2019-2020年八年級數學暑假專題輔導 函數解題中的數學思想應用.doc
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2019-2020年八年級數學暑假專題輔導 函數解題中的數學思想應用 重點、難點 數學思想的應用 【典型例題】 一. 方程思想的應用 例1. 已知點P(x,x+y)與點Q(y+5,x-7)關于x軸對稱,則點Q坐標為______。 分析:P點關于x軸對稱時,橫坐標不變,縱坐標相反 構造方程組 解得: ∴Q點坐標為(4,-3) 例2. 已知一次函數的圖像經過第一、二、三象限,求m的值。 分析:一次函數條件:x的次數為1 即: 得: 解得: 而當 此時圖像經過一、三、四象限 不符合題意,舍去 故m=3 例3. 已知:在△ABC中,,P為AB上一動點(P不與A、B重合),過點P作PE//BC交AC于E,連結BE,設AP=x,△BPE的面積為y,求y與x之間的函數關系,并求自變量x的取值范圍。 分析: ∴知道PE的長、EC的長是關鍵,而PE、EC與三角形相似有關。 所以此題借助比例式找出PE、EC與x之間的等量關系。 即:用含x的式子表示PE、EC,進而得到函數關系式。 解: 二. 數形結合思想的應用 例1. 一次函數的圖像經過第_______象限。 分析:充當中的k,此時大于0 充當中的b,此時小于0 則依據直線,當的圖象示意圖:可知圖像經過一、三、四象限。 例2. 已知反比例函數是反比例函數圖象上的三個點,若,試判斷的大小關系。 分析:反比例函數的圖像位于二、四象限 只需將在圖像上找到相對應的點,則可確定相應的函數值。從而根據位置判斷大小。 y軸上,越往上數越大,所以。 例3. 如圖所示,一次函數的圖像過第一、三、四象限,且與雙曲線的圖像交于A、B兩點,與y軸交于C,是終邊上的一點,若,原點O到A點的距離為 (1)求A點坐標; (2)求反比例函數的解析式; (3)若,求一次函數的解析式。 分析:此題關鍵是在平面直角坐標系中借助及,在Rt△中求A點坐標。從而進一步借助到y(tǒng)軸距離等于,求出b,確定一次函數的解析式。 解:(1)設點A坐標為(a,b),且 過A作軸交x軸于M 則 在 所以點A坐標為(5,1) (2)此反比例函數解析式為 (3),且(OC=|b|,C在x軸下方) ∴一次函數解析式為: 又∵直線過點 ∴一次函數解析式為 三. 分類討論思想的應用 例1. 已知點N在x軸下方,且到x軸距離為2,到y(tǒng)軸距離為,則點N的坐標為_________。 分析:設點N坐標為(x,y) 由題意得: 則 又∵點N在x軸下方,y<0 例2. 已知直線與直角坐標系的兩坐標軸圍成的三角形的面積為9,則直線解析式為__________。 分析:設直線與x軸交點為A,與y軸交點為B 則 ∴直線解析式為 例3. 已知點A為平面直角坐標系內第四象限夾角平分線上一點,且OA=5,試在坐標軸上找一點C,使得△AOC為等腰三角形,并寫出C點坐標。 分析:首先應分別在x軸和y軸上找點C 其次,△AOC應分類找:(1)OA為腰;(2)OA為底 當C點在x軸上時 當C點在y軸上時 四. 轉化思想的應用 例1. 已知一次函數的圖像經過二、三、四象限,求k的取值范圍。 分析:直線經過二、三、四象限 則 得: 所以 例2. 待定系數解題(轉化為方程組) 如:已知與成正比例,其中m,n是常數,當時,;當時,,求y與x的函數關系。 分析:設 當時,得: 當時,得: 解方程組 解得: 所求函數關系式為: 例3. 如圖所示,直線與y軸交于點A(0,3)與x軸交于點B,正方形OPQR的兩邊在坐標軸上,Q在直線AB上,OP:PB=1:2,求直線的解析式。 分析:求直線AB解析式,需要知道A、B坐標。而A點(0,3),則OA=3,求B點即可,即求OB長,此問題轉化為幾何問題。 又知PQRO為正方形,設正方形邊長為x,則 ∴B點坐標為(6,0) ∴直線解析式為 五. 