2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練六 第1講 直線與圓 理.doc

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2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練六 第1講 直線與圓 理考情解讀考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題直線與圓的位置關系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中等，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)解答題，多考查其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識1直線方程的五種形式(1)點斜式：yy1k(xx1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)(2)斜截式：ykxb(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)(3)兩點式：(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線)(4)截距式：1(a、b分別為直線的橫、縱截距，且a0，b0，不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)(5)一般式：AxByC0(其中A，B不同時為0)2直線的兩種位置關系當不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時：(1)兩直線平行l(wèi)1l2k1k2.(2)兩直線垂直l1l2k1k21.提醒當一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，兩直線也垂直，此種情形易忽略3三種距離公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點間的距離：|AB|.(2)點到直線的距離：d(其中點P(x0，y0)，直線方程：AxByC0)(3)兩平行線間的距離：d(其中兩平行線方程分別為l1：AxByC10，l2：AxByC20)提醒應用兩平行線間距離公式時，注意兩平行線方程中x，y的系數(shù)應對應相等4圓的方程的兩種形式(1)圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)5直線與圓、圓與圓的位置關系(1)直線與圓的位置關系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法(2)圓與圓的位置關系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法.熱點一直線的方程及應用例1(1)過點(5,2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是()A2xy120B2xy120或2x5y0Cx2y10Dx2y10或2x5y0(2)“m1”是“直線xy0和直線xmy0互相垂直”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件思維啟迪(1)不要忽略直線過原點的情況；(2)分別考慮充分性和必要性答案(1)B(2)C解析(1)當直線過原點時方程為2x5y0，不過原點時，可設出其截距式為1，再由過點(5,2)即可解出2xy120.(2)因為m1時，兩直線方程分別是xy0和xy0，兩直線的斜率分別是1和1，兩直線垂直，所以充分性成立；當直線xy0和直線xmy0互相垂直時，有11(1)m0，所以m1，所以必要性成立故選C.思維升華(1)要注意幾種直線方程的局限性點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線(2)求解與兩條直線平行或垂直有關的問題時，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即“斜率相等”或“互為負倒數(shù)”若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結合的方法去研究已知A(3,1)，B(1,2)，若ACB的平分線方程為yx1，則AC所在的直線方程為()Ay2x4Byx3Cx2y10D3xy10答案C解析由題意可知，直線AC和直線BC關于直線yx1對稱設點B(1,2)關于直線yx1的對稱點為B(x0，y0)，則有，即B(1,0)因為B(1,0)在直線AC上，所以直線AC的斜率為k，所以直線AC的方程為y1(x3)，即x2y10.故C正確熱點二圓的方程及應用例2(1)若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為()A(x2)2(y2)23B(x2)2(y)23C(x2)2(y2)24D(x2)2(y)24(2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x2的右側，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2xy40相切，則圓M的方程為()A(x1)2y24B(x1)2y24Cx2(y1)24Dx2(y1)24思維啟迪(1)確定圓心在直線x2上，然后待定系數(shù)法求方程；(2)根據(jù)弦長為2及圓與l2相切列方程組答案(1)D(2)B解析(1)因為圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，所以圓心在直線x2上，又圓與y軸相切，所以半徑r2，設圓心坐標為(2，b)，則(21)2b24，b23，b，所以選D.