2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 必考解答題 模板成形練 數(shù)列 理 蘇教版.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 必考解答題 模板成形練 數(shù)列 理 蘇教版 (建議用時(shí)：60分鐘) 1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn＝1－an. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記bn＝logan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證＜2. 解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＝1－a1,2a1＝1－a1，∴a1＝； 當(dāng)n≥2時(shí)， 兩式相減得2an＝an－1－an(n≥2)， 即3an＝an－1(n≥2)，又an－1≠0，∴＝(n≥2)， ∴數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． ∴an＝n－1＝n. (2)由(1)知bn＝logn＝n， ∴Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝， ＝＋＋…＋ ＝2 ＝2＜2. 2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，且Sn＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N*)． (1)求Sn； (2)是否存在等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9？若存在，求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由． 解　(1)因?yàn)镾n＝Sn－1＋2n， 所以有Sn－Sn－1＝2n對(duì)n≥2，n∈N*成立， 即an＝2n對(duì)n≥2成立，又a1＝21. 所以an＝2n對(duì)n∈N*成立． 所以an＋1－an＝2對(duì)n∈N*成立，所以{an}是等差數(shù)列， 所以有Sn＝n＝n2＋n，n∈N*. (2)存在． 由(1)，得an＝2n，n∈N*成立， 所以有a3＝6，a9＝18，又a1＝2， 所以由b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9，則＝＝3. 所以存在以b1＝2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列{bn}， 其通項(xiàng)公式為bn＝23n－1. 3．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1＝2的等比數(shù)列，且b2S2＝16，b1b3＝b4. (1)求an和bn； (2)令c1＝1，c2k＝a2k－1，c2k＋1＝a2k＋kbk(k＝1,2,3，…)，求數(shù)列{cn}的前2n＋1項(xiàng)和T2n＋1. 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q， 則an＝1＋(n－1)d，bn＝2qn－1. 由b1b3＝b4，得q＝＝b1＝2， 由b2S2＝2q(2＋d)＝16，解得d＝2. ∴an＝2n－1，bn＝2n. (2)∵T2n＋1＝c1＋a1＋(a2＋b1)＋a3＋(a4＋2b2)＋…＋a2n－1＋(a2n＋nbn)＝1＋S2n＋(b1＋2b2＋…＋nbn)． 令A(yù)＝b1＋2b2＋…＋nbn， 則A＝2＋222＋…＋n2n， ∴2A＝22＋223＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1， ∴－A＝2＋22＋…＋2n－n2n＋1， ∴A＝n2n＋1－2n＋1＋2. 又S2n＝＝4n2， ∴T2n＋1＝1＋4n2＋n2n＋1－2n＋1＋2 ＝3＋4n2＋(n－1)2n＋1. 4．已知數(shù)列{an}滿足：an≠1，a1＝，3(1－a)＝2(1－a)，bn＝1－a，cn＝a－a(n∈N*)． (1)證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}、{cn}的通項(xiàng)公式． (2)是否存在數(shù)列{cn}的不同項(xiàng)ci，cj，ck(i＜j＜k)使之成為等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出這樣的不同項(xiàng)ci，cj，ck(i＜j＜k)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (3)是否存在最小的自然數(shù)M，對(duì)一切n∈N*都有(n－2)cn＜M恒成立？若存在，求出M的值，若不存在，說(shuō)明理由． (1)證明　因?yàn)閍n≠1，a1＝，3(1－a)＝2(1－a)，bn＝1－a， 所以＝＝(n∈N*)，b1＝1－a＝，所以{bn}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以bn＝n－1(n∈N*)，所以a＝1－bn＝1－n－1(n∈N*) 所以cn＝a－a＝n－1(n∈N*) (2)解　假設(shè)存在cj，cj，ck(i＜j＜k)滿足題意，則有2cj＝ci＋ck代入得 2j－1＝i－1＋k－1化簡(jiǎn)得2j－i＋1＝3j－1＋2k＋j－i， 即2j－i＋1－2k＋j－i＝3j－1，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)不可能相等． 所以假設(shè)不成立，這樣的三項(xiàng)不存在． (3)∵(n－2)cn－(n－1)cn＋1＝n－1， ∴(1－2)c1＜(2－2)c2＜(3－2)c3＜(4－2)c4， (4－2)c4＝(5－2)c5，(5－2)c5＞(6－2)c6＞(7－2)c7＞…… 即在數(shù)列{(n－2)cn}中，第4項(xiàng)和第5項(xiàng)是最大項(xiàng)，當(dāng)n＝4時(shí)(n－2)cn＝23＝， 所以存在最小自然數(shù)M＝1符合題意．