2019年高考數(shù)學 考點匯總 考點35 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(含解析).doc
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2019年高考數(shù)學 考點匯總 考點35 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(含解析)一、選擇題(xx遼寧高考文科4)與(xx遼寧高考理科4)相同已知表示兩條不同的直線,表示平面,下列說法正確的是A.若m,n,則mnB.若m,n,則mnC.若m,mn,則nD.若m,mn,則n【解題提示】否定一個結論,只需一個反例即可.【解析】選B.如圖,正方體中, 直線分別與平面平行,但是直線相交,故選項(A)錯誤;根據(jù)線面垂直的定義,一條直線垂直一個平面,則該直線垂直于平面內(nèi)的任一條直線,可見選項(B)正確;直線,但直線故選項(C)錯誤;直線,但直線故選項(D)錯誤2.(xx廣東高考文科T9) (xx廣東高考理科)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4滿足l1l2,l2l3,l3l4,則下列結論一定正確的是()A.l1l4 B.l1l4C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關系不確定【解題提示】由于l2l3,所以l1與l4的位置關系可以通過同垂直于一條直線的兩條直線加以判斷.【解析】選D.因為l2l3,所以l1l2,l3l4實質(zhì)上就是l1與l4同垂直于一條直線,所以l1l4,l1l4,l1與l4既不垂直也不平行都有可能成立,但不是一定成立,故l1與l4的位置關系不確定.二、解答題3. (xx湖北高考文科T13)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點.求證:(1)直線BC1平面EFPQ.(2)直線AC1平面PQMN.【解題指南】(1)通過證明FPAD1,得到BC1FP,根據(jù)線面平行的判定定理即可得證.(2)證明BD平面ACC1,得出BDAC1,進而得MNAC1,同理可證PNAC1,根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出直線AC1平面PQMN.【解析】(1)連接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知AD1BC1,因為F,P分別是AD,DD1的中點,所以FPAD1.從而BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直線BC1平面EFPQ.(2)連接AC,BD,則ACBD.由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD.又ACCC1=C,所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1,所以BDAC1.因為M,N分別是A1B1,A1D1的中點,所以MNBD,從而MNAC1.同理可證PNAC1.又PNMN=N,所以直線AC1平面PQMN.4. (xx湖南高考文科18)(本小題滿分12分)如圖3,已知二面角的大小為,菱形在面內(nèi),兩點在棱上,是的中點,面,垂足為.(1) 證明:平面;(2)求異面直線與所成角的余弦值. 【解題提示】(1)利用線面垂直的判定定理證明;(2)根據(jù)二面角的平面角的定義,及線線角的定義解?!窘馕觥?1)如圖,因為,所以連接,由題設知,是正三角形,又E是AB的中點,所以,面,故.(2)因為所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角,即是BC與OD所成的角。由(1)知,所以又,于是是二面角的平面角,從而不妨設,則,易知在中,連接AO,在中,故異面直線BC與OD所成角的余弦值為5.(xx廣東高考文科T18)(13分)如圖1,四邊形ABCD為矩形,PD平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如圖2折疊,折痕EFDC,其中點E,F分別在線段PD,PC上,沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M,并且MFCF.(1)證明:CF平面MDF.(2)求三棱錐MCDE的體積.【解題提示】(1)可利用PD平面ABCD,證明MD平面CDEF.(2)只需求高MD及CDE的面積,即可求得結論.【解析】(1)因為PD平面ABCD,所以PDMD.在矩形ABCD中MDCD,又PDCD=D.所以MD平面CDEF,所以MDCF.又因為MFCF,所以CF與相交直線MD和MF都垂直,故CF平面MDF.