(2)由已知，可設圓M的圓心坐標為(a,0)，a2，半徑為r，得解得滿足條件的一組解為所以圓M的方程為(x1)2y24.故選B.思維升華圓的標準方程直接表示出了圓心和半徑，而圓的一般方程則表示出了曲線與二元二次方程的關系，在求解圓的方程時，要根據(jù)所給條件選取適當?shù)姆匠绦问浇鉀Q與圓有關的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)(1)已知圓C：x2(y3)24，過點A(1,0)的直線l與圓C相交于P、Q兩點，若|PQ|2，則直線l的方程為()Ax1或4x3y40Bx1或4x3y40Cx1或4x3y40Dx1或4x3y40(2)已知圓C的圓心與拋物線y24x的焦點關于直線yx對稱，直線4x3y20與圓C相交于A，B兩點，且|AB|6，則圓C的方程為_答案(1)B(2)x2(y1)210解析(1)當直線l與x軸垂直時，易知x1符合題意；當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為yk(x1)，線段PQ的中點為M，由于|PQ|2，易得|CM|1.又|CM|1，解得k，此時直線l的方程為y(x1)故所求直線l的方程為x1或4x3y40.故選B.(2)設所求圓的半徑是r，依題意得，拋物線y24x的焦點坐標是(1,0)，則圓C的圓心坐標是(0,1)，圓心到直線4x3y20的距離d1，則r2d2()210，故圓C的方程是x2(y1)210.熱點三直線與圓、圓與圓的位置關系例3如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4.設圓C的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使|MA|2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍思維啟迪(1)先求出圓C的圓心坐標，再利用幾何法求出切線斜率；(2)將|MA|2|MO|化為M點坐標滿足的條件后，可知點M是兩圓的交點解(1)由題設，圓心C是直線y2x4和直線yx1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在設過A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意，1，解得k0或，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設點M(x，y)，因為|MA|2|MO|，所以2 ，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以圓心M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則21|CD|21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以圓心C的橫坐標a的取值范圍為.思維升華(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數(shù)形結合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式過圓外一點求解切線段長可轉化為圓心到圓外點距離，利用勾股定理處理(1)(xx重慶)已知直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)24相交于A，B兩點，且ABC為等邊三角形，則實數(shù)a_.(2)兩個圓C1：x2y22axa240(aR)與C2：x2y22by1b20(bR)恰有三條公切線，則ab的最小值為()A6 B3 C3 D3答案(1)4(2)C解析圓心C(1，a)到直線axy20的距離為.因為ABC為等邊三角形，所以|AB|BC|2，所以()21222，解得a4.(2)兩個圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標準方程為圓C1：(xa)2y24，圓C2：x2(yb)21，所以|C1C2|213，即a2b29.由()2，得(ab)218，所以3ab3，當且僅當“ab”時取“”所以選C.1由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點斜式、斜截式時要注意斜率不存在的情況2確定圓的方程時，常用到圓的幾個性質(zhì)：(1)直線與圓相交時應用垂徑定理構成直角三角形(半弦長，弦心距，圓半徑)；(2)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(3)圓心在任一弦的中垂線上；(4)兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(5)圓的對稱性：圓關于圓心成中心對稱，關于任意一條過圓心的直線成軸對稱3直線與圓中常見的最值問題圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到圓心的距離問題4過兩圓C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20的交點的圓系方程為x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.5兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項，得到一個二元一次方程，即為兩圓公共弦所在的直線方程.