2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)42 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（含解析）.doc

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2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)42 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（含解析）一、選擇題1. (xx湖北高考文科T8)設(shè)a,b是關(guān)于t的方程t2cos+tsin=0的兩個(gè)不等實(shí)根,則過(guò)A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線 -=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3【解題提示】求出過(guò)A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線為y=-x,結(jié)合雙曲線的漸近線方程,可得結(jié)論.【解析】選A.由于a,b是關(guān)于t的方程t2cos+tsin=0的兩個(gè)不等實(shí)根,所以a+b=-,ab=0,過(guò)A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線為y-a2= (x-a),即y=(b+a)x-ab,即y=-x,因?yàn)殡p曲線 -=1的一條漸近線方程為y=-x,所以過(guò)A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線 -=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0.2.（xx遼寧高考文科8）已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，記的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為【解題提示】由拋物線的定義知的值，也就確定了拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；利用直線的斜率公式求出直線的斜率【解析】選.根據(jù)已知條件得，所以從而拋物線方程為，其焦點(diǎn)從而直線的斜率為二、填空題3.（xx安徽高考文科15）若直線與曲線滿足下列兩個(gè)條件： 直線在點(diǎn)處與曲線相切；曲線在附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線.下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號(hào))直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：【解題提示】根據(jù)各選項(xiàng)分別判斷。 【解析】根據(jù)題意滿足條件的有（1）（3）（4），剩余選項(xiàng)（2）（5）都在切線的一邊。答案：4.（xx安徽高考理科14）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若軸，則橢圓的方程為_(kāi)【解題提示】構(gòu)造直角三角形，利用線段平行、垂直關(guān)系及點(diǎn)A,B在橢圓上求得參數(shù)b.【解析】如圖所示，設(shè)，作,則 又點(diǎn)A,B在橢圓上，所以與聯(lián)立解得。所以橢圓方程為。5. （xx湖南高考文科14）平面上以機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)的距離和到直線的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線，則的取值范圍是 【解題提示】根據(jù)拋物線的定義和直線與圓錐曲線的關(guān)系求解?！窘馕觥堪褭C(jī)器人看做一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則根據(jù)拋物線定義知道它的軌跡為拋物線，其方程為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去y得，由題意，所以。答案：三、解答題6. (xx新課標(biāo)全國(guó)卷高考理科數(shù)學(xué)T20)(本小題滿分12分)設(shè)F1,F2分別是橢圓+=1的左右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率.(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且=5,求a,b.【解題提示】(1)利用直線MN的斜率為再結(jié)合a2=b2+c2表示出關(guān)于離心率e的方程,解方程求得離心率.(2)結(jié)合圖形,利用橢圓的性質(zhì)和焦半徑公式求得a,b.【解析】(1)因?yàn)橛深}知, =,所以=,且a2=b2+c2.聯(lián)立整理得:2e2+3e-2=0,解得e=.所以C的離心率為.(2)由三角形中位線知識(shí)可知,MF2=22,即=4.設(shè)F1N=m,由題可知MF1=4m.由兩直角三角形相似,可得M,N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為c,- c.由焦半徑公式可得:MF1=a+ec,NF1=a+e,且MF1NF1=41,e=,a2=b2+c2.聯(lián)立解得a=7,b=2.所以,a=7,b=2.7. （xx湖南高考文科20）（本小題滿分13分）如圖5，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過(guò)點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.（1） 求的方程；（2） 是否存在直線，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論.【解題提示】利用橢圓的定義和直線與圓錐曲線位置關(guān)系，聯(lián)立方程組，求解?！窘馕觥浚?）設(shè)的焦距為，由題意知，從而因?yàn)辄c(diǎn)，在雙曲線上，所以，故由橢圓的定義知于是，故的方程分別為（2）不存在符合題設(shè)條件的直線（i）若直線垂直于x軸，因?yàn)榕c只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線的方程為或當(dāng)時(shí)，易知,所以，此時(shí)， 當(dāng)，同理可知(ii)若直線不垂直于x軸，設(shè)的方程為由得當(dāng)與相交于A,B兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，從而，于是由得因?yàn)橹本€與只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以上述方程的判別式化簡(jiǎn)，得。因此于是即，故綜合（i）（ii）可知，不存在符合題設(shè)條件的直線8.(xx廣東高考文科T20)(14分)已知橢圓C:+=1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.【解題提示】(1)由c,e,求出b得橢圓方程,(2)要分切線斜率是否存在加以討論.