2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十五講 輔助圓.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十五講 輔助圓 在處理平面幾何中的許多問題時,常需要借助于圓的性質(zhì),問題才得以解決. 而我們需要的圓并不存在(有時題設(shè)中沒有涉及圓;有時雖然題設(shè)涉及圓,但是此圓并不是我們需要用的圓),這就需要我們利用已知條件,借助圖形把需要的實際存在的圓找出來,添補(bǔ)輔助圓的常見方法有: 1.利用圓的定義添補(bǔ)輔助圓; 2.作三角形的外接圓; 3.運用四點共圓的判定方法: (1)若一個四邊形的一組對角互補(bǔ),則它的四個頂點共圓. (2)同底同側(cè)張等角的三角形,各頂點共圓. (3)若四邊形ABCD的對角線相交于P,且PAPC=PBPD,則它的四個頂點共圓. (4)若四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線相交于P,且PAPB=PCPD,則它的四個頂點共圓. 【例題求解】 【例1】如圖,直線AB和AC與⊙O分別相切于B、C,P為圓上一點,P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm,那么P到BC的距離為 . 思路點撥 連DF,EF,尋找PD、PE、PF之間的關(guān)系,證明△PDF∽△PFE,而發(fā)現(xiàn)P、D、B、F與P、E、C、F分別共圓,突破角是解題的關(guān)鍵. 注:圓具有豐富的性質(zhì): (1)圓的對稱性; (2)等圓或同圓中不同名稱量的轉(zhuǎn)化; (3)與圓相關(guān)的角; (4)圓中比例線段. 適當(dāng)發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓,就為圓的豐富性質(zhì)的運用創(chuàng)造了條件,由于圖形的復(fù)雜性,有時在圖中并不需畫出圓,可謂“圖中無圓,心中有圓”. 【例2】 如圖,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC與PB交于點P,且PB=4,PD=3,則ADDC等于( ) A.6 B.7 C.12 D.16 思路點撥 作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓,為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件. 注:到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上,這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法. 【例3】 如圖,在△ABC中,AB=AC,任意延長CA到P,再延長AB到Q,使AP=BQ,求證:△ABC的外心O與A,P,Q四點共圓. 思路點撥 先作出△ABC的外心O,連PO、OQ,將問題轉(zhuǎn)化為證明角相等. 【例4】 如圖,P是⊙O外一點,PA切⊙O于A,PBC是⊙O的割線,AD⊥PO于D.求證:. 思路點撥 因所證比例線段不是對應(yīng)邊,故不能通過判定△PBD與△PCD相似證明.PA2=PDPO=PBPC,B、C、O、D共圓,這樣連OB,就得多對相似三角形,以此達(dá)到證明的目的. 注:四點共圓既是一類問題,又是平面幾何中一個重要的證明方法,它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位,這是因為,某四點共圓,不但與這四點相聯(lián)系的條件集中或轉(zhuǎn)移,而且可直接運.用圓的性質(zhì)為解題服務(wù). 【例5】如圖,在△ABC中,高BE、CF相交于H,且∠BHC=135,G為△ABC內(nèi)的一點,且GB=GC,∠BGC=3∠A,連結(jié)HG,求證:HG平分∠BHF. 思路點撥 經(jīng)計算可得∠A=45,△ABE,△BFH皆為等腰直角三角形,只需證∠GHB=∠GHF=22.5. 由∠BGC=3∠A=135=∠GHC,得B、G、H、C四點共圓,運用圓中角轉(zhuǎn)化靈活的特點證明. 注:許多直線形問題借助輔助圓,常能降低問題的難度,使問題獲得簡解、巧解或新解. 學(xué)力訓(xùn)練 1.如圖,正方形ABCD的中心為O,面積為1989cm2,P為正方形內(nèi)一點,且∠OPB=45,PA:PB=5:14,則PB的長為 . 2.如圖,在△ABC中,AB=AC=2,BC邊上有100個不同的點Pl、P2,…P100,記(i=1,2,…100),則= . 3.設(shè)△ABC三邊上的高分別為AD、BE、CF,且其垂心H不與任一頂點重合,則由點A、B、C、D、E、F、H中某四點可以確定的圓共有( ) A.3個 B.4個 C.5個 D.6個 4.如圖,已知OA=OB=OC,且∠AOB=∠BOC,則∠ACB是∠BAC的( ) A.倍 B.是倍 C. D. 5.如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=998,CD=1001,AD=xx,點P在線段AD上,滿足條件的∠BPC=90的點P的個數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 1 D.不小于3的整數(shù) 6.如圖,AD、BE是銳角三角形的兩條高,S△ABC= 18,S△DEC=2,則COSC等于( ) A.3 B. C. D. 7.如圖;已知H是△ABC三條高的交點,連結(jié)DF,DE,EF,求證:H是△DEF的內(nèi)心. 8.如圖,已知△ABC中,AH是高,AT是角平分線,且TD⊥AB,TE⊥AC. 求證:(1)∠AHD=∠AHE;(2) 9.如圖,已知在凸四邊形ABCDE中,∠BAE=3,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=.求證:∠BAC=∠CAD=∠DAK, 10.如圖,P是⊙O外一點,PA和PB是⊙O的切線,A,B為切點,P O與AB交于點M,過M任作⊙O的弦CD.求證:∠CPO=∠DPO. 11.如圖,已知點P是⊙O外一點,PS、PT是⊙O的兩條切線,過點P作⊙O的割線PAB,交⊙O A、B兩點,與ST交于點C.求證: 參考答案- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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