2019年高中數(shù)學(xué) 2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換綜合檢測(cè) 蘇教版選修4-2.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換綜合檢測(cè) 蘇教版選修4-2 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓4x2＋y2＝1在矩陣A＝對(duì)應(yīng)的變換下得到曲線(xiàn)F，求F的方程． 【解】　設(shè)P(x0，y0)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P(x0，y0)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′(x′0，y′0)， 則＝＝， 即∴ 又∵點(diǎn)P在橢圓上，代入得 ＋y′＝1， 即x2＋y2＝1. ∴曲線(xiàn)F的方程為x2＋y2＝1. 2．若點(diǎn)A在矩陣M＝對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)為B(1,0)，求α的值． 【解】　由題意知＝， 所以 解得 從而可知，α＝2kπ－，(k∈Z)． 3．已知直線(xiàn)l與直線(xiàn)3x＋5y＋6＝0平行，且過(guò)點(diǎn)(5,6)，求矩陣將直線(xiàn)l變成了什么圖形？并寫(xiě)出方程． 【解】　由已知得直線(xiàn)l的方程為3x＋5y－45＝0，設(shè)P(x，y)為l上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′，y′)． 則＝＝， ∴∴代入3x＋5y－45＝0， 得3x′＋25y′－45＝0， ∴直線(xiàn)l變換成直線(xiàn)3x＋25y－45＝0. 4．求直線(xiàn)y＝2x在矩陣確定的變換作用下得到的圖形的表達(dá)式． 【解】　設(shè)點(diǎn)(x，y)為直線(xiàn)y＝2x上的任意一點(diǎn)，其在矩陣確定的變換作用下得到的點(diǎn)為(x′，y′)，則→＝＝，即所以將其代入y＝2x，并整理得2x′－7y′＝0，所以直線(xiàn)y＝2x在矩陣確定的變換作用下得到的圖形的表達(dá)式是2x－7y＝0. 5．切變變換矩陣把直線(xiàn)x＋y＝1變成什么幾何圖形？ 【解】　設(shè)P(x，y)在該變換下的象為P′(x′，y′)，則 ＝＝＝，故所以切變變換矩陣把直線(xiàn)x＋y＝1變成與y軸平行的直線(xiàn)x＝1. 6．若曲線(xiàn)x2＋4xy＋2y2＝1在矩陣M＝的作用下變換成曲線(xiàn)x2－2y2＝1，求a、b的值． 【解】　設(shè)(x，y)為曲線(xiàn)x2＋4xy＋2y2＝1上的任意一點(diǎn)，其在矩陣M的作用下變換成點(diǎn)(x′，y′)，則(x′，y′)在曲線(xiàn)x2－2y2＝1上，＝＝，即將其代入x2－2y2＝1，并整理，得(1－2b2)x2＋(2a－4b)xy＋(a2－2)y2＝1，比較系數(shù)得解得 7．點(diǎn)(2,2x)在旋轉(zhuǎn)變換矩陣的作用下得到點(diǎn)(y,4)，求x，y，m，n. 【解】　因?yàn)榫仃囀切D(zhuǎn)變換矩陣， 所以m＝－，n＝. 由題意知＝， 所以解得 8．二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換T將點(diǎn)(1，－1)，(－2,1)均變?yōu)辄c(diǎn)(1,1)． (1)求矩陣M； (2)直線(xiàn)l：2x＋3y＋1＝0在變換T作用下得到什么圖形？說(shuō)明理由． 【解】　(1)設(shè)M＝，則由題設(shè)得 ＝，且＝， 即解得 所以M＝. (2)設(shè)P(x，y)是l：2x＋3y＋1＝0上任一點(diǎn)P′(x′，y′)是對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則由 ＝＝， 得即2x＋3y＝－x′＝－y′. 又2x＋3y＋1＝0，所以x′＝y(tǒng)′＝1. 故在l在變換T作用下變?yōu)辄c(diǎn)(1,1)． 9．求直線(xiàn)y＝－2x＋1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后所得的直線(xiàn)方程． 【解】　＝. 設(shè)直線(xiàn)y＝－2x＋1上任意一點(diǎn)為(x0，y0)，其在旋轉(zhuǎn)變換作用下得到點(diǎn)(x′0，y′0)，則＝， 即 解得 因?yàn)辄c(diǎn)(x0，y0)在直線(xiàn)y＝－2x＋1上，所以2x0＋y0－1＝0，所以2(x′0＋y′0)－(x′0－y′0)－1＝0，整理得x′0＋y′0－1＝0. 所以直線(xiàn)y＝－2x＋1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后所得的直線(xiàn)的方程是x＋y－1＝0. 10．如圖所示的是一個(gè)含有60角的菱形ABCD，要使只變換其四個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)后，菱形變?yōu)檎叫?，求此變換對(duì)應(yīng)的變換矩陣M.該變換矩陣惟一嗎？若不惟一，寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的變換矩陣． 【解】　由題設(shè)知AC∶BD＝∶1.若只變換A，C兩個(gè)頂點(diǎn)，則應(yīng)把A，C兩個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，于是變換矩陣為M＝；若只變換B，D兩個(gè)頂點(diǎn)，則應(yīng)把B，D兩個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變，于是變換矩陣為M＝.所以滿(mǎn)足條件的變換矩陣M為或.