【解析】(1)因?yàn)閏=,離心率e=,所以a=3,b=2,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)方法一:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0,此時(shí)點(diǎn)P有四個(gè)點(diǎn),分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);當(dāng)兩條切線斜率都存在時(shí),設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,切線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),則=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,進(jìn)一步化簡(jiǎn)得(-9)k2-2x0y0k+-4=0.因?yàn)閮蓷l切線相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,則+=13.顯然,點(diǎn)(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13,所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=13.方法二:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0,此時(shí)點(diǎn)P有四個(gè)點(diǎn),分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);當(dāng)兩條切線斜率都存在時(shí),設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1且+=1.兩條切線方程分別為+=1和+=1,因?yàn)閮蓷l切線都過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),所以+=1且+=1,因?yàn)閮蓷l切線相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整理得+=13.顯然,點(diǎn)(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13,所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=13.9.(xx廣東高考理科)(14分) 已知橢圓C:+=1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.【解題提示】(1)由c,e,求出b得橢圓方程,(2)要分切線斜率是否存在加以討論.【解析】(1)因?yàn)閏=,離心率e=,所以a=3,b=2,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)方法一:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0,此時(shí)點(diǎn)P有四個(gè)點(diǎn),分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);當(dāng)兩條切線斜率都存在時(shí),設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,切線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),則=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,進(jìn)一步化簡(jiǎn)得(-9)k2-2x0y0k+-4=0.因?yàn)閮蓷l切線相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,則+=13.顯然,點(diǎn)(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13,所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=13.方法二:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0,此時(shí)點(diǎn)P有四個(gè)點(diǎn),分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);當(dāng)兩條切線斜率都存在時(shí),設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1且+=1.兩條切線方程分別為+=1和+=1,因?yàn)閮蓷l切線都過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),所以+=1且+=1,因?yàn)閮蓷l切線相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整理得+=13.顯然,點(diǎn)(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13,所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=13.10.（xx福建高考理科19）（本小題滿分13分）已知雙曲線的兩條漸近線分別為. （1）求雙曲線的離心率； （2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公 共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說(shuō)明理由。【解題指南】由漸近線可知，由基本量關(guān)系式求；設(shè)直線，再根據(jù)條件建立k,m的兩個(gè)方程【解析】解法一：(1)雙曲線的漸近線分別為，1分，有，即，于是雙曲線的離心率；3分(2)由(1)知，雙曲線E的方程為.設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，若直線與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，又因?yàn)榈拿娣e為8，即，解得，此時(shí)雙曲線E的方程為.6分若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為.以下證明：當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，雙曲線也滿足條件，7分設(shè)直線的方程，依題意，得或，8分則，記，由得，同理，由得，即，10分由得，又，即直線與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn).12分因此，存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程只能為13分方法二：(1)同方法一；(2)由(1)知，雙曲線E的方程為.設(shè)直線的方程為，依題意得，由得，同理，設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，則，由得，由得，直線與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，有，因此，存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程只能為.方法三：(1)同方法一；(2)當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線，依題意得或，由得，由，得，又因?yàn)榈拿娣e為8，所以，而，化簡(jiǎn)得，即，由(1)得雙曲線E的方程為，由得，因?yàn)?