2019-2020年八年級數(shù)學(xué)上冊 第七章 解二元一次方程組教案 北師大版.doc

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2019-2020年八年級數(shù)學(xué)上冊 第七章 解二元一次方程組教案 北師大版 7.2.1 解二元一次方程組(一) 知識與技能目標(biāo)： 1.代入消元法解二元一次方程組. 2.解二元一次方程組時(shí)的“消元”思想，“化未知為已知”的化歸思想. 過程與方法目標(biāo)： 1.會用代入消元法解二元一次方程組. 2.了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數(shù)學(xué)研究中“化未知為已知”的化歸思想. 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 1.在學(xué)生了解二元一次方程組的“消元”思想，從而初步理解化“未知”為“已知”和化復(fù)雜問題為簡單問題的化歸思想中，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心. 2.培養(yǎng)學(xué)生合作交流，自主探索的良好習(xí)慣. 教學(xué)重點(diǎn) 1.會用代入消元法解二元一次方程組. 2.了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究中“化未知為已知”的化歸思想. 教學(xué)難點(diǎn) 1.“消元”的思想. 2.“化未知為已知”的化歸思想. 教學(xué)方法 啟發(fā)——自主探索相結(jié)合. 教師引導(dǎo)學(xué)生回憶一元一次方程解決實(shí)際問題的方法并從中啟發(fā)學(xué)生如果能將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.二元一次方程便可獲解，從而通過學(xué)生自主探索總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟. 教具準(zhǔn)備 投影片兩張： 第一張：例題(記作7.2.1 A)； 第二張：問題串(記作7.2.1 B). 教學(xué)過程 Ⅰ.提出疑問，引入新課 ［師生共憶］上節(jié)課我們討論過一個(gè)“希望工程”義演的問題；沒去觀看義演的成人有x個(gè)，兒童有y個(gè)，我們得到了方程組成人和兒童到底去了多少人呢？ ［生］在上一節(jié)課的“做一做”中，我們通過檢驗(yàn)是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知這個(gè)解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根據(jù)二元一次方程組解的定義得出是方程組的解.所以成人和兒童分別去了5個(gè)人和3個(gè)人. ［師］但是，這個(gè)解是試出來的.我們知道二元一次方程的解有無數(shù)個(gè).難道我們每個(gè)方程組的解都去這樣試？ ［生］太麻煩啦. ［生］不可能. ［師］這就需要我們學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法. Ⅱ.講授新課 ［師］在七年級第一學(xué)期我們學(xué)過一元一次方程，也曾碰到過“希望工程”義演問題，當(dāng)時(shí)是如何解的呢？ ［生］解：設(shè)成人去了x個(gè)，兒童去了(8－x)個(gè)，根據(jù)題意，得： 5x+3(8－x)=34 解得x=5 將x=5代入8－x=8－5=3 答：成人去了5個(gè)，兒童去了3個(gè). ［師］同學(xué)們可以比較一下：列二元一次方程組和列一元一次方程設(shè)未知數(shù)有何不同？列出的方程和方程組又有何聯(lián)系？對你解二元一次方程組有何啟示？ ［生］列二元一次方程組設(shè)出有兩個(gè)未知數(shù)成人去了x個(gè)，兒童去了y個(gè).列一元一次方程設(shè)成人去了x個(gè)，兒童去了(8－x)個(gè).y應(yīng)該等于(8－x).而由二元一次方程組的一個(gè)方程x+y=8根據(jù)等式的性質(zhì)可以推出y=8－x. ［生］我還發(fā)現(xiàn)一元一次方程中5x+3(8－x)=34與方程組中的第二個(gè)方程5x+3y=34相比較，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程. ［師］太好了.我們發(fā)現(xiàn)了新舊知識之間的聯(lián)系，便可尋求到解決新問題的方法——即將新知識轉(zhuǎn)化為舊知識便可.如何轉(zhuǎn)化呢？ ① ② ［生］上一節(jié)課我們就已知道方程組的兩個(gè)未知數(shù)所包含的意義是相同的.所以將 中的①變形，得y=8－x ③我們把y=8－x代入方程②，即將②中的y用8－x代替，這樣就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”. ［師］這位同學(xué)很善于思考.他用了我們在數(shù)學(xué)研究中“化未知為已知”的化歸思想，從而使問題得到解決.下面我們完整地解一下這個(gè)二元一次方程組. ① ② 解： 由①得 y=8－x ③ 將③代入②得 5x+3(8－x)=34 解得x=5 把x=5代入③得y=3. 所以原方程組的解為 下面我們試著用這種方法來解答上一節(jié)的“誰的包裹多”的問題. ［師生共析］解二元一次方程組： ① ② 分析：我們解二元一次方程組的第一步需將其中的一個(gè)方程變形用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)，把表示了的未知數(shù)代入未變形的方程中，從而將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程. 解：由①得x=2+y ③ 將③代入②得(2+y)+1=2(y－1) 解得y=5 把y=5代入③，得 x=7. 所以原方程組的解為即老牛馱了7個(gè)包裹，小馬馱了5個(gè)包裹. ［師］在解上面兩個(gè)二元一次方程組時(shí)，我們都是將其中的一個(gè)方程變形，即用其中一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)，然后代入第二個(gè)未變形的方程，從而由“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”而得到消元的目的.我們將這種方法叫代入消元法.這種解二元一次方程組的思想為消元思想.我們再來看兩個(gè)例子. 出示投影片(7.2.1 A) ［例題］解方程組 ① ② (1) ① ② (2) (由學(xué)生自己完成，兩個(gè)同學(xué)板演). 解：(1)將②代入①，得 3+2y=8 3y+9+4y=16 7y=7 y=1 將y=1代入②，得 x=2 所以原方程組的解是 (2)由②，得x=13－4y ③ 將③代入①，得 2(13－4y)+3y=16 －5y=－10 y=2 將y=2代入③，得 x=5 所以原方程組的解是 ［師］下面我們來討論幾個(gè)問題： 出示投影片(7.2.1 B) (1)上面解方程組的基本思路是什么？ (2)主要步驟有哪些？ (3)我們觀察例1和例2的解法會發(fā)現(xiàn)，我們在解方程組之前，首先要觀察方程組中未知數(shù)的特點(diǎn)，盡可能地選擇變形后的方程較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關(guān)鍵的一步.你認(rèn)為選擇未知數(shù)有何特點(diǎn)的方程變形好呢？ (由學(xué)生分組討論，教師深入?yún)⑴c到學(xué)生討論中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自主探索、討論過程中的獨(dú)特想法) ［生］我來回答第一問：解二元一次方程組的基本思路是消元，把“二元”變?yōu)椤耙辉? ［生］我們組總結(jié)了一下解上述方程組的步驟：第一步：在已知方程組的兩個(gè)方程中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠?，把它變形為用一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù). 第二步：把表示另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式代入沒有變形的另一個(gè)方程，可得一個(gè)一元一次方程. 第三步：解這個(gè)一元一次方程，得到一個(gè)未知數(shù)的值. 第四步：把求得的未知數(shù)的值代回到原方程組中的任意一個(gè)方程或變形后的方程(一般代入變形后的方程)，求得另一個(gè)未知數(shù)的值. 第五步：用“{”把原方程組的解表示出來. 第六步：檢驗(yàn)(口算或筆算在草稿紙上進(jìn)行)把求得的解代入每一個(gè)方程看是否成立. ［師］這個(gè)組的同學(xué)總結(jié)的步驟真棒，甚至連我們平時(shí)容易忽略的檢驗(yàn)問題也提了出來，很值得提倡.在我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)該養(yǎng)成反思自己解答過程，檢驗(yàn)自己答案正確與否的習(xí)慣. ［生］老師，我代表我們組來回答第三個(gè)問題.我們認(rèn)為用代入消元法解二元一次方程組時(shí)，盡量選取一個(gè)未知數(shù)的分?jǐn)?shù)是1的方程進(jìn)行變形；若未知數(shù)的系數(shù)都不是1，則選取系數(shù)的絕對值較小的方程變形.但我們也有一個(gè)問題要問：在例2中，我們選擇②變形這是無可厚非的，把②變形后代入①中消元得到的是一元一次方程系數(shù)都為整數(shù)也較簡便.可例1中，雖然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不簡便，有沒有更簡捷的方法呢？ ［師］這個(gè)問題提的太好了.下面同學(xué)們分組討論一下.如果你發(fā)現(xiàn)了更好的解法，請把你的解答過程寫到黑板上來. ［生］解：由②得2x=y+3 ③ ③兩邊同時(shí)乘以2，得 4x=2y+6 ④ 由④得2y=4x－6 把⑤代入①得 3x+(4x－6)=8 解得7x=14,x=2 把x=2代入③得y=1. 所以原方程組的解為 ［師］真了不起，能把我們所學(xué)的知識靈活應(yīng)用，而且不拘一格，將“2y”整體上看作一個(gè)未知數(shù)代入方程①，這是一個(gè)“科學(xué)的發(fā)明”. Ⅲ.隨堂練習(xí) 課本P192 1.用代入消元法解下列方程組 ① ② 解：(1) 將①代入②，得 x+2x=12 x=4. 把x=4代入①，得 y=8 所以原方程組的解為 ① ② (2) 將①代入②，得 4x+3(2x+5)=65 解得x=5 把x=5代入①得 y=15 所以原方程組的解為 ① ② (3) 由①，得x=11－y ③ 把③代入②，得 11－y－y=7 y=2 把y=2代入③，得 x=9 所以原方程組的解為 ① ② (4) 由②，得x=3－2y ③ 把③代入①，得 3(3－2y)－2y=9 得y=0 把y=0代入③，得x=3 所以原方程組的解為 注：在隨堂練習(xí)中，可以鼓勵(lì)學(xué)生通過自主探索與交流，各個(gè)學(xué)生消元的具體方法可能不同，不必強(qiáng)調(diào)解答過程統(tǒng)一. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課我們介紹了二元一次方程組的第一種解法——代入消元法.了解到了解二元一次方程組的基本思路是“消元”即把“二元”變?yōu)椤耙辉?主要步驟是：將其中的一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程.解這個(gè)一元一次方程，便可得到一個(gè)未知數(shù)的值，再將所求未知數(shù)的值代入變形后的方程，便求出了一對未知數(shù)的值.即求得了方程的解. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P192習(xí)題7.2 2.解答習(xí)題7.1第3題 3.預(yù)習(xí)課本P193~P194 Ⅵ.活動(dòng)與探究 已知代數(shù)式x2+px+q,當(dāng)x=－1時(shí)，它的值是－5；當(dāng)x=－2時(shí)，它的值是4,求p、q的值. 過程：根據(jù)代數(shù)式值的意義，可得兩個(gè)未知數(shù)都是p、q的方程，即 當(dāng)x=－1時(shí)，代數(shù)式的值是－5，得 (－1)2+(－1)p+q=－5 ① 當(dāng)x=－2時(shí)，代數(shù)式的值是4，得 (－2)2+(－2)p+q=4 ② 將①、②兩個(gè)方程整理，并組成方程組 ① ② 解方程組，便可解決. 結(jié)果：由④得q=2p 把q=2p代入③，得 －p+2p=－6 解得p=－6 把p=－6代入q=2p=－12 所以p、q的值分別為－6、－12. 板書設(shè)計(jì) 7.2.1 解二元一次方程組(一) 一、“希望工程”義演 二、“誰的包裹多”問題 三、例題 四、解方程組的基本思路：消元即二元—→一元 五、解二元一次方程組的基本步驟 7.2.2 解二元一次方程組(二) 知識與技能目標(biāo)： 1.用加減消元法解二元一次方程組. 2.進(jìn)一步了解解二元一次方程組時(shí)的“消元”思想，“化未知為已知”化歸思路. 過程與方法目標(biāo)： 1.會用加減消元法解二元一次方程組. 2.根據(jù)不同方程的特點(diǎn)，進(jìn)一步體會解二元一次方程組的基本思路——消元. 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 1.進(jìn)一步體會解二元一次方程組的消元思想，在化“未知為已知”的過程中，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂. 2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)教學(xué)的創(chuàng)新、開拓的意識. 教學(xué)重點(diǎn) 1.掌握加減消元法解二元一次方程組的原理及一般步驟. 2.能熟練地運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組. 教學(xué)難點(diǎn) 1.解二元一次方程組的基本思路消元即化“二元”為“一元”的思想. 2.數(shù)學(xué)研究的“化未知為已知”的化歸思想. 教學(xué)方法 啟發(fā)——比較——自主探索相結(jié)合. 由一個(gè)引例啟發(fā)學(xué)生除可以利用代入消元法可以消去一個(gè)未知數(shù)，獲得問題的解答.通過觀察比較可以發(fā)現(xiàn)如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相同，這時(shí)我們就可以依據(jù)等式的性質(zhì)將方程兩邊相加或相減，從而消去一個(gè)未知數(shù)，從而更進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生自主探索解二元一次方程組的加減消元法直至熟練掌握. 教具準(zhǔn)備 投影片一張：問題串(記作7.2.2 A). 教學(xué)過程 Ⅰ.提出疑問，創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課 ［師］怎樣解下面的二元一次方程組呢？ ① ② ［生1］解：把②變形，得x= ③ 把③代入①，得 3+5y=21, 解得y=－3. 把y=3代入②，得 x=2. 所以方程組的解為 ［生2］解：由②得5y=2x+11 ③ 把5y當(dāng)做整體將③代入①，得 3x+(2x+11)=21 解得x=2 把x=2代入③，得 5y=22+11 y=3 所以原方程的解為 ［師］我們可以發(fā)現(xiàn)第二種解法比第一種解法簡單.有沒有更好的解法呢？