(2)在CDP中,CD=AB=1,PC=2,則PD=,PCD=60;CF平面MDF,則CFDF,CF=,DF=.因為EF/DC,所以=,DE=,PE=ME,SCDE=CDDE=.由勾股定理可得MD=,所以VMCDE=MDSCDE=.6.(xx福建高考文科19)(本小題滿分12分)如圖,三棱錐中,.(1) 求證:平面;(2) 若,為中點,求三棱錐的體積.【解題指南】(1)利用線面平行的判定定理證明(2)分別求出的面積和高CD,繼而求出體積或利用VA-MBC =VA-BCD -VM-BCD求解【解析】(1)平面BCD,平面BCD,.又,平面ABD,平面ABD,平面.(2)由平面BCD,得.,.M是AD的中點,.由(1)知,平面ABD,三棱錐C-ABM的高,因此三棱錐的體積 .解法二:(1)同方法一.(2)由平面BCD知,平面ABD平面BCD,又平面ABD平面BCD=BD,如圖,過點M作交BD于點N.則平面BCD,且,又,.三棱錐的體積 .7. (xx浙江高考文科6)設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面( ) A若,則 B若,則 C若,則 D若,則【解題提示】依據(jù)線、面平行,垂直的條件與性質(zhì)逐一判斷.【解析】選C.對A若,則或或,錯誤;對若,則或或,錯誤;對若,則,正確;對若,則或或,錯誤;8. (xx浙江高考文科20)20、如圖,在四棱錐ABCDE中,平面平面;,.(1)證明:平面;(2)求直線與平面ABC所成的角的正切值. 【解析】(1)連結BD,在直角梯形BCDE中,CD=2所以BD=BC=由,AB=2,得,所以又平面平面,所以平面(2) 過點E作EMCB交CB的延長線于點M,連接AM又平面ABC平面BCDE,所以EM平面ACB所以EAM是直線AE與平面ABC所成的角在RtBEM中,EB=1,EBM=45所以.在RtACM中,在RtAEM中,9、(xx浙江高考理科20)(本題滿分15分)如圖,在四棱錐中,平面平面.(1) 證明:平面;(2) 求二面角的大小. 【解析】(1)在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=,由AC=,AB=2,得,所以又平面ABC平面BCDE,從而AC平面BCDE所以ACDE,又DEDC,從而DE平面ACD.(2)方法一:作BFAD,交AD于F,過點F作FGDE,交AE于點G,連結BG由(1)知,DEAD,而FGAD,所以是二面角的平面角在直角梯形BCDE中,由,得又平面ABC平面BCDE,從而BDAB由于平面BCDE,得BD平面BCDE,得ACCD在RtACD中,由DC=2,AC=,得AD=在RtAED中,由DE=1,AD=,得AE=在RtABD中,由BD=,AB=2,AD=,得BF=,AF=AD,從而GF=在ABE,ABG中,利用余弦定理分別可得,BG=在BFG中,所以,即二面角的大小是方法二:以D為原點,分別以射線DE,DC為軸,軸的正半軸,建立空間直角坐標系,如圖所示由題意知各點坐標如下:,設平面ADE的法向量為,平面ABD的法向量為可算得,,由即可取由即可取所以由題意可知,所求二面角是銳角,故二面角的大小是.10. (xx遼寧高考理科19)(本小題滿分12分)如圖,和所在平面互相垂直,且,E、F分別為AC、DC的中點.()求證:;()求二面角的正弦值.【解析】()如圖,以點B為坐標原點,在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為軸,BC所在的直線為軸,在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為軸,建立如圖所示空間直角坐標系,則,從而.所以因此,()平面BFC的一個法向量為,設平面BEF的一個法向量為又,則由得令得,所以設二面角的大小為,則所以,即所求二面角的正弦值.11. (xx遼寧高考文科19)(本小題滿分12分)如圖,和所在平面互相垂直,且,分別為錯誤!未找到引用源。的中點.()求證:平面;()求三棱錐的體積.附:錐體的體積公式,其中為底面面積,為高.【解析】()由已知得,,因此.又為AD的中點,則;同理,.因此平面.由題意,為的中位線,所以;所以平面.()在平面ABC內(nèi)作,交CB的延長線于,由于平面平面,平面平面,所以平面.又為AD的中點,因此到平面的距離是.在中,所以12. (xx山東高考文科18)如圖,四棱錐中,,分別為線段的中點. ()求證:()求證:【解題指南】()本題考查線面平行的證法,可利用線線平行,來證明線面平行;()本題考查了線面垂直的判定,在平面PAC中找兩條相交直線與BE垂直即可.【解析】()連接AC交BE于點O,連接OF,不妨設AB=BC=1,則AD=2四邊形ABCE為菱形又(),13. (xx天津高考文科T17)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,BA=BD=錯誤!