真題感悟1(xx江蘇)在平面直角坐標系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_答案解析圓心為(2，1)，半徑r2.圓心到直線的距離d，所以弦長為22.2(xx課標全國)設點M(x0,1)，若在圓O：x2y21上存在點N，使得OMN45，則x0的取值范圍是_答案1,1解析如圖，過點M作O的切線，切點為N，連接ON.M點的縱坐標為1，MN與O相切于點N.設OMN，則45，即sin ，即.而ON1，OM.M為(x0,1)，x1，1x01，x0的取值范圍為1,1押題精練1在直角坐標系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，則滿足|PA|2|PB|24且在圓x2y24上的點P的個數(shù)為_答案2解析設P(x，y)，則由|PA|2|PB|24，得(x1)2y2x2(y1)24，xy2，滿足條件的點P的個數(shù)轉化為直線xy2和圓x2y24的交點個數(shù)，2，直線與圓相交，點P有2個2如果圓C：x2y22ax2ay2a240與圓O：x2y24總相交，則實數(shù)a的取值范圍是_答案2a0或0a2解析將圓C：x2y22ax2ay2a240變形為(xa)2(ya)24，可知圓心為C(a，a)，半徑為r2.圓O：x2y24的圓心為O(0,0)，半徑為R2.當兩圓總相交時|Rr|OC|rR，即04，解得2a0或0a0)上有且只有兩個點到直線xy20的距離為1，則實數(shù)r的取值范圍是_答案(1，1)解析注意到與直線xy20平行且距離為1的直線方程分別是xy20和xy20，要使圓上有且只有兩個點到直線xy20的距離為1，需滿足在兩條直線xy20和xy20中，一條與該圓相交且另一條與該圓相離，所以r，即1r0m4.綜上可知m4.故選C.5動圓C經(jīng)過點F(1,0)，并且與直線x1相切，若動圓C與直線yx21總有公共點，則圓C的面積()A有最大值8B有最小值2C有最小值3D有最小值4答案D解析設圓心為(a，b)，半徑為r，r|CF|a1|，即(a1)2b2(a1)2，即ab2，圓心為(b2，b)，rb21，圓心到直線yx21的距離為d1，b2(23)或b2，當b2時，rmin412，Sminr24.6設P為直線3x4y30上的動點，過點P作圓C：x2y22x2y10的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為()A1 B. C2 D.答案D解析依題意，圓C：(x1)2(y1)21的圓心是點C(1,1)，半徑是1，易知|PC|的最小值等于圓心C(1,1)到直線3x4y30的距離，即2，而四邊形PACB的面積等于2SPAC2(|PA|AC|)|PA|AC|PA|，因此四邊形PACB的面積的最小值是，故選D.二、填空題7已知直線l1與圓x2y22y0相切，且與直線l2：3x4y60平行，則直線l1的方程是_答案3x4y10或3x4y90解析依題意，設所求直線l1的方程是3x4yb0，則由直線l1與圓x2(y1)21相切，可得圓心(0，1)到直線3x4yb0的距離為1，即有1，解得b1或b9.因此，直線l1的方程是3x4y10或3x4y90.8(xx湖北)直線l1：yxa和l2：yxb將單位圓C：x2y21分成長度相等的四段弧，則a2b2_.答案2解析依題意，不妨設直線yxa與單位圓相交于A，B兩點，則AOB90.如圖，此時a1，b1，滿足題意，所以a2b22.9(xx湖北)已知圓O：x2y25，直線l：xcos ysin 1(00)關于直線xy20對稱，求圓C的方程解(1)根據(jù)題意可設圓心(a,0)，則1a2，即圓心為(2,0)，半徑r，則所求圓的方程為(x2)2y22.(2)設圓心為C(a，b)，則所以又P(1,1)在圓上，所以圓C的方程為x2y22.12已知圓M的方程為x2y22x2y60，以坐標原點O為圓心的圓O與圓M相切(1)求圓O的方程；(2)圓O與x軸交于E，F(xiàn)兩點，圓O內(nèi)的動點D使得|DE|，|DO|，|DF|成等比數(shù)列，求的取值范圍解(1)圓M的方程可整理為(x1)2(y1)28，故圓心M(1,1)，半徑R2.圓O的圓心為O(0,0)，因為|MO|2，所以點O在圓M內(nèi)，故圓O只能內(nèi)切于圓M.設圓O的半徑為r，因為圓O內(nèi)切于圓M，所以|MO|Rr，即2r，解得r.所以圓O的方程為x2y22.(2)不妨設E(m,0)，F(xiàn)(n,0)，且mn.由解得或故E(，0)，F(xiàn)(，0)設D(x，y)，由|DE|，|DO|，|DF|成等比數(shù)列，得|DE|DF|DO|2，即x2y2，整理得x2y21.而(x，y)，(x，y)，所以(x)(x)(y)(y)x2y222y21.由于點D在圓O內(nèi)，故有得y2，所以12y21r2對m0,1成立，即r2.故C的半徑r的取值范圍為，)