也就是說，我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)了用代入的方法可以消元，從而使“二元”變?yōu)椤耙辉?那么有沒有別的消元辦法也可以使“二元”變?yōu)椤耙辉? ［生］我發(fā)現(xiàn)了方程①和②中的5y和－5y互為相反數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的和為零，如果能將方程①和②的左右兩邊相加，根據(jù)等式的性質(zhì)我們可以得到一個(gè)含有x的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y. ［師］很好.這正是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的二元一次方程組的解法中的第二種方法——加減消元法. Ⅱ.講授新課 ［師］下面我們就用剛才這位同學(xué)的方法解上面的二元一次方程組. ① ② 解： 由①+②，得 (3x+5y)+(2x－5y)=21+(－11), 即3x+2x=10, x=2, 把x=2代入②中，得 y=3. 所以原方程組的解為 ［師生共析］一個(gè)方程組我們用了三種方法，從中可以發(fā)現(xiàn)，恰當(dāng)?shù)剡x擇解法可以起到事半功倍的效果.回憶上一節(jié)的練習(xí)和習(xí)題，看哪些題用代入消元法解起來比較簡單？哪些題我們用加減消元法簡單？我們分組討論，并派一個(gè)代表闡述自己的意見. ［生］我們組認(rèn)為課本P192的隨堂練習(xí)的(3)(4)小題用加減消元法簡單. ［師］你們組能派兩位同學(xué)有加減消元法把這兩個(gè)方程組解一下嗎？ ［生］可以. (學(xué)生黑板板演，接著聽其他組討論的結(jié)果) ［生］我們組認(rèn)為習(xí)題7.2.1(2)也可以用加減消元法，我可以到黑板上做. ［生］老師，習(xí)題7.2.1(4)把方程組變形后，得也可以用加減消元法.我在黑板上做. ［師］下面，我們講評一下剛才這幾位同學(xué)解方程組的方程.(1) (2)這兩個(gè)方程組中，y的系數(shù)都是互為相反數(shù)，因此這兩位同學(xué)都用了用方程組中的兩個(gè)方程相加，從而把y消去，將二元轉(zhuǎn)化為一元，最后解出了方程的解，很好.(3) 我們觀察此方程y的系數(shù)都是1，因此這位同學(xué)想到了用②－①,得x=3，代入①就解出y=2.(4) 這位同學(xué)將方程組整理，得 由②－③得8n=－16，n=－2，把n=－2代入②便得m=5.這幾位同學(xué)的解法很好，同學(xué)們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了方程組中如果一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相同，我們就可以用加減消元法來解方程組. ③ ② ① ② ［生］老師，我有一個(gè)問題：習(xí)題7.2的(3)小題，用代入消元法解，較麻煩.用加減消元法解，x、y的系數(shù)不相同也不相反，沒有辦法用加減消元法.是不是還有別的方法. ① ② ［師］這個(gè)同學(xué)提的問題太好了.能發(fā)現(xiàn)問題是我們學(xué)習(xí)很重要的一個(gè)方面，同學(xué)們應(yīng)該向他學(xué)習(xí).接下來，同學(xué)們分組討論，方程組 不用代入消元法如何解？ ［生］老師，我們組想出了一個(gè)辦法，能不能用等式的性質(zhì)將這個(gè)方程組中的x或y的系數(shù)化成相等(或相反)呢？ ［生］可以.我只要在方程①和方程②的兩邊分別除以3和4，x的系數(shù)不就變成“1”了嗎？這樣就可以用加減消元法了. ［生］我不同意.這樣做，y的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都變成了分?jǐn)?shù)，比代入消元法還麻煩.我覺得應(yīng)該找到y(tǒng)的系數(shù)－2的絕對值和3的最小公倍數(shù)6，在方程①兩邊同乘以3，得9x－6y=－12③,在方程②兩邊同乘以2，得8x+6y=－22④,然后③+④，就可以將y消去，得17x= －34,x=－2.把x=－2代入①得，y=－1.所以方程組的解為 ［師］同學(xué)們?yōu)樗恼?，他的想法太精彩了，我們祝賀他.其實(shí)在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不一定二元一次方程組中未知數(shù)的系數(shù)剛好是1，或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)剛好相同或相反.我們遇到的往往就是象習(xí)題7.2.1.(3)題這樣的方程組，我們要想比較簡捷地把它解出來，就需要轉(zhuǎn)化為同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)相同或相反的情形，從而用加減消元法，達(dá)到消元的目的.下面我們看一個(gè)例子. ① ② 解方程組 分析：未知數(shù)的系數(shù)沒有絕對值是1的，也沒有哪一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或相反.我們觀察可以發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)絕對值較小，因此我們找到2和3的最小公倍數(shù)6，然后①3，②2，便可將①②的x的系數(shù)化為相同. 解：①3得6x+9y=36 ③ ②2,得6x+8y=34 ④ ③－④，得y=2. 將y=2代入①，得x=3. 所以原方程組的解是 ［師］我們根據(jù)上面幾個(gè)方程組的解法，接下來討論下面兩個(gè)問題： 出示投影片(7.2.2 A) (1)加減消元法解二元一次方程組的基本思路是什么？ (2)用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？ (由學(xué)生分組討論、總結(jié)) ［師生共析］(1)用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”. (2)用加減法解二元一次方程組的一般步驟. 第一步：在所解的方程組中的兩個(gè)方程，如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可以把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加，消去這個(gè)未知數(shù)；如果未知數(shù)的系數(shù)相等，可以直接把兩個(gè)方程的兩邊分別相減，消去這個(gè)未知數(shù). 第二步：如果方程組中不存在某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，那么應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù))，求出它們的最小公倍數(shù)(如果一個(gè)系數(shù)是另一個(gè)系數(shù)的整數(shù)倍，該系數(shù)即為最小公倍數(shù))，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對值相等(都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù))，再加減消元. 第三步：對于較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(去分母，去括號，合并同類項(xiàng)等).通常要把每個(gè)方程整理成含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)在方程右邊的形式，再作如上加減消元的考慮. Ⅲ.隨堂練習(xí) 課本P195.用加減消元法解下列方程組： ① ② 1.