未找到引用源。,AD=2,PA=PD=錯誤!未找到引用源。,E,F分別是棱AD,PC的中點.(1)證明:EF平面PAB.(2)若二面角P-AD-B為60,證明:平面PBC平面ABCD;求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.【解析】(1)如圖,取PB中點M,連接MF,AM. 因為F為PC中點,故MFBC且MF=BC. 由已知有BCAD,BC=AD.又由于E為AD中點,因而MFAE且MF=AE,故四邊形AMFE為平行四邊形,所以EFAM.又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF平面PAB.(2)連接PE,BE,因為PA=PD,BA=BD,而E為AD中點,故PEAD,BEAD.所以PEB為二面角P-AD-B的平面角.在PAD中,由PA=PD=,AD=2,可解得PE=2,在ABD中,由BA=BD=,AD=2,可解得BE=1.在PEB中,PE=2,BE=1,PEB=60,由余弦定理,可解得PB=,從而PBE=90,即BEPB.又BCAD,BEAD,從而BEBC,因此BE平面PBC,又BE平面ABCD,所以平面PBC平面ABCD.連接BF.由知,BE平面PBC,所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角,由PB=及已知,得ABP為直角.而MB=PB=,可得AM=,故EF=.又BE=1,故在RtEBF中,sinEFB=.所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為.14.(xx安徽高考文科19)如圖,四棱錐的底面邊長為8的正方形,四條側棱長均為.點分別是棱上共面的四點,平面平面,平面.(1) 證明:(2) 若,求四邊形的面積.【解題提示】(1)由線面平行得出BC平行于線線EF、GH;(2)設BD相交EF于點K,則K為OB的中點,由面面垂直得出,再由梯形面積公式計算求解?!窘馕觥浚?)因為BC/平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GH/BC,同理可證EF/BC,因此GH/EF。(2)連接AC,BD交于點O,BD交EF于點K,連接OP,GK,因為PA=PC,O是AC的中點,所以,同理可得,又,且AC,BD都在底面內(nèi),所以底面ABCD,又因為平面GEFH平面ABCD,且平面GEFH,所以PO/平面GEFH,因為平面PBD平面GEFH=GK,所以PO/GK,且GK底面ABCD,從而,所以GK是梯形GEFH的高,由AB=8,EB=2得EB:AB=KB:DB=1:4,從而,即K是OB的中點。再由PO/GK得,即G是PB的中點,且,由已知可得,所以GK=3,故四邊形GEFH的面積15、(xx安徽高考理科20)如圖,四棱柱中,底面.四邊形為梯形,,且.過三點的平面記為,與的交點為.(1) 證明:為的中點;(2) 求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比;(3) 若,梯形的面積為6,求平面與底面所成二面角大小.【解題提示】 (1)由及得;(2)將問題轉化為求出特殊幾何體的體積,即+,從而得出結果;(3)利用平面ABCD,作證明為平面與底面ABCD所成二面角的平面角,解求得?!窘馕觥浚?)因為所以平面QBC/平面A1AD,從而平面A1CD與這兩個平面的交線相互平行,即QC/A1D,故的對邊相互平行,于是,所以,即Q為BB1的中點。(2)如圖所示,連接QA,QD,設AA1=h,梯形ABCD的高位d,四棱柱被平面分成上下兩部分的體積分別為V上和V下,BC=a,則AD=2a,所以+,又,所以。所以。(3)如上圖所示,在中,作,垂足為E,連接A1E,又,所以,于是,所以為平面與底面ABCD所成二面角的平面角。因為BC/AD,AD=2BC,所以,又因為梯形ABCD的面積為6,DC=2,所以,于是,故所求二面角的大小。16. (xx四川高考文科18)在如圖所示的多面體中,四邊形和都為矩形(1)若,證明:直線平面;(2)設,分別是線段,的中點,在線段上是否存在一點,使直線平面?請證明你的結論.【解題提示】本題主要考查空間線面平行和垂直的判斷與性質(zhì)等基礎知識,考查空間想象能力、推理論證能力.【解析】(1)因為四邊形和都是矩形,所以.因為為平面內(nèi)兩條相交直線,所以平面.因為直線平面,所以.又由已知,為平面內(nèi)兩條相交直線,所以平面.(2)取線段的中點,連接.設為的交點.由已知,為的中點,連接,則分別為為的中位線,所以,因此,連接,從而四邊形為平行四邊形,則.因為直線平面,平面,所以直線平面.即線段上存在一點(線段的中點),使直線平面.- 配套講稿:
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