2019-2020年九年級數(shù)學(xué)上冊 第二章 二次函數(shù) 2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用 名師教案4 浙教版.doc

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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)上冊 第二章 二次函數(shù) 2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用 名師教案4 浙教版 ◆目標(biāo)指引 1．運用二次函數(shù)的知識去分析問題、解決問題，并在運用中體會二次函數(shù)的實際意義． 2．體會利用二次函數(shù)的最值方面的性質(zhì)解決一些實際問題． 3．經(jīng)歷把實際問題的解決轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的解決的過程，學(xué)會運用這種“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法． ◆要點講解 1．在具體問題中經(jīng)歷數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律的過程，運用二次函數(shù)的相關(guān)知識解決簡單的實際問題，體會二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型． 2．運用函數(shù)思想求最值和數(shù)形結(jié)合的思想方法研究問題． ◆學(xué)法指導(dǎo) 1．當(dāng)涉及最值問題時，應(yīng)運用二次函數(shù)的性質(zhì)選取合適的變量，建立目標(biāo)函數(shù)，再求該目標(biāo)函數(shù)的最值，求最值時應(yīng)注意兩點：（1）變量的取值范圍；（2）求最值時，宜用配方法． 2．有關(guān)最大值或最小值的應(yīng)用題，關(guān)鍵是列出函數(shù)解析式，再利用函數(shù)最值的知識求函數(shù)值，并根據(jù)問題的實際情況作答． ◆例題分析 【例1】如圖，在△ABC中，∠B=90，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A開始，沿著AB向點B以1cm/s的速度移動；點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，設(shè)P，Q同時出發(fā)，問： （1）經(jīng)過幾秒后P，Q的距離最短？ （2）經(jīng)過幾秒后△PBQ的面積最大？最大面積是多少？ 【分析】這是一個動點問題，也是一個最值問題，設(shè)經(jīng)過ts，顯然AP和BQ的長度分別為AP=t，BQ=2t（0≤t≤6）．PQ的距離PQ==．因此，只需求出被開方式5t2－12t+36的最小值，就可以求P，Q的最短距離． 【解】（1）設(shè)經(jīng)過ts后P，Q的距離最短，則： ∵PQ==== ∴經(jīng)過s后，P，Q的距離最短． （2）設(shè)△PBQ的面積為S， 則S=BPBQ=（6－t）2t=6t－t2=9－（t－3）2 ∴當(dāng)t=3時，S取得最大值，最大值為9． 即經(jīng)過3s后，△PBQ的面積最大，最大面積為9cm2． 【注意】對于動點問題，一般采用“以靜制動”的方法，抓住某個靜止?fàn)顟B(tài)，尋找等量關(guān)系．在求最值時，可用配方法或公式法，同時取值時要注意自變量的取值范圍． 【例2】某高科技發(fā)展公司投資1500萬元，成功研制出一種市場需求較大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金500萬元進(jìn)行批量生產(chǎn)．已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價若增加10元，年銷售量將減少1萬件．設(shè)銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利額（年獲利額=年銷售額－生產(chǎn)成本－投資）為z（萬元）． （1）試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍）； （2）試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍）； （3）計算銷售單價為160元時的年獲利額，并說明：得到同樣的年獲利額，銷售單價還可以定為多少元？相應(yīng)的年銷量分別為多少萬件？ （4）公司計劃：在第一年按年獲利額最大時確定的銷售單價進(jìn)行銷售；第二年的年獲利額不低于1130萬元，請你借助函數(shù)的大致圖象說明，第二年的銷售單價x（元）應(yīng)確定在什么范圍？ 【分析】本題以傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)活動中的利潤、銷售決策問題為背景，設(shè)計成數(shù)學(xué)應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生主動關(guān)心和參與日常生活中的經(jīng)濟(jì)活動，把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，運用函數(shù)性質(zhì)和方程知識來解題． 【解】（1）依題意知：當(dāng)銷售單價定為x元時，年銷量減少（x－100）萬件． ∴y=20－（x－100）=－x+30． 即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=－x+30． （2）由題意可得： z=（30－x）（x－40）－500－1500=－x2+34x－3200． 即z與x之間的函數(shù)關(guān)系式為z=－x2+34x－3200． （3）∵當(dāng)x=160時， z=－1602+34160－3200=－320， ∴－320=－x2+34x－3200， 即x2－340x+28800=0． 由x1+x2=－得，160+x=340，∴x=180． 即得到同樣的年獲利額，銷售單價還可以定為180元． 當(dāng)x=160時，y=－160+30=14， 當(dāng)x=180時，y=－180+30=12． 所以相應(yīng)的年銷售量分別為14萬件和12萬件． （4）∵z=－x2+34x－3200=－（x－170）2－310， ∴當(dāng)x=170時，z取得最大值為－310． 即當(dāng)銷售單價為170元時，年獲利額最大，并且到第一年底公司還差310萬元就可以收回全部投資． 第二年的銷售單價定為x元時，則年獲利額為： z′=（30－x）（x－40）－310=－x2+34x－1510． 當(dāng)z′=1130時，即1130=－x2+34x－1510， 解得x1=120，x2=220． ∴函數(shù)z′=－x2+34x－1510的大致圖象如圖所示． 由圖象可看出： 當(dāng)120≤x≤220時，z≥1130． ∴第二年的銷售單價應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi)．