解：(1) ①+②，得16x=－16 x=－1 把x=－1代入①，得 y=－5 所以原方程的解為 ① ② (2) ②－①，得6y=－18 y=－3 把y=－3代入①，得 x=－2 所以原方程組的解為 ① ② (3) ①－②2得5t=15 t=3 把t=3代入②，得 s=－1 所以原方程組的解為 ① ② (4) ①2－②3,得－11x=33 x=－3 把x=－3代入①得y=－4 所以原方程組的解為 注：在隨堂練習(xí)中，可以鼓勵(lì)學(xué)生通過自主探索與交流，不必強(qiáng)調(diào)解答過程統(tǒng)一. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 關(guān)于二元一次方程組的解法：代入消元法和加減消元法我們?nèi)繉W(xué)完了.比較這兩種解法我們會發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)都是消元，即通過消去一個(gè)未知數(shù)，化“二元”為“一元”. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P197、習(xí)題7.3 2.閱讀P195讀一讀你知道計(jì)算機(jī)是如何解方程組嗎. Ⅵ.活動(dòng)與探究 解三元一次方程組： ① ② ③ 過程：解二元一次方程組的實(shí)質(zhì)是消元，即通過消去一個(gè)未知數(shù)，由“二元”變?yōu)椤耙辉?，于是我們?lián)想，能否借助解二元一次方程組消元的思路，將三元一次方程組消元，由“三元”消為“二元”，不就是我們剛學(xué)過的二元一次方程組嗎.我們觀察這個(gè)方程組②中不含未知數(shù)z，如果能利用①和②消去z，不就又得到一個(gè)和②一樣只含x,y的二元一次方程④，將②和④聯(lián)立成二元一次方程組.也就將三元一次方程組消元，由“三元”變?yōu)椤岸? 結(jié)果：解：由①－③得 －x+2y=8 ④ ② ④ 聯(lián)立②、④得 由②+④得y=9 把y=9代入②，得x=10 把x=10、y=9代入①得z=7 所以三元一次方程組的解為： 板書設(shè)計(jì) 7.2.2 解二元一次方程組(二) 一、學(xué)生板演 解法一：代入消元法 解法二：(加減消元法) 解法三：(整體代入法) 二、加減消元法的思路和步驟 三、例題(用加減消元法求解) 四、課時(shí)小結(jié) 7.3 雞兔同籠 知識與技能目標(biāo)： 1.會用二元一次方程組解決實(shí)際問題. 2.在解決實(shí)際問題的過程中，用方程組這樣的數(shù)學(xué)模型刻畫現(xiàn)實(shí)世界. 過程與方法目標(biāo)： 1.在列方程組的建模過程中，強(qiáng)化方程的模型思想，培養(yǎng)學(xué)生列方程解決現(xiàn)實(shí)問題的意識和應(yīng)用能力. 2.將解方程組的技能訓(xùn)練與實(shí)際問題的解決融為一體，進(jìn)一步提高解方程組的技能. 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 1.體會方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識. 2.在用方程組解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 教學(xué)重點(diǎn) 1.讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)到方程組解決實(shí)際問題的過程. 2.進(jìn)一步體會方程(組)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 教學(xué)難點(diǎn) 用方程(組)這樣的數(shù)學(xué)模型刻畫和解決實(shí)際問題，即數(shù)學(xué)建模的過程. 教學(xué)方法 自主發(fā)現(xiàn)法. 學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下通過對具體實(shí)際的問題分解，組織學(xué)生自主交流，探索去發(fā)現(xiàn)列方程建模的過程，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識. 教具準(zhǔn)備 投影片一張：雞兔同籠(記作7.3 A). 教學(xué)過程 Ⅰ.提出問題，激發(fā)興趣 ［師］我們本章的開頭就介紹過“雞兔同籠”的問題，這節(jié)課我們接著用方程來解決此問題，看結(jié)果如何？ Ⅱ.講授新課 出示投影片(7.3 A) 1.今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？ (1)“上有三十五頭”“下有九十四足”如何解釋？ (2)你能根據(jù)(1)中的數(shù)量關(guān)系列出方程組嗎？ (3)你能解決這樣的問題嗎？ 2.有2元，5元，10元人民幣共50張，合計(jì)305元，其中2元的張數(shù)與5元的張數(shù)相同，三種人民幣各有多少張？ (1)這個(gè)問題和上面的“雞兔同籠”問題有聯(lián)系嗎？ (2)你準(zhǔn)備設(shè)幾個(gè)未知數(shù)？ (3)你能根據(jù)題目中的已知量、未知量及它們之間的關(guān)系列出方程組嗎？ (4)你能解決這樣的問題嗎？ ［師］就上面的問題，我們先分組討論. (學(xué)生在討論時(shí)，教師可參與到學(xué)生的討論，聽學(xué)生的想法，以便能及時(shí)了解學(xué)生的思路) ［師生共析］1.(1)“上有三十五頭”是指“雞和兔共有35只.即“雞的只數(shù)+兔的只數(shù)=35只”.“下有九十四足”是指雞的腿與兔子的腿的和為94條.即“雞的腿+兔子的腿=94”. (2)根據(jù)(1)中的數(shù)量關(guān)系，我們可以設(shè)雞有x只，兔有y只，可得x+y=35 ①，2x+4y=94 ②,把①和②聯(lián)立方程組，得 ① ② (3)解法一：由①得y=35－x ③ 把③代入②中，得2x+4(35－x)=94 解得x=23 把x=23代入①，得y=12. 所以原方程組的解為 解法二：②－①2，得 2y=24 y=12 把y=12代入①，得x=23 所以原方程組的解為 答：雞有23只，兔子有12只. 和這一章最開始引言中用算術(shù)方法和一元一次方程的方法來解“雞免同籠”的問題來比較，用列二元一次方程組來解決此題會更直觀，更容易理解. 2.(1)這個(gè)問題類似于“雞兔同籠”的問題.因?yàn)樗彩菍ⅰ?元，5元，10元”的人民幣混合在了一起，只知道總共有多少張，合起來共多少元，求2元，5元，10元的人民幣各有多少張？ (2)在這個(gè)題目中，設(shè)兩個(gè)未知數(shù)也可以；設(shè)三個(gè)未知數(shù)也可以.我們先來看設(shè)兩個(gè)未知數(shù)的情況.由于2元和5元的張數(shù)相同，我們可以各設(shè)有x張，10元的張數(shù)有y張. (3)根據(jù)題目中的已知條件可找到兩個(gè)等量關(guān)系即：2元的張數(shù)+5元的張數(shù)+10元的張數(shù)=50張，2元的總面值+5元的總面值+10元的總面值=305元，于是我們根據(jù)(1)中的未知數(shù)列出二元一次方程組： ① ② (4)用代入消元法和加減消元法都可解決.可由同學(xué)們板演完成. 解法一：由①得y=50－2x ③ 把③代入②，得x=15 把x=15代入③，得y=20 所以原方程組的解為 解法二：①10－②，得 x=15 把x=15代入①，得y=20 所以原方程組的解為 答：2元和5元的人民幣各有15張，10元的人民幣有20張. ［議一議］如果2、(2)中設(shè)有三個(gè)未知數(shù)，即如果設(shè)2元的人民幣有x張，5元的人民幣y張，10元的人民幣z張，如何列出方程組，解上述問題呢？ ［生］我們在設(shè)未知數(shù)時(shí)，沒有利用2元的人民幣和5元的人民幣張數(shù)相等這個(gè)條件，因此列出的方程就多出一個(gè)，再加上我們剛才的兩個(gè)相等關(guān)系，列出的是一個(gè)三元一次方程組即由x=y ①，x+y+z=50 ②，2x+5y+10z=305 ③，組成的三元一次方程組. ［師］我們沒有詳細(xì)地講過三元一次方程組的解法，但我們借鑒二元一次方程組的基本思路——消元，可以解答這個(gè)三元一次方程組.