，|=12.5，|=25，四邊形OADB為平行四邊形，|=|，又ODBD，在RtOBD中，BOD=30，則航向為北偏西30故答案為：北偏西30【思路點撥】根據(jù)題意分別用向量表示船速、水流速度，由向量加法的四邊形法則畫出圖形，根據(jù)條件在直角三角形中求出船航行的角度【典型總結】 本題考查了向量的加法幾何意義的實際應用，即用向量來表示題中的矢量，根據(jù)向量的知識進行求解【吉林一中高一期末xx】7. 在正三角形中,是上一點,且,則（）ABCD【知識點】平面向量數(shù)量積的運算【答案解析】A解析 ：解：如圖所示，=故選A【思路點撥】利用向量的運算法則和數(shù)量積運算即可得出【吉林一中高一期末xx】4. 設向量,m是向量a 在向量b向上的投影,則m的最大值是（）AB4 (c)2D3【知識點】平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角.【答案解析】C解析 ：解：向量=（sin+cos+1，1）=（2sin（+）+1，1），=（1，1），=2sin（+）+2由題意可得m=|cos，=|=再由，可得+，sin（+），1，故m的最大值為 =2，故選C.【思路點撥】由條件求得 =2sin（+）+2由題意可得m=|cos，=再由，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得sin（+）的最大值，即可求得m的最大值【吉林一中高一期末xx】3. 若兩個非零向量，滿足，則向量與的夾角為（ ）A B C D【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角【答案解析】B 解析 ：解：由已知得化簡得，再化簡可得，令，則由以及，可得四邊形OACB為矩形，AOC即為向量與的夾角令OA=1，則OC=2，直角三角形OBC中，cosBOC=，AOC=，故選B【思路點撥】將平方，轉化可得，令，數(shù)形結合求得cosBOC 的值，可得BOC 的值，即為所求【吉林一中高一期末xx】2. 的三個內(nèi)角ABC成等差數(shù)列，則一定是（）A直角三角形B等邊三角形C非等邊銳角三角形D鈍角三角形【知識點】等差中項的定義；向量的數(shù)量積的運算；兩個向量垂直的充要條件.【答案解析】B 解析 ：解：的三個內(nèi)角ABC成等差數(shù)列，所以，又，所以，.設為邊上的中點,則,又,所以，即，故ABC為等邊三角形，故選B【思路點撥】先由三個內(nèi)角ABC成等差數(shù)列得到 ，然后利用，得到，進而得到結論.F4 單元綜合【理吉林長春十一中高二期末xx】11在橢圓上有兩個動點.為定點，,則的最小值為() A6 B C9 D【知識點】向量在幾何中的應用.【答案解析】A解析 ：解：設P（x，y），則，即，而(x4)2+6，當時，(x4)2+6有最小值6，故選A【思路點撥】根據(jù)，和向量的數(shù)量積的幾何意義，得，設出點P的坐標，利用兩點間距離公式求出EP2，根據(jù)點P在橢圓上，代入消去y，轉化為二次函數(shù)求最值問題，即可解得結果【典型總結】此題考查了向量在幾何中的應用，以及向量數(shù)量積的幾何意義，和橢圓的有界性，二次函數(shù)求最值等基礎知識，注意橢圓的有界性，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】9若的外接圓的圓心為，半徑為，若，且，則 等于（ ） A B C D【知識點】向量在幾何中的應用；向量的數(shù)量積；向量垂直的充要條件.【答案解析】C解析 ：解：，O，B，C共線，BC為圓的直徑，如圖ABAC故ACB=則故選C【思路點撥】利用向量的運算法則將已知等式化簡得到，得到BC為直徑，故ABC為直角三角形，求出三邊長可得ACB 的值，利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出的值