幾何解題思想的綜合應用 例:已知反比例函數和一次函數,其中一次函數的圖象經過(a,b),(a+1,b+k)兩點。 (1)求反比例函數的解析式; (2)如圖所示,已知點A是上述兩個函數的圖象在第一象限的交點,求點A的坐標; (3)利用(2)的結果,回答:在x軸上是否存在點P,使△AOP為等腰三角形?若存在,把符合條件的P點坐標都求出來;若不存在,請說明理由。 分析:(1)由一次函數的圖象經過兩點(a,b),(a+1,b+k),代入消去a,b,可得k=2,進而可確定反比例函數的關系式。 (2)將聯立成方程組,易求出點A的坐標; (3)應根據OA為腰和底進行分類,結合(2)探求出點P的存在性。 解:(1)依題意可得: 兩式相減,得 所以反比例函數的解析式為 (2)由,得, 經檢驗都是原方程組的解。 因為A點在第一象限,所以A點坐標為(1,1) (3),OA與x軸所夾銳角為45 如圖下所示①,當OA為腰時,由OA=OP,得 由,得 ②當OA為底時,得 所以這樣的點有4個,分別是、 【模擬試題】(答題時間:30分鐘) 1. 反比例函數的圖象上兩點,,當時,有,則m的取值范圍是_____________。 2. 已知反比例函數的圖象在第一、三象限,則一次函數的圖象不經過第___________象限。 3. 直線與y軸的交點在x軸上方,且y隨x的增大而減小,則m的取值范圍是__________。 4. 三角形三邊長為3cm,5cm,xcm,則三角形的周長為與的函數關系式是______________,自變量x的取值范圍是___________。 5. 當m取何值時,函數是x的一次函數?它是否是正比例函數? 6. 已知一次函數的圖象經過第一、三、四象限,求m的取值范圍。 7. 直線和直線的交點在第__________象限。 8. 兩個一次函數的圖象交于y軸上一點A,分別交x軸于點B、C,如圖所示,若已知|OB|:|OA|:|OC|=1:2:3,且△ABC的面積是16,求兩函數的解析式。 9. 在平面直角坐標系中,已知點在第二象限,且m為整數,則過點A的反比例函數的解析式為________________。 10. 如果一次函數的圖象與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為10,則此一次函數為_________________。 11. 已知點A是正比例函數和反比例函數在第一象限的交點 (1)求點A的坐標; (2)如果直線經過點A且與x軸交于點C,求b及點C的坐標。 12. 如圖所示,在第四象限內的矩形OABC,兩邊在坐標軸上,一個頂點在一次函數的圖象上,當點A從左向右移動時,矩形的周長與面積也隨之發(fā)生變化,設線段OA長m,矩形的周長為,面積為s。 (1)試分別寫出與m的函數關系; (2)能否求出當m取何值時,矩形的周長最大?為什么? (3)你能否估計矩形的面積是否有最大值,簡單說一下你的想法? 【試題答案】 1. 2. 三 3. 4. 5. 解:, 則 ,它是一次函數也是正比例函數。 6. 解:, 7. 三 8. 解:設 ∴直線AB解析式為,直線AC解析式為 9. 10. 11. 解:(1),解得:(不合題意,舍去) (2)經過點 則 12. 解:(1)①由題意得, ② (2)周長的一次函數,且的增大而增大。是否有最大值,關鍵在于m的取值范圍。與x軸交點為(6,0),所以,m越接近6,周長越大。但不能等于6,所以周長無最大值。 (3)當點A接近于(0,0)時,面積接近于0,隨著點A逐漸右移,面積逐漸增大。而當點A接近于(6,0),面積也接近于0,隨著點A位置變化,可知面積先隨m的增大而增大,到一定程度時,開始隨x的增大而減小,估計在m取某一值時,面積為最大值。- 配套講稿:
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