下面我們一同來解方程組 ① ② ③ 我們可以將①代入②和③，得二元一次方程組 解這個(gè)二元一次方程組，得 把y=15代入①得x=15 所以方程組的解為 ［生］老師，看來解方程組未知數(shù)出了并不可怕，關(guān)鍵是掌握解方程組的基本思路——消元. ［師］的確如此.我們學(xué)會了解方程組可以解決許多問題.下面我們再來看一下例子.估計(jì)大家小學(xué)的時(shí)候見過. ［例1］以繩測井.若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺.繩長、井深各幾何？ 誰來給大家解釋一下題意. ［生］老師，我試一下.這個(gè)題目的大意是：用繩子測量水井的深度，如果將繩子三折即折成三等份，則一份繩子的長度比井多五尺；如果將繩子四折即折成四等份，則一份繩子的長度比井深多一尺.繩長、井深各是多少尺？ ［師］這位同學(xué)解釋得很棒.接下來我們就將此問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型方程組來解決它.首先我們可以從題目中找到相等關(guān)系.你知道相等關(guān)系蘊(yùn)含在哪兩句話里?你能用含文字的等式表示出來嗎? ［生］可以.我認(rèn)為相等關(guān)系蘊(yùn)含在“將繩三折測之，繩多五尺”和“若將繩四折測之，繩多一尺”.這兩句話中，用等式表示出來為： 繩長3－井深=5 ① 繩長4－井深=1 ② ［生］老師，我認(rèn)為相等關(guān)系也在這兩句話中，但我用下面的等式表示： 繩長－3井深=53 ③ 繩長－4井深=14 ④ ［師］很好.我們現(xiàn)在設(shè)出未知數(shù)，設(shè)繩長為x尺，井深為y尺，根據(jù)①、②得方程組為： 根據(jù)③、④得方程組： 我們觀察這兩個(gè)方程組雖然形式上不同，但我們將第一個(gè)方程組中的方程化簡，整理便可得出第二個(gè)方程組.因此這兩個(gè)方程組是“同工異曲”的效果.下面我們在練習(xí)本上解出方程組的解，你可以任意選其中之一. (然后讓兩位學(xué)生黑板上板演，教師講評) 解法一：設(shè)繩長x尺，井深y尺，則 ① ② ①－②，得=4, =4 x=48 將x=48代入①，得y=11 答：繩長48尺，井深11尺. 解法二：設(shè)繩子長x尺，井深y尺，則 ③ ④ 由③－④，得y=11 把y=11代入④，得x=48 答：繩長48尺，井深11尺. ［師生共析］我們在列方程組解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)先分析題目中的已知量、未知量是什么，各個(gè)量之間的關(guān)系是什么，找出它們之間的相等關(guān)系，列出方程(組)，建模過程就可完成，因此我們說解決實(shí)際問題的建模過程非常重要. Ⅲ.隨堂練習(xí) 課本P199. ① ② 1.解：設(shè)每頭牛值“金”x兩，每只羊值“金”y兩，則 由①2－②5，得y=. 把y=代入②，得x=. 所以，每頭牛值“金”兩，每頭羊值“金”兩. 2.解：設(shè)甲帶錢x，乙?guī)уXy， ① ② 則 由①2－②，得x=37 把x=37代入①，得y=25 所以甲帶錢37，乙?guī)уX25. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們經(jīng)歷和體驗(yàn)了列方程組解決實(shí)際問題的過程，體會到方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型，從而更進(jìn)一步提高了我們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識及解方程組的技能. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P199習(xí)題7.4. 2.收集資料：算經(jīng)+書(網(wǎng)址：CBE21)的數(shù)學(xué)史料，以一組為單位辦1份數(shù)學(xué)史料手抄報(bào). Ⅵ.活動(dòng)與探究 如圖，在一個(gè)正方體的頂點(diǎn)處填上1~9的數(shù)碼中的8個(gè)，每一個(gè)頂點(diǎn)只填一個(gè)數(shù)碼.使得正方體每個(gè)面上的四個(gè)頂點(diǎn)所填數(shù)碼之和均為18，那么未被填上的數(shù)碼是什么？ 過程：如果用1~9中的每一個(gè)數(shù)去試，過程會很繁.根據(jù)題意，我們可以利用方程這個(gè)數(shù)學(xué)模型，使問題簡單化. 結(jié)果：設(shè)未被填上的數(shù)為x，根據(jù)題意，可得： (1+2+…+9－x)2=18 得45－x=36 x=9 所以未被填上的數(shù)是9. 板書設(shè)計(jì) 7.3 雞兔同籠 一、雞兔同籠 解：設(shè)雞兔各有x只、y只， 根據(jù)題意，得： (由學(xué)生板演解方程組的過程) 二、例題講解 例1(課本P198) 三、隨堂練習(xí) (由學(xué)生板演) 7.4 增收節(jié)支 知識與技能目標(biāo)： 1.會用列表的方式分析題中已知量與未知量的關(guān)系，列出相應(yīng)的二元一次方程組. 2.繼續(xù)熟練二元一次方程組的解法和基本思路. 過程與方法目標(biāo)： 1.讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問題的過程，體會方程(組)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力. 2.加強(qiáng)學(xué)生列方程組的技能訓(xùn)練，形成解決實(shí)際問題的一般性策略. 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 1.通過列方程組解決實(shí)際問題培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性、現(xiàn)實(shí)性、科學(xué)性. 2.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新、開拓、克服學(xué)習(xí)中困難的科學(xué)精神. 教學(xué)重點(diǎn) 用列表的方式分析題目中的各個(gè)量的關(guān)系.加強(qiáng)學(xué)生列方程組的技能訓(xùn)練. 教學(xué)難點(diǎn) 借助列表分析問題中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系. 教學(xué)方法 學(xué)生自主活動(dòng)探究的方法. 學(xué)生在列一元一次方程解決實(shí)際問題經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)基本量關(guān)系，由學(xué)生自主探索，列表分析問題中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系.從而列出二元一次方程組，解決實(shí)際問題. 教具準(zhǔn)備 投影片兩張： 第一張：問題串(記作7.4 A)； 第二張：例1(記作7.4 B). 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 ［師］我們來看一組填空題.(出示投影片7.4 A)填空： (1)某工廠去年的總產(chǎn)值是x萬元，今年的總產(chǎn)值比去年增加了20%，今年的總產(chǎn)值為_________. (2)某工廠去年的總支出為y萬元，今年的總支出比去年減少了10%，則今年的總支出為_________. (3)某工廠今年的利潤為780萬元，根據(jù)(1)、(2)可得_________=780萬元(利潤=總產(chǎn)值－總支出). 