，直線與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，即，有，雙曲線E的方程為，當(dāng)軸時(shí)，由的面積為8，可得，又知與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上，存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程只能為.11. （xx遼寧高考理科20）（本小題滿分12分）圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如圖），雙曲線過(guò)點(diǎn)P且離心率為.（）求的方程；（）橢圓過(guò)點(diǎn)P且與有相同的焦點(diǎn)，直線過(guò)的右焦點(diǎn)且與交于A，B兩點(diǎn)，若以線段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，求的方程.【解析】（）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，.則切線斜率為切線方程為，即，而，所以切線方程為.切線與兩坐標(biāo)軸的正半軸的交點(diǎn)為，切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形面積為由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，即有最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意得解得故的方程為（）由（1）知，橢圓的焦點(diǎn)為，因此設(shè)橢圓的方程為.由點(diǎn)在橢圓上，得，解得；因而的方程為當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，易知,以線段AB為直徑的圓不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P；不合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為,，則是方程組的解.整理得由韋達(dá)定理， 所以 由題意知,從而因?yàn)樗约此詫⒋虢獾没蛞虼说姆匠虨榛蚣椿?2. （xx遼寧高考理科20）（本小題滿分12分）圓的切線與錯(cuò)誤！未找到引用源。軸正半軸，軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為.（）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（）焦點(diǎn)在錯(cuò)誤！未找到引用源。軸上的橢圓錯(cuò)誤！未找到引用源。過(guò)點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。，且與直線交于兩點(diǎn)，若的面積為，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】（）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，.則切線斜率為切線方程為，即，而，所以切線方程為.切線與兩坐標(biāo)軸的正半軸的交點(diǎn)為，切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形面積為由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，即有最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.（）設(shè)C的方程為，點(diǎn)，則是方程組的解.整理得，由偉達(dá)定理得，又所以而點(diǎn)到直線的距離所以則又由點(diǎn)在C上知.解得.故所求C的方程為13. （xx山東高考理科21）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，為正三角形.（）求的方程；（）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，（）證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題指南】（）由拋物線的定義及已知條件點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，為正三角形.可求得p的值.（）（）先設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)表示出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)求出AE的方程，即可判斷AE是否過(guò)定點(diǎn).（）可利用設(shè)出的A點(diǎn)坐標(biāo)表示出的面積，然后利用基本不等式求出最值.【解析】（）由題意知設(shè)，因?yàn)?由拋物線的定義知，解得t=3+p或t=-3(舍去)，由，解得p=2.所以拋物線的方程為.（）（）由（）知F(1，0)因?yàn)?則，故直線AB的斜率，因?yàn)橹本€和直線AB平行，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，由題意設(shè).當(dāng)，可得直線AE的方程為，由，整理可得，直線AE恒過(guò)點(diǎn)F（1,0），直線AE的方程為x=1，過(guò)點(diǎn)F（1,0），所以直線AE過(guò)定點(diǎn)F（1,0）.（ii）由（i）知直線AE過(guò)焦點(diǎn)F（1,0），所以，設(shè)直線AE的方程為x=my+1,因?yàn)辄c(diǎn)在直線AE上，故,直線AB的方程為，由于，可得，代入拋物線方程得所以，可求得，所以點(diǎn)B到直線AE的距離為則的面積14. （xx山東高考文科21） 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.（）求橢圓的方程；（）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是橢圓的頂點(diǎn)），點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn).（i）設(shè)直線的斜率分別為.證明存在常數(shù)使得，并求出的值；（ii）求面積的最大值.【解題指南】（）求橢圓的方程即求出a,b,的值即可.（）可先設(shè)出直線方程，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，找出兩個(gè)斜率之間的關(guān)系，第二小問(wèn)，可直接用表示出來(lái)面積，再利用基本不等式求出最大值.【解析】(1)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn).不妨設(shè)點(diǎn)為直線和橢圓在第一象限的交點(diǎn).(2)(i)設(shè)，則，因?yàn)橹本€AB的斜率，又,所以直線AD的斜率設(shè)直線AD的方程為，由題意知.由可得.所以因此.由題意知所以所以直線BD的方程為.令y=0，得可得所以.因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立.（ii）直線BD的方程為.令x=0得，即，由（i）知可得的面積.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)S取得最大值，所以的面積為最大值.