下面我們就一起分析上面的三個(gè)填空. ［師生共析］(1)今年的總產(chǎn)值比去年增加了20%，即今年的總產(chǎn)值=去年的總產(chǎn)值(1+20%)=(1+20%)x萬元. (2)今年的總支出比去年減少了10%，即今年的總支出=去年的總支出(1－10%)=(1－10%)y萬元. (3)今年的利潤為780萬元，由(1)、(2)可得今年的利潤又可表示為［(1+20%)x－(1－10%)y］萬元，所以(1+20%)x－(1－10%)y=780 這節(jié)課我們就來研究一下增收節(jié)支的問題. Ⅱ.講授新課 ［師］我們來看一個(gè)生活中實(shí)例：我校校辦工廠去年的總收入比總支出多50萬元，今年的總收入比去年增加了10%，總支出節(jié)約了20%，因而總收入比總支出多100萬元.求去年我校校辦工廠的總收入和總支出各多少萬元？ ［師生共析］我們可以注意到這個(gè)例子中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，我們是否可以用列表的形式將今年和去年的總支出和總收入列表進(jìn)行對比，從而使他們的關(guān)系一目了解. ［議一議，試一試］如果設(shè)去年的總產(chǎn)值是x萬元，總支出是y萬元，根據(jù)題意，填充下面表格： 總收入/萬元 總支出/萬元 去年 x y 今年 (1+10%)x (1－20%)y 所以根據(jù)題意可填入表格，今年的總產(chǎn)值為(1+10%)x萬元，總支出為(1－20%)萬元，由條件就可得到方程組 ① ② ［師］下面我們就來解上面這個(gè)方程組，分組來完成，看哪一個(gè)組做得快. ［生］老師，我們組解出來了.解法如下： 解：化簡方程組，得 ① ③ 由①得x=50+y ④ 把④代入③，得 1.1(50+y)－0.8y=100, 0.3y=45 y=150 把y=150代入④，得x=200 所以方程組的解為 即去年的總產(chǎn)值是200萬元，總支出為150萬元. ［生］我們組也解出來了.我覺得剛才的一組在處理方程組中的方程②處理得不徹底，因此，系數(shù)是小數(shù)，給解方程帶來了不必要的麻煩.我們組的解法如下： 解：由②，得1.1x－0.8y=100 方程兩邊再同時(shí)乘以10，得 11x－8y=1000 ③ 由①，得x=50+y ④ 把④代入③，得3y=450 y=150 把y=150代入④，得x=200. ［師］不錯(cuò).能夠恰當(dāng)?shù)乩玫仁降男再|(zhì)，使問題簡化，值得提倡. ［生］我們組用的不是代入消元法，我們組是在第二組解法的基礎(chǔ)上，用的加減消元法. ［師］我們已能用多種方法解方程組，看來我們最關(guān)鍵的一步應(yīng)是如何根據(jù)題意，列出方程組，下面我們再來看一個(gè)例子. 出示投影片7.4 B ［例1］醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配制營養(yǎng)品.每克甲原料含0.5單位蛋白質(zhì)和1單位鐵質(zhì)，每克乙原料含0.7單位蛋白質(zhì)和0.4單位蛋白質(zhì).若病人每餐需要35單位蛋白質(zhì)和40單位蛋白質(zhì)，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好滿足病人的需要？ ［師生共析］我們可以設(shè)每餐甲、乙兩種原料各x、y克恰好滿足病人的需要.根據(jù)題意可知每克甲原料含0.5單位蛋白質(zhì)和1單位鐵質(zhì)，所以x克甲原料含0.5x單位蛋白質(zhì)和x單位鐵質(zhì).每克乙原料含0.7單位蛋白質(zhì)和0.4單位鐵質(zhì)，所以y克乙原料含0.7x單位蛋白質(zhì)和0.4x單位鐵質(zhì)，因此，我們可列出下列表格： 甲原料x克 乙原料y克 所配制的營養(yǎng)品 其中所含的蛋白質(zhì) 0.5x單位 0.7y單位 35單位 其中所含的鐵質(zhì) x單位 0.4y單位 40單位 根據(jù)題意，得 ① ② 化簡，得 ①－②，得5y=150 y=30 將y=30代入①，得 x=28 所以每餐需甲原料28克，乙原料30克. Ⅲ.隨堂練習(xí) 課本P201. 1.解：設(shè)一、二兩班學(xué)生數(shù)分別為x名、y名，填寫下表： 一班 二班 兩班總數(shù) 學(xué)生數(shù)/名 x y 100 達(dá)標(biāo)學(xué)生數(shù)/名 87.5%x 75%y 81%(x+y) ① ② 根據(jù)題意，得 ① ③ 化簡，得 ③+①60，得125x=6000 x=48 把x=48代入①，得y=52 所以一班有48人，二班有52人. 2.解：設(shè)甲、乙兩人每時(shí)分別行走x千米，y千米，填寫下表并求x、y的值. 甲行走的路程 乙行走的路程 兩人行走的路程和 第一種情況(甲先走2小時(shí)) (2+2.5)x 2.5y (2+2.5)x+2.5y 第二種情況(乙先走2小時(shí)) 3x (2+3)y 3x+(2+3)y 根據(jù)題意可得： ① ② ③ ④ 化簡，得 ③2－④得6x=36 x=6 把x=6代入④，得y=3.6 所以，甲乙兩人每小時(shí)各走6千米，3.6千米. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課我們借助于列表分析具體問題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，使題目中的相等關(guān)系隨之而清晰地浮現(xiàn)出來.同時(shí)，我們通過解二元一次方程組使問題得以解決，提高了列方程組的技能. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P202習(xí)題7.5. 2.總結(jié)列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟. Ⅵ.活動(dòng)與探究 現(xiàn)有兩種溶液，甲種溶液由酒精1升，水3升配制而成，乙種溶液由酒精3升，水2升配制而成，要配制成50%的酒精溶液7升，問兩種溶液各需多少升？ 過程：題目中的數(shù)據(jù)較多，我們可以將它們統(tǒng)一列在表格中，從而使它們之間的關(guān)系一目了然，便于尋找等量關(guān)系. 首先有： 酒精(升) 水(升) 溶液(升) 濃度 甲 1 3 4 25% 乙 3 2 5 60% 設(shè)甲、乙兩種溶液分別需要x,y升，則： 溶液(升) 濃度 酒精(升) 甲 x(x≤4) 25% x25% 乙 y(y≤5) 60% y60% 合計(jì) 7 50% 3.5 有等量關(guān)系： 結(jié)果：解：設(shè)甲、乙兩種溶液x升、y升，根據(jù)題意，可得： 解得 所以需甲種溶液2升，乙種溶液5升(全部溶液)，可配制成50%的酒精溶液7升. 板書設(shè)計(jì) 7.4 增收節(jié)支 一、例1(P200)增收節(jié)支 分析：用表格分析題意： 解：(學(xué)生板演) 二、隨堂練習(xí) (由學(xué)生板演) 三、課時(shí)小結(jié) 7.5 里程碑上的數(shù) 知識與技能目標(biāo)： 1.用二元一次方程組解決“里程碑上的數(shù)”這一有趣場景中的數(shù)字問題和行程問題. 2.歸納出用二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟. 過程與方法目標(biāo)： 1.讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問題的過程，體會方程(組)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型. 2.初步體會列方程組解決實(shí)際問題的一般步驟. 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 1.“里程碑上的數(shù)”這一場景既是一個(gè)數(shù)字問題，又和行程有關(guān).相對而言有一定難度，讓學(xué)生體驗(yàn)把復(fù)雜問題化為簡單問題策略的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生克服困難的意志和勇氣. 2.鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神. 教學(xué)重點(diǎn) 1.用二元一次方程組刻畫數(shù)學(xué)問題和行程問題. 2.初步體會列方程組解決實(shí)際問題的步驟. 教學(xué)難點(diǎn) 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的數(shù)學(xué)模型. 教學(xué)方法 引導(dǎo)——討論——發(fā)現(xiàn)法. “里程碑上的數(shù)”既是一個(gè)數(shù)字問題，又是一個(gè)行程問題，相對較難，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下化解成幾個(gè)簡單問題，通過學(xué)生討論解決關(guān)鍵問題，從而使問題迎刃而解.同時(shí)通過學(xué)生自己討論發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題不同情況下的字母表示方法. 教具準(zhǔn)備 投影片兩張： 第一張：問題串(記作7.5 A)； 第一張：例1(記作7.5 B). 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 出示投影片(7.5 A) ［問題1］(1)一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，那么這個(gè)數(shù)可表示為_________；如果交換個(gè)位和十位上的數(shù)字，得到一個(gè)新的兩位數(shù)可表示為_________. (2)有兩個(gè)兩位數(shù)x和y,如果將x放在y的左邊，就得到一個(gè)四位數(shù)，那么這個(gè)四位數(shù)就可以表示為_________；如果將x放在y的右邊，得到一個(gè)新的四位數(shù)，那么這個(gè)新的四位數(shù)又可表示為_________. (3)一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)為m，十位上的數(shù)為n，如果在它們之間添上一個(gè)零，就得到一個(gè)三位數(shù)，用代數(shù)式表示這個(gè)三位數(shù)為_________. ［師生共析］(1)個(gè)位上的數(shù)字是a，即有a個(gè)1，十位數(shù)字是b個(gè)10,所以這個(gè)兩位數(shù)是b個(gè)10和a個(gè)1的和即10b+a；如果交換它們的位置，得到一個(gè)新的兩位數(shù)，即a個(gè)10與b個(gè)1的和即10a+b. (2)兩位數(shù)x放在兩位數(shù)y的左邊，組成一個(gè)四位數(shù)，這時(shí)，x的個(gè)位數(shù)就變成了百位，十位數(shù)就變成了千位，因此這個(gè)四位數(shù)里含有x個(gè)100，而兩位數(shù)y在四位數(shù)中數(shù)位沒有變化，因此這個(gè)四位數(shù)中還含有y個(gè)1.因此用x、y表示這個(gè)四位數(shù)為100x+y.同理，如果將x放在y的右邊，得到一個(gè)新的四位數(shù)為100y+x. (3)一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是m，十位上的數(shù)是n，如果在它們之間添上零，十位上的幾便成了百位上的數(shù).因此這個(gè)三位數(shù)是由n個(gè)100，0個(gè)10，m個(gè)1組成的，用代數(shù)式表示這個(gè)三位數(shù)即為100n+m. ［師］下面我們就用上面幾個(gè)小知識解決下面的綜合性問題. Ⅱ.講援新課 ［師］翻開課本P203，我們來研究“里程碑上的數(shù)”.同學(xué)們先閱讀課本上的第一段文字及文字下的三幅圖片，然后我請一位同學(xué)陳述一下問題的內(nèi)容. ［生］這個(gè)問題講的是：小明的爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛.小明在12∶00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)，它的兩個(gè)數(shù)字之和是7；在13∶00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)十位與個(gè)位數(shù)字與12∶00時(shí)看到的正好顛倒了；在14∶00時(shí)小明看到的里程碑上的數(shù)比12∶00時(shí)看到的兩位數(shù)中間多個(gè)0.試確定小明12∶00時(shí)看到里程碑上的數(shù). ［師］我們可以注意到“里程碑上的數(shù)”這一場景是非常有趣的，它既是一個(gè)數(shù)字問題，又和行程有關(guān),同時(shí)，相對而言又有一定的難度.但我們知道一個(gè)復(fù)雜的問題往往是由幾個(gè)簡單的問題組合而成的,要想求出12∶00時(shí)小明看到的里程碑上的數(shù)，就得確定這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位和十位上的數(shù)字.我們不妨設(shè)小明在12∶00時(shí)看到的數(shù)十位數(shù)字是x，個(gè)位數(shù)字是y，根據(jù)題意，你能將12∶00、13∶00、14∶00時(shí)小明看到的里程碑上的數(shù)表示出來嗎？ ［生］小明12∶00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)可以表示為10x+y；13∶00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)可表示為10y+x;14∶00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)可表示為100x+y. ［師］我們要想求出x、y的值，就得建立關(guān)于x、y的二元一次方程組這樣的數(shù)學(xué)模型，為此，我們必須找出題目中的等量關(guān)系. ［生］12∶00時(shí)小明看到的里程碑上的數(shù)，它的兩個(gè)數(shù)字之和是7，于是我們可得到一個(gè)等量關(guān)系，用x，y表示即為x+y=7. ［生］從題目中，我們還可以注意到小明的爸爸騎摩托車帶著小明在公路上是勻速行駛的.說明12∶00~13∶00與13∶00~14∶00兩段時(shí)間內(nèi)所行駛的路程相等.現(xiàn)在我們最關(guān)鍵的是用x、y表示出12∶00~13∶00時(shí)間段所行駛的路程，13∶00~14∶00時(shí)間段所行駛的路程. ［生］根據(jù)12∶00、13∶00、14∶00時(shí)小明看到的里程碑上的數(shù)可得：12∶00~13∶00間摩托車行駛的路程為(10y+x)－(10x+y);13:00~14:00間摩托車行駛的路程為(100x+y)－(10y+x).因此可列出相應(yīng)的方程為(10y+x)－(10x+y)=(100x+y)－(10y+x). ［師］根據(jù)以上分析，同學(xué)們在練習(xí)本上列出方程組，解出方程組的解. (由兩位同學(xué)黑板上板演) 解：設(shè)小明在12∶00時(shí)看到的十位數(shù)字是x,個(gè)位數(shù)字是y，根據(jù)題意，得方程組 ① ② 化簡，得 把②代入①，得x=1 把x=1代入②，得y=6 所以，這個(gè)方程組的解為 因此，小明在12：00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)是16. ［師］從對上述問題的求解過程，我們可以得到一點(diǎn)啟示：遇到較復(fù)雜的問題，我們通過把它化解為幾個(gè)簡單問題去分析，可以使思路清晰，使復(fù)雜問題在化解的過程中迎刃而解，下面我們再來看一下例題. 出示投影片(7.5 B) ［例1］兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù).已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2718，求這兩個(gè)兩位數(shù). 分析：(1)本題目中的兩個(gè)等量關(guān)系為：較大的兩位數(shù)+較小的兩位數(shù)=68；前一個(gè)四位數(shù)－后一個(gè)四位數(shù)=2178. (2)設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y，在較大的數(shù)的右邊接著寫較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為100x+y；在較大的數(shù)左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為100y+x. 解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x,較小的兩位數(shù)為y，則 化簡，得 即 解該方程組，得 所以這兩個(gè)兩位數(shù)分別是45和23. Ⅲ.隨堂練習(xí) 課本P202. 1.解：設(shè)十位數(shù)字是x,個(gè)位數(shù)字是y，則有方程組 解得 所以，這個(gè)兩位數(shù)是56. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) ［議一議］列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟是怎樣的？ (引導(dǎo)學(xué)生回顧本章各個(gè)問題的解決過程，歸納出列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟.不一定要明晰一個(gè)十分具體的步驟.只要學(xué)生了解這個(gè)過程即可，不必要求學(xué)生回答規(guī)范化、統(tǒng)一化) ［師生共同分析］ 列二元一次方程組解應(yīng)用題的主要步驟： (1)弄清題意和題目中的等量關(guān)系.用字母表示題目中的兩個(gè)未知數(shù). (2)找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的兩個(gè)相等關(guān)系. (3)根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組. (4)解這個(gè)方程組并求出未知數(shù)的值. (5)根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理? (6)寫出符合題意的解釋. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P202、習(xí)題7.6. 2.復(fù)習(xí)一次函數(shù)的圖象，預(yù)習(xí)下一節(jié)《二元一次方程與一次函數(shù)》. Ⅵ.活動(dòng)與探究 北京和上海能制造同型號電子計(jì)算機(jī)，除本地使用外，北京支援外地10臺，上?？芍г獾?臺，現(xiàn)在決定給重慶8臺，武漢6臺，每臺運(yùn)費(fèi)如表所示.現(xiàn)在有一種調(diào)運(yùn)方案的總運(yùn)費(fèi)為7600元.問：這種調(diào)運(yùn)方案中北京、上海分別應(yīng)調(diào)給武漢、重慶各多少臺？ 終 點(diǎn) 起 點(diǎn) 武漢 重慶 北京 4 8 上海 3 5 過程：如果設(shè)這種調(diào)運(yùn)方案中北京應(yīng)調(diào)x臺到武漢，y臺到重慶；上海則應(yīng)調(diào)(6－x)臺到武漢，(8－y)臺到重慶.由每臺運(yùn)費(fèi)的表格可知： 北京—→武漢 費(fèi)用需4x百元. 北京—→重慶 費(fèi)用需8y百元. 上?！錆h 費(fèi)用需3(6－x)百元. 上?！貞c 費(fèi)用需5(8－y)百元. 合計(jì)7600元即76百元. 結(jié)果：解：設(shè)這種調(diào)運(yùn)方案中北京應(yīng)調(diào)x臺到武漢，y臺到重慶；上海應(yīng)調(diào)(6－x)臺到武漢，(8－y)臺到重慶，根據(jù)題意，得 化簡得 解得 所以從北京調(diào)6臺到武漢，4臺到重慶；上海不用給武漢調(diào)，只需給重慶調(diào)4臺. 板書設(shè)計(jì) 7.5 里程碑上的數(shù) 一、里程碑上的數(shù) (1)相等關(guān)系： 12∶00~13∶00摩托車行駛的路程=13∶00~14∶00摩托車行駛的路程；12∶00時(shí)小明看到的十位上的數(shù)字+個(gè)位上的數(shù)字=7. (2)學(xué)生板演解答過程. 二、例題講解 例：(醫(yī)院為病人配制營養(yǎng)品) 三、隨堂練習(xí) (學(xué)生板演) 四、列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟. 7.6 二元一次方程和一次函數(shù) 知識與技能目標(biāo)： 1.二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系. 2.二元一次方程組的圖象解法. 過程與方法目標(biāo)： 1.使學(xué)生初步理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系. 2.通過學(xué)生的思考和操作，在力圖提示出方程與圖象之間的關(guān)系，引入二元一次方程組的圖象解法.同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生初步的數(shù)形結(jié)合的意識和能力. 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 通過學(xué)生的自主探索，提示出方程和圖象之間的對應(yīng)關(guān)系，加強(qiáng)了新舊知識的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 教學(xué)重點(diǎn) 1.二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系. 2.能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解. 教學(xué)難點(diǎn) 方程和函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系即數(shù)形結(jié)合的意識和能力. 教學(xué)方法 學(xué)生操作——自主探索的方法. 學(xué)生通過自己操作和思考，結(jié)合新舊知識的聯(lián)系，自主探索出方程與圖象之間的對應(yīng)關(guān)系，以引入二元一次方程組的圖象解法，同時(shí)也建立了“數(shù)”——二元一次方程組與“形”——函數(shù)的圖象(直線)之間的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識和能力. 教具準(zhǔn)備 投影片兩張： 第一張：問題串(記作7.6 A)； 第二張：補(bǔ)充練習(xí)(記作7.6 B). 教學(xué)過程 Ⅰ.回憶舊知識，引入新課 ［師］舉例說明什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？二元一次方程的解的個(gè)數(shù)如何？為什么？ ［生］例如x+y=8含有兩個(gè)未知數(shù)x,y且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是一次，所以x+y=8是二元一次方程. 是適合方程x+y=8的一組未知數(shù)的值，所以是二元一次方程x+y=8的一個(gè)解. 我們不難發(fā)現(xiàn)適合x+y=8的一組未知數(shù)的值不只再例如;;……都適合方程x+y=8，所以說它們都是x+y=8的解.x+y=8有無數(shù)多個(gè)解，只要給出一個(gè)x的值，代入x+y=8中，就可得到一個(gè)y的值.這樣一組一組的未知數(shù)的值都是x+y=